第十章 10.1.3　古典概型(一) 学案（含答案）

10.1.3　古典概型(一)
[学习目标]　
1.理解古典概型的概念及特点.
2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题的方法．
一、古典概型的定义
问题1　我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？
知识梳理　
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的____________只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性________．
则称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
例1　下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．
反思感悟　古典概型需满足两个条件
(1)样本点总数有限．(有限性)
(2)各个样本点出现的可能性相等．(等可能性)
跟踪训练1　(多选)下列试验中是古典概型的是(　　)
A．抛一枚质地均匀的硬币，观察其正面或反面出现的情况
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取1个球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点
D．射击运动员向一靶心进行射击，观察其环数
二、古典概型概率的计算
问题2　在掷骰子的试验中，记事件A为“点数为偶数”，事件A包含哪些样本点？事件A发生的概率是多少？
知识梳理　
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________＝________.
例2　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出2个黑球的概率．
反思感悟　利用古典概型概率计算公式计算概率的步骤
(1)确定样本空间的样本点的总数n.
(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.
(3)P(A)＝.
跟踪训练2　为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．
三、较复杂的古典概型的概率计算
例3　先后抛掷两枚质地均匀的骰子．
(1)求点数之和为7的概率；
(2)求掷出两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
反思感悟　在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便．
跟踪训练3　某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
1．知识清单：
(1)古典概型．
(2)古典概型的概率公式．
2．方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数．
3．常见误区：在列举样本点的个数时，要按照一定的顺序，做到不重、不漏．
1．(多选)下列试验是古典概型的是(　　)
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个正方形ABCD内部随机地投一个点，该点落在A点的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
2．在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是(　　)
A．0.02 B．0.05 C．0.1 D．0.9
3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________．
10．1.3　古典概型(一)
问题1　样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等．
知识梳理
(1)样本点　(2)相等
例1　解　(1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“样本空间的样本点只有有限个”矛盾．
(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每一个样本点发生的可能性相等”矛盾．
(3)是古典概型，因为在试验中样本点是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．
跟踪训练1　AB
问题2　A＝{2,4,6}．
对于抛掷骰子的试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，则P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)，又P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A6)＝P(必然事件)＝1，所以P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)＝，P(A)＝＝.
知识梳理
　
例2　解　由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．
(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共6个样本点，
所以n＝6.
(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点．
(3)样本点总数n＝6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点个数m＝3，
故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为.
跟踪训练2　
例3　解　如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等．
(1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个，分别为(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，
故P(A)＝＝.
(2)记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4)，
故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个，分别为(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．
故P(C)＝＝.
跟踪训练3　解　(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个样本点．
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，样本空间Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个样本点．
包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有
(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，
则所求事件的概率为P＝.
随堂演练
1．BD　2.C　3.C　4.0.2