杭高2023学年第一学期期末考试高二
数学试题卷
1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分。本卷满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方。
3. 答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效。
4. 考试结束后，只需上交答题卡。
单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.直线的倾斜角的大小为( )
A. B. C. D.
2.若数列的通项公式为,则( )
A. B. C. D.
3.若数列满足,则( )
A. 3 B. 2 C. D.
4.在空间四边形中,,且,则( )
A. B.
C. D.
5.以下四个命题中,正确的是( )
A. 若,则三点共线
B. 若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底
C.
D. 若,且,则
6.已知圆,圆,则两圆的公切线的条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知等比数列的前项和为,且,则( )
A. B. C. D.
8.双曲线的左、右焦点分别为,点是双曲线左支上一点,,直线交双曲线的另一支于点,,则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列求导运算正确的是( )
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若,则
10.某次辩论赛有位评委进行评分,首先位评委各给出某选手一个原始分数,评定该选手成绩时从个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分,得到个有效评分.则这个有效评分与个原始评分相比,数字特征可能不同的是( )
A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
11.在直三棱柱中,,,分别是的中点,在线段上,则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 若是上的中点,则
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 存在点使直线与直线平行
12.在平面直角坐标系中,已知,若动点满足则( )
A. 存在点,使得
B. 面积的最大值为
C. 对任意的点,都有
D. 椭圆上存在个点,使得的面积为
三 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在等差数列中,,则 .
14.从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务,则选出的名同学中至少有名女同学的概率是 .
15.若函数在上单调递增,则实数的取值范围是 .
16.高斯函数是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数,其中表示不超过的最大整数,如.已知满足,设的前项和为,的前项和为.则(1) ；(2)满足的最小正整数为 ．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）
17.的内角的对边分别为,已知
(1)求； (2)若,的面积为,求的周长.
18.如图，在平行四边形中,,四边形为正方形,且平面平面.
(1)证明:；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
19.已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)已知时,直线为曲线的切线,求实数的值．
20.已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若,的前项和为,求.
21.已知抛物线的焦点为,点是曲线上一点．
(1)若,求点的坐标；
(2)若直线与抛物线交于两点,且以为直径的圆过点,求.
22.已知双曲线的渐近线方程为,焦点到渐近线的距离为,过点作直线(不与轴重合)与双曲线相交于两点,过点作直线的垂线为垂足．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在实数,使得直线过定点,若存在,求的值及定点的坐标；若不存在,说明理由.杭高2023学年第一学期期末考试高二
数学试题卷
1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分。本卷满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方。
3. 答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效。
4. 考试结束后，只需上交答题卡。
单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.直线的倾斜角的大小为( D )
A. B. C. D.
2.若数列的通项公式为,则( A )
A. B. C. D.
3.若数列满足,则( C )
A. 3 B. 2 C. D.
4.在空间四边形中,,且,则( C )
A. B.
C. D.
5.以下四个命题中,正确的是( B )
A. 若,则三点共线
B. 若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底
C.
D. 若,且,则
6.已知圆,圆,则两圆的公切线的条数为( B )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知等比数列的前项和为,且,则( B )
A. B. C. D.
8.双曲线的左、右焦点分别为,点是双曲线左支上一点,,直线交双曲线的另一支于点,,则双曲线的离心率( C )
A. B. C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列求导运算正确的是( CD )
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若,则
10.某次辩论赛有位评委进行评分,首先位评委各给出某选手一个原始分数,评定该选手成绩时从个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分,得到个有效评分.则这个有效评分与个原始评分相比,数字特征可能不同的是( ACD )
A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
11.在直三棱柱中,,,分别是的中点,在线段上,则下面说法中正确的有( AC )
A. 平面
B. 若是上的中点,则
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 存在点使直线与直线平行
12.在平面直角坐标系中,已知,若动点满足则( ACD )
A. 存在点,使得
B. 面积的最大值为
C. 对任意的点,都有
D. 椭圆上存在个点,使得的面积为
三 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在等差数列中,,则 9 .
14.从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务,则选出的名同学中至少有名女同学的概率是 .
15.若函数在上单调递增,则实数的取值范围是 .
16.高斯函数是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数,其中表示不超过的最大整数,如.已知满足,设的前项和为,的前项和为.则(1) 1 ；(2)满足的最小正整数为 91 ．（第一空2分，第二空3分）
解：由题可知：，所以．
所以．
设，则．
所以．
所以，所以．
所以，．
所以,所以满足的最小正整数为91．故填1，91．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）
17.的内角的对边分别为,已知
(1)求； (2)若,的面积为,求的周长.
答案：（1） （2）周长12（第一小题4分，第二小题6分）
解：（1）由已知及正弦定理得：
即, 故
∴, 可得, ∴
(2)由已知得，,又,所以
由已知及余定理得：，，从而
∴周长为．
18.如图，在平行四边形中,,四边形为正方形,且平面平面.
(1)证明:；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）因为，，，在中，
由余弦定理可得，
于是，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以
（2）因为四边形为正方形，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.
以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示空间直角坐标系.
，，，，，，
，,，.
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，
平面的一个法向量为，
所以，令，则，
所以，
记平面与平面的夹角为,则,即平面与平面夹角的余弦值为.
（第一小题5分，第二小题7分）
19.已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)已知时,直线为曲线的切线,求实数的值．
解: (1)．
令，得或．
若，则当时，；当时，．
故在单调递增，在单调递减；
若时，在单调递增；
若，则当时，；当时，．
故在单调递增，在单调递减．
(2) 当时,
设切点,则切线方程为
因为切线过原点, 故, 即, 解得
所以.
（第一小题6分，第二小题6分）
20.已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若,的前项和为,求.
解：（1）
-整理得
数列是正项数列,
当时,
数列是以2为首项,4为公差的等差数列,
（2）由题意知,
故
（第一小题6分，第二小题6分）
21.已知抛物线的焦点为,点是曲线上一点．
(1)若,求点的坐标；
(2)若直线与抛物线交于两点,且以为直径的圆过点,求.
解:由题知，，由抛物线的定义可得，而，所以，
解得或.当时，，当时，，
所以点的坐标为或．
设，联立方程，得，
所以 得,.
由题知，,
韦达定理代入解得.
故.
（第一小题4分，第二小题8分）
22.已知双曲线的渐近线方程为,焦点到渐近线的距离为,过点作直线(不与轴重合)与双曲线相交于两点,过点作直线的垂线为垂足．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在实数,使得直线过定点,若存在,求的值及定点的坐标；若不存在,说明理由.
解:(1)
(2)假设存在实数,使得直线过定点,由特殊位置分析可得,定点在轴上.
设直线,则．
联立,消得
则．
直线,令得:
解法一：又
当即时,为定值
所以存在实数,使得直线过定点
解法二：又
当即时,为定值
所以存在实数,使得直线过定点
（第一小题3分，第二小题9分）
