第十章 §10.1 习题课 古典概型的应用 学案（含答案）

习题课　古典概型的应用
[学习目标]　
1.熟练掌握古典概型求概率的方法.
2.能利用概率的性质，求解较复杂的概率问题．
一、“放回”与“不放回”问题
例1　一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，现随机地抽取两个小球，如果(1)抽取是不放回的；(2)抽取是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
反思感悟　抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响．另外，不放回抽取看作无序或有序抽取均可，有放回抽取要看作有序抽取．
跟踪训练1　从数字1,2,3,4中，若是有放回地取出两个数字，则其和为奇数的概率为________，若是不放回地取出两个数字，其和为奇数的概率为________．
二、概率模型的多角度构建
例2　口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球．试计算第二个人摸到白球的概率．
反思感悟　当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果以便于模型的建立与解答．
跟踪训练2　甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，求甲站在乙的左边的概率．
三、概率的综合运用
例3　如表所示为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1～5分五个档次．设x，y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．
y/分 人数 x/分 5 4 3 2 1
5 1 3 1 0 1
4 1 0 7 5 1
3 2 1 0 9 3
2 1 b 6 0 a
1 0 0 1 1 3
(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？
(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？
跟踪训练3　在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏．抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种．从中任取一张，不中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是.
(1)求任取一张，中一等奖的概率；
(2)若中一等奖或二等奖的概率是，求任取一张，中三等奖的概率．
1．知识清单：
(1)利用古典概型求解事件的概率．
(2)运用概率的性质求解事件的概率．
2．方法归纳：列举法、间接法．
3．常见误区：互斥事件的判断、对立事件的判断．
1．从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，分别采用有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样，抽到的两球都是白球的概率分别是(　　)
A.， B.， C.， D.，
2．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
排队人数X 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
则至少有两人排队的概率为(　　)
A．0.16 B．0.26 C．0.56 D．0.74
3．“<数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1 469)．在两位的“<数”中任取一个数，比36大的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
习题课　古典概型的应用
例1　解　设事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”．
则事件A包括的样本点有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共18个．
(1)不放回取球时，总的样本点数为90，故P(A)＝＝.
(2)有放回取球时，总的样本点数为100，故P(A)＝＝.
跟踪训练1　　
解析　有放回地取数的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点，和为奇数的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个，故所求概率P＝＝.
不放回地取数的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，共12个样本点，和为奇数的样本点为{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)}，共8个样本点，
故所求概率P＝＝.
例2　解　方法一　用A表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有样本点，可用树状图直观地表示出来，如图所示，
由图可知，试验的样本点总数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24个样本点出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的样本点有12个，
故第二个人摸到白球的概率
P(A)＝＝.
方法二　把2个白球编上序号1,2，两个黑球也编上序号1,2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有样本点如图所示，
由图可知，试验的样本点总数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12个样本点出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的样本点有6个，
故第二个人摸到白球的概率
P(A)＝＝.
跟踪训练2　解　方法一　利用树状图来列举样本点，如图所示．
由树状图可看出共有24个样本点．设事件A＝“甲站在乙的左边”，则A事件包含的样本点为(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(丙甲乙丁)，(丙甲丁乙)，(丙丁甲乙)，(丁甲乙丙)，(丁甲丙乙)，(丁丙甲乙)，共12个．所以甲站在乙的左边的概率为
P＝＝.
方法二　因为要计算“甲站在乙的左边的概率”，所以可以只考虑甲、乙两个人排队．所有样本点为(甲乙)，(乙甲)，共2个，事件“甲站在乙的左边”包含1个样本点，即(甲乙)．所以甲站在乙的左边的概率为P＝.
例3　解　(1)由数表知，x＝4的事件有14人，其概率为
P(x＝4)＝＝，
x＝4且y＝3的事件有7人，其概率为P(x＝4且y＝3)＝，x≥3的事件是x＝3的事件，x＝4的事件，x＝5的事件的和，它们互斥，而P(x＝3)＝＝，P(x＝5)＝＝，
因此，P(x≥3)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)
＝＋＋＝.
(2)x＝1的事件概率为P(x＝1)＝＝，x＝2的事件的对立事件是x＝1的事件与x≥3的事件的和，它们互斥，
则有P(x＝2)＝1－[P(x＝1)＋P(x≥3)]
＝1－－＝，
而P(x＝2)＝，
即有＝，
解得a＋b＝3，
所以x＝2的概率是，a＋b的值是3.
跟踪训练3　解　(1)设任取一张，中一等奖、二等奖、三等奖与不中奖的事件分别为A，B，C，D，它们是互斥事件．
由条件可得P(D)＝，
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
由对立事件的概率公式知
P(A)＝1－P(B∪C∪D)
＝1－P(B∪C)－P(D)
＝1－－＝，
∴任取一张，中一等奖的概率为.
(2)由题意得P(A∪B)＝，
而P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
∴P(B)＝－＝，
又P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
∴P(C)＝，
∴任取一张，中三等奖的概率为.
随堂演练
1．A　2.D　3.A　4.