第十章 10.1.3 古典概型(二) 学案（含答案）

10.1.3　古典概型(二)
[学习目标]　
1.掌握古典概型的定义.
2.熟练掌握古典概型的概率计算公式．
一、列举法解决古典概型问题
例1　袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中红色小球1个，黄色小球1个，蓝色小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到蓝色小球为事件M，且事件M发生的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，若每次取到红色小球得0分，取到黄色小球得1分，取到蓝色小球得2分，设第一次取出小球后得分为a，第二次取出小球后得分为b，记事件N为“a＋b＝2”，求事件N发生的概率．
反思感悟　解题时要注意是“有放回抽取”还是“不放回抽取”，若是“有放回抽取”，则在每次抽取之前，产品种类及个数都不发生变化，因此某件新产品被抽到的概率也不变；若是“不放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知)，则在每次抽取之前，所剩产品种类及个数都在发生变化，因此某件产品被抽到的概率也在不断变化．
跟踪训练1　甲、乙、丙三个盒子中分别装有大小、形状相同的卡片若干，甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A和B；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C，D和E；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H和I，如图所示．现要从3个盒子中各随机取出1张卡片．求：
(1)取出的3张卡片中恰有1张，2张，3张写有元音字母的概率分别是多少？
(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少？
二、概率与统计相结合
例2　(多选)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3,4,5组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是(　　)
A．应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人
B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为
C．第5组志愿者被抽中的概率为
D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为
反思感悟　概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决，解决此类题目的步骤主要有：
第一步：根据题目要求求出数据(有的用到按比例分配的分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识)；
第二步：列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数；
第三步：找出所求事件包含的样本点个数；
第四步：根据古典概型概率计算公式求解；
第五步：明确规范地表述结论．
跟踪训练2　为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x(cm)统计如表．
组别(cm) x≤160 160180
人数 15 42 38 5
根据上表，随机选取该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180 cm的概率是(　　)
A．0.05 B．0.38 C．0.57 D．0.95
三、概率的综合应用
例3　某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设两次记录的数分别为x，y，奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
反思感悟　应用古典概型的概率公式求事件的概率时，首先应判断本试验是不是古典概型，然后再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数及事件包含的样本点个数，最后代入公式求出概率．
跟踪训练3　某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是从装有2个红球A1，A2和一个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有的样本点；
(2)有人认为两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
1．知识清单：
(1)列举法解决古典概型问题．
(2)概率与统计相结合．
(3)概率的综合应用．
2．方法归纳：列举法、树状图等．
3．常见误区：样本空间中样本点列举错误和古典概型的错误判断．
1．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，恰有一次正面朝上的概率为(　　)
A. B. C. D.
2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
3．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8＝3＋5，在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是________(用分数表示)．
4．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
10．1.3　古典概型(二)
例1　解　(1)由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有n＋2个结果，每个结果可能性相同，
其中事件M发生有n种结果，
所以P(M)＝＝，
解得n＝2.
(2)把红色小球记为A；黄色小球记为B；蓝色小球记为C1，C2.
则两次不放回地取出小球的组合情况可用表格表示为
A B C1 C2
A × (A，B) (A，C1) (A，C2)
B (B，A) × (B，C1) (B，C2)
C1 (C1，A) (C1，B) × (C1，C2)
C2 (C2，A) (C2，B) (C2，C1) ×
共有12个样本点，
其中事件N包含的样本点有
(A，C1)，(A，C2)，(C1，A)，(C2，A)，共4个，
所以P(N)＝＝.
跟踪训练1　解　根据题意，可画出如图所示的树状图．
由树状图可以得到，所有可能出现的样本点有12个，它们出现的可能性相等．
(1)只有1张元音字母的结果有5个，所以P(1张元音字母)＝；
有2张元音字母的结果有4个，所以P(2张元音字母)＝＝；
3张全部为元音字母的结果有1个，所以P(3张元音字母)＝.
(2)3张全是辅音字母的结果有2个，所以P(3张辅音字母)＝＝.
例2　ABC　[第3组抽取×6＝3(人)，
第4组抽取×6
＝2(人)，
第5组抽取×6
＝1(人)，故A正确；
设第3组的人分别为a，b，c，第4组的人分别为d，e，第5组的人为f，则6人中随机抽取2人有
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15种抽法，
其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8种抽法，
则其概率为，故B正确；
第5组志愿者被抽中有5种抽法，
其概率为＝，故C正确；
第3组志愿者至少有一人被抽中有12种抽法，
其概率为＝，故D错误．]
跟踪训练2　D
例3　解　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}，
其中共有16个样本点．
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的样本点个数为5，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3则事件B包含的样本点个数为6，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以P(B)＝＝.
事件C包含的样本点个数为5，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P(C)＝.因为>，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
跟踪训练3　解　(1)所有样本点包含(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．
(2)不正确，理由如下：
由(1)知，所有样本点共12个，
其中摸出的2个球都是红球的样本点有(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)，共4个，
所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝，故不中奖的概率比较大．
随堂演练
1．D　2.C　3.　4.