安徽省六安市毛坦厂中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）

毛坦厂中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若数列满足(，为常数)，则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，且，则（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
3．设分别为等比数列，的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.设函数，若，使得，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在等比数列中，公比，是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是公差为2的等差数列
10．已知函数在R上满足，且当时，成立，若，则下列说法正确的有（ ）
A．为奇函数 B．为奇函数
C．在R上单调递减 D．
11．已知函数，，则（ ）
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在唯一极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D．若，则的最大值为
12．已知为坐标原点，，是抛物线：上两点，为其焦点，，若到准线的距离为2，则下列说法正确的有（ ）
A．若直线过点，则直线，的斜率之积恒为
B．周长的最小值为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．若，则直线的斜率为
三、填空题
13．等差数列的前项和，等比数列的前项和，（其中、为实数）则的值为 __________.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上的点P满足轴，，则该椭圆的离心率为___________．
15．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
16．已知，若关于的方程存在正零点，则实数的取值范围 .
四、解答题
17．已知圆，直线.
（1）求证：对 ，直线与圆总有两个不同的交点；
（2）直线与圆交于两点，当弦长AB最短时，求直线AB方程．
18．在①，；②，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题.
已知数列前项和是，数列的前项和是，___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明：.
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求在上的最小值．
20．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)存在且，使成立，求的取值范围。
21．已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点且的面积为（其中为坐标原点），不过点的直线与抛物线交于，两点，且以为直径的圆经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求证直线恒过定点．
22．与椭圆：（，且）相关的两条直线称为椭圆的准线，已知直线是位于椭圆右侧的一条准线，椭圆上的点到的距离的最大值为6，最小值为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，分别是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于，的任意一点，直线，分别交轴于点，，求证：为定值.
毛坦厂中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
答案
1．A【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，则圆的方程为，又点在圆上，所以，解得.
故选：A
2．B【详解】因数列为“调和数列”，则，且为常数，因此数列是等差数列，
则有，解得，
所以.故选：B
3．C
【详解】解：设是公比为的等比数列，，
为公比为的等比数列，，
∵，
∴，
∴，即：，
，即：，
∴ 联立方程得：，解得：，
∴
故选：C.
4．A【详解】解：由题意，当，时，方程表示焦点在轴上的椭圆，方程表示开口向左的抛物线，故排除选项C、D；
当，时，方程表示焦点在轴上的双曲线，方程表示开口向右的抛物线，故排除选项B，而选项A符合题意，
故选：A.
5．【答案】C
【详解】解：因为函数，
所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立；
即在上恒成立；
即在上恒成立；
所以，
故选：C
6．【答案】C
【分析】因为，使得，所以在的值域包含于在的值域，然后分别求出两个函数的值域即可.
【详解】因为，使得，
所以在的值域包含于在的值域，
，
所以当时，单调增，当时，单调减，且离对称轴远，
所以.
,
所以当时，，单调减，当时，，单调增，
， ，，所以，
所以，所以，解得，故则的最小值为，
故选C
7．B【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长为，
取椭圆与双曲线在一象限的交点为，
由椭圆和双曲线定义分别有
，，
因为，所以，③
因为，
所以，④
所以，即，
所以，即，
则
当且仅当即，时等号成立，
所以最小值为，故选：B.
8．C【详解】因为实数，满足，
所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的椭圆的一部分（含点），
当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，
当时，其图象是位于第二象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，
当时，其图象不存在，
作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：
任意一点到直线的距离
所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，
双曲线，其中一条渐近线与直线平行
通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，
设与其图像在第一象限相切于点，
由
因为或（舍去）
所以直线与直线的距离为
此时，
所以的取值范围是．
故选：C．
9．BC【详解】由题设，，即，
由可得：，
∴，，
∴且公差为；且.
综上，A、D错误，B、C正确.故选：BC
10．【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义判断AB；构造函数，利用导数探讨单调性推理判断CD作答.
