第十章 §10.3 频率与概率 学案（含答案）

§10.3　频率与概率
[学习目标]　
1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.
2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.
3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率．
一、频率的稳定性
问题1　利用计算机模拟抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示：
序号 n＝20 n＝100 n＝500
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.5 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
你能计算出事件A发生的概率吗？频率与概率有什么关系？
知识梳理　
1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的________性．因此，我们可以用频率fn(A)________概率P(A)．
2．概率是一个确定的数，与每次的试验无关．
例1　(1)(多选)下列说法中正确的有(　　)
A．任何事件发生的概率总是在[0,1]之间
B．概率是随机的，在试验前不能确定
C．频率是客观存在的，与试验次数无关
D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
反思感悟　(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定．
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关．
跟踪训练1　某射击选手在同一条件下进行射击，结果如表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约为多少？
二、游戏公平性的判断
例2　某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
跟踪训练2　下面有两个游戏规则，袋子中分别装有红球和白球，从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的？
游戏一 游戏二
2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取1个球，再取1个球 取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜
三、用随机模拟估计概率
问题2　用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以替代试验呢？
知识梳理　
1．利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形．
2．利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型．
3．利用随机模拟的方法估算概率的步骤：一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随着模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率．
例3　天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1,2,3,4,5,6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180,792,454,417,165,809,798,386,196,206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为(　　)
A. B. C. D.
反思感悟　用随机模拟法求事件概率的方法
在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果．
(1)试验的基本结果是等可能的时，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
跟踪训练3　袋子中装有四个小球，分别写有“中”“华”“民”“族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间的整数随机数，分别用0,1,2,3代表“中”
“华”“民”“族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为________．
1．知识清单：
(1)概率与频率的关系．
(2)用频率估计概率．
(3)用随机模拟估计概率．
2．常见误区：频率与概率的关系易混淆．
1．“某彩票的中奖概率为”意味着(　　)
A．买1 000张彩票就一定能中奖
B．买1 000张彩票中一次奖
C．买1 000张彩票一次奖也不中
D．购买一张彩票中奖的可能性是
2．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于(　　)
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
3．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　)
A．0.56,0.56
B．0.56,0.5
C．0.5,0.5
D．0.5,0.56
4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
§10.3　频率与概率
问题1　(1)试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性．
(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大．
知识梳理
1．稳定　稳定　估计
例1　(1)AD
(2)解　①抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96，0.95,0.956，0.954.
②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
跟踪训练1　解　(1)表中依次填入的数据为：0.8,0.95,0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
例2　解　该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
跟踪训练2　解　在游戏一中，取出的两个球同色的概率为
×＋×＝，
取出的两个球不同色的概率为×＋×＝，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，因此游戏一中的规则不公平．
游戏二中，取出的两个球同色的概率为×＝，
取出的两个球不同色的概率为×＋×＝，所以甲、乙获胜的概率均为，因此游戏二中的规则是公平的．
问题2　利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了．
例3　B　跟踪训练3　
随堂演练
1．D　2.B　3.B　4.500