第十章 10.1.2 事件的关系和运算 学案（含答案）

10.1.2　事件的关系和运算
[学习目标]　
1.理解事件的关系和运算.
2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念．
一、事件的关系
问题1　在掷骰子试验中，事件A＝“点数为1”，事件B＝“点数为奇数”，表示A与B两事件的集合有什么关系？A与B事件有什么关系？
知识梳理　
定义 符号 图示
包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B________发生，就称事件B________事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B____A且A____B，则称事件A与事件B相等
例1　在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A：{出现1点}；B：{出现2点}；C：{出现3点}；D：{出现4点}；E：{出现5点}；F：{出现6点}；G：{出现的点数不大于1}；H：{出现的点数小于5}；I：{出现奇数点}；J：{出现偶数点}．
请判断下列两个事件的关系：
(1)B__________H；(2)D____________J；(3)E____________I；(4)A____________G.
反思感悟　判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系．
跟踪训练1　连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系．
二、事件的运算
问题2　在掷骰子试验中，用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
问题3　在掷骰子试验中，事件C2＝“点数为2”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
问题4　怎样从集合的角度理解并事件和交事件？
知识梳理　
定义 符号 图示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B______有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B______发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
例2　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A，B是怎样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
延伸探究　在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E分别是什么运算关系？C与F的交事件是什么事件？
反思感悟　事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有的样本点，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有的样本点，把这些结果在图中列出，进行运算．
跟踪训练2　对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是(　　)
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
三、互斥事件与对立事件
问题5　用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”和事件C4＝“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
问题6　用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
知识梳理　
1．互斥事件
定义 一般地，如果事件A与事件B________________发生，也就是说________是一个不可能事件，即A∩B＝________，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示
图形表示
2.对立事件
定义 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且________，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为
含义 A与B有且仅有一个发生
符号表示 ________，________
图形表示
例3　(多选)从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是(　　)
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．A与B对立
反思感悟　辨析互斥事件与对立事件的思路
(1)从发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生．
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
(2)从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
跟踪训练3　(多选)从1,2,3，…，9中任取两个数，其中不是对立事件的是(　　)
A．恰有一个偶数和恰有一个奇数
B．至少有一个偶数和两个都是偶数
C．至少有一个奇数和两个都是偶数
D．至少有一个奇数和至少有一个偶数
1．知识清单：
(1)事件的包含关系与相等关系．
(2)并事件和交事件．
(3)互斥事件和对立事件．
2．方法归纳：列举法、Venn图法．
3．常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆．
1．某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是(　　)
A．A与B互为对立 B．B与C互斥
C．C与D互为对立 D．B与D互斥
2．在包含10件次品的100件产品中，抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
3．从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件B，则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为(　　)
A．1,6 B．4,2 C．5,1 D．6,1
4．从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数．事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为______________．
10．1.2　事件的关系和运算
问题1　集合B包含集合A；事件A发生，则事件B一定发生．
知识梳理
一定　包含　 　 　A＝B
例1　(1) 　(2) 　(3) 　(4)＝
跟踪训练1　解　当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A C，B C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系．
问题2　D1＝{1,2,3}，E1＝{1,2}，
E2＝{2,3}．{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，即E1∪E2＝D1.
问题3　E1＝{1,2}，E2＝{2,3}，
C2＝{2}．{1,2}∩{2,3}＝{2}，
即E1∩E2＝C2.
问题4　事件的并、交可以借助集合的并集、交集进行理解．
知识梳理
至少　同时　A∩B(或AB)
例2　解　(1)事件D包含的样本点为{1个红球、2个白球}，{2个红球、1个白球}，故D＝A∪B.
(2)事件C包含的样本点为{1个红球、2个白球}，{2个红球、1个白球}，{3个红球}，
故C∩A＝A.
延伸探究　解　事件C包含的样本点为{1个红球、2个白球}，{2个红球、1个白球}，{3个红球}，故B C，E C，而事件F包含的样本点为{1个白球、2个红球}，{2个白球、1个红球}，{3个白球}，所以C∩F＝{1个红球、2个白球或2个红球、1个白球}＝D.
跟踪训练2　D
问题5　C3＝{3}，C4＝{4}，
C3∩C4＝ .
问题6　F＝{2,4,6}，G＝{1,3,5}．
F∪G＝Ω，F∩G＝ .
知识梳理
1．不能同时　A∩B　 　A∩B＝
2．A∩B＝ 　A∩B＝ 　A∪B＝Ω
例3　ABC　[由题意可知，C＝{3件产品有次品，但不全是次品}，包含“1件次品、2件正品”“2件次品、1件正品”两个样本点，
A＝{3件产品全不是次品}＝{3件产品全是正品}，
B＝{3件产品全是次品}，由此知，A与C互斥，B与C互斥，A与B互斥，故A，B，C正确；
由于样本空间中还包含“1件次品，2件正品”“2件次品，1件正品”两个样本点，故A与B不对立，故D错误．]
跟踪训练3　ABD
随堂演练
1．D　2.B　3.C
4．{10,20,30,40,50,32,42,52,54}