第十章 概率 章末复习课 学案（含答案）

第十章　概率 章末复习课
一、随机事件的概率
1．通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．了解概率的意义及频率与概率的区别．
2．掌握随机事件概率的应用，提升数学抽象和数学运算素养．
例1　随机抽取一个年份，对某市4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；
(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
反思感悟　(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
(2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在实验前已经确定，与试验次数无关，可以用频率估计概率．
跟踪训练1　电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可以使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)
二、互斥事件、对立事件与相互独立事件
1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
2．若事件A，B满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，且当A与B相互独立时，A与，与B，与也相互独立．
3．掌握互斥事件和对立事件的概率公式、相互独立事件的判断方法及应用，提升逻辑推理和数学运算素养．
例2　(多选)甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以事件A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以事件B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是(　　)
A．事件A1，A2互斥
B．事件B与事件A1相互独立
C．P(A1B)＝
D．P(B)＝
反思感悟　事件间的关系的判断方法
(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．
(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．
(3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P(AB)与P(A)P(B)是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立．
跟踪训练2　有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
三、古典概型
1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数k.
2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养．
例3　某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如下：
赞成 反对 合计
教师 120
学生 40
合计 280 120
(1)请将表格补充完整，若该地区共有教师30 000人，用频率估计概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数；
(2)先按照比例分配的分层随机抽样从“反对”的人中抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深入调研中恰有1名学生的概率．
反思感悟　在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把样本点一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目．
跟踪训练3　某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表：(单位：人)
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
四、相互独立事件概率的计算
1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．
2．掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养．
例4　我国的乒乓球运动领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制(即先胜三局的团队获得比赛的胜利)，假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．
(1)求这场选拔赛三局结束的概率；
(2)若第一局比赛乙队获胜，求这场选拔赛五局结束的概率．
反思感悟　解此类题的步骤如下
(1)标记事件．
(2)判断事件的独立性．
(3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立)．
(4)套用公式．
跟踪训练4　设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.
(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率；
(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率．
章末复习课
例1　解　(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，在4月份任取一天，该市不下雨的概率约为P＝＝.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率约为.
跟踪训练1　解　(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝
2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝372.
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
例2　ACD　[根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，
所以事件A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确；
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B)＝＝，P(A1B)＝＝，故C正确，D正确；
因为P(A1B)＝，
P(A1)P(B)＝×＝，
则P(A1B)≠P(A1)P(B)，事件B与事件A1不独立，故B错误．]
跟踪训练2　B　[事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．]
例3　解 　(1)表格补充如下：
赞成 反对 合计
教师 120 80 200
学生 160 40 200
合计 280 120 400
故可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为30 000
×＝12 000.
(2)由比例分配的分层随机抽样可知，所抽取的6人中有2名学生，记为a，b；4名教师记为1,2,3,4.随机选出3人进行深入调研，不同选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种，
恰有1名学生的选法有(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，共12种，
故深入调研中恰有1名学生的概率
P＝＝.
跟踪训练3　解　(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的有
45－30＝15(人)，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率
P＝＝.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3}，共包含15个样本点．
根据题意，这些样本点出现的可能性相等．事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有A1B2，A1B3，共2个．
所以其概率P＝.
例4　解　(1)设“第i局甲胜”为事件Ai，“第j局乙胜”为事件Bj(i，j＝1,2,3,4,5)，
记M1＝“三局结束比赛”，
则M1＝A1A2A3＋B1B2B3，
∴P(M1)＝P(A1A2A3)＋P(B1B2B3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(B1)P(B2)P(B3)
＝0.6×0.6×0.6＋0.4×0.4×0.4
＝0.28.
(2)记M2＝“五局结束比赛”，则M2＝A2A3B4＋A2B3A4＋B2A3A4，
∴P(M2)＝P(A2A3B4)＋P(A2B3A4)＋P(B2A3A4)
＝0.6×0.6×0.4＋0.6×0.4×0.6＋0.4×0.6×0.6
＝0.432.
跟踪训练4　解　记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立．
(1)由题意得
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，
P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，
P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，
∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，
P(C)＝0.5，
∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.
(2)∵A，B，C相互独立，
∴，，相互独立，
∴甲、乙、丙每台机器在一个小时内都不需要照顾的概率为
P()＝P()P()P()＝0.8×0.75×0.5＝0.3，
∴这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率为
P＝1－P()＝1－0.3＝0.7.