【详解】因为函数在R上满足，则函数是R上的偶函数，A错误；
令，则，则函数是R上的奇函数，B正确；
当时，，则函数在上单调递减，且，
由选项B知，函数在上单调递减，因此在R上单调递减，C正确；
显然，
由选项C知，，因此，D正确.
故选：BCD
11．AD
【详解】对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，故函数在上无极值点，故A正确；
对于B：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则函数在上无极值点，故B错误；
对于C：由A得在上单调递增，不等式恒成立，则恒成立，故恒成立.设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故C错误；
对于D：若，则.由A，B可知函数在上单调递增，在上单调递增，∵，∴，，且，当时，，设，设，则，令，解得，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最大值为，故D正确.
故选：AD.
12．CD
【详解】因为到准线的距离为2，所以，即抛物线方程为，焦点为，
对A，设，，由可得，，所以，，A错误；
对B，周长为，由抛物线的定义可知，的最小值为点到准线的距离，故周长的最小值为，B错误；
对C，外接圆与抛物线的准线相切，而外接圆的圆心横坐标为，所以外接圆半径为，即该圆面积为，C正确；
对D，由可得，直线过点，所以，而由前可知，，所以，即有，所以直线的斜率为，D正确．
故选：CD．
13．【详解】当时，，.
当时，，
，
因为数列为等差数列，则，可得，
因为数列为等比数列，则，可得.
因此，.故答案为：.
14．【详解】设，则.
由椭圆的定义可知：，所以.
所以
因为轴，所以为直角三角形，
由勾股定理得：，
即，即，
所以离心率.故答案为：
15．【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
16．【答案】
【详解】依题意，，令，
因此关于的方程存在正零点，即方程有解，
设，则，
故当时，，单调递减，当时，，单调递增，
于是，而，则存在唯一零点，
即在有解，即，
令，则，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，解得，所以实数的取值范围为.
故答案为：
17．（1）证明：直线的方程可化为，
令，解得，
直线恒过定点．
圆心坐标，，点在圆内，
直线与圆总有两个不同的交点；
（2）要使弦长最短，则直线与垂直，
，直线的斜率不存在，
又直线过，则直线方程：．
18．(1)选条件①：由，可得，两式相减可得，
则，在中，令，可得，即，
因此，数列是以3为首项，公比为3的等比数列，，
所以数列的通项公式为；
选条件②：由，可得，两式相减得，
即，变形得：，即数列任意相邻两项互为相反数，有，
而时，，解得，于是得，则当，，
从而有，，
所以数列的通项公式为.
(2)选条件①：由(1)知，设，
，
则，
两式相减可得
，于是得，
即；
选条件②：由(1)知，
所以.
19．【详解】（1）函数的定义域为，
则．
当时，在上恒成立，
故此时在上单调递减；
当时，由，得,由，得，
故此时在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，
所以在上单调递减，所以；
当时，
(i)若，即时，在上单调递增，
此时，；
(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时，；
(iii)若，即时，在上单调递减，
此时，．
综上所述，
20．【详解】（1）由题意得，令得，
时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减；
综上，单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由题意存在且，不妨设，
由（1）知时，单调递减．
等价于，
即，
即存在且，使成立．
令，则在上存在减区间．
即在上有解集，即在上有解，
即，；
令，，，
时，，在上单调递增，
时，，在单调递减，
∴，∴。
21．(1)解：由题意，抛物线：的焦点为，
点是抛物线上一点，可得，
又由的面积为，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
(2)解：设，，直线：，
联立方程组，消去得，
则，且，，
所以，
因为以为直径的圆经过点，可得，
所以
解得或，
当时，：恒过（不满足题意，舍去）；
当时，：恒过
所以直线恒过定点.
22．(1)由题意得∴，，所以，∴椭圆：
(2)由题意可知，，设，则，
直线：，直线：
分别令得，
∴，
∴