第十章 §10.2 事件的相互独立性(一) 学案（含答案）

§10.2　事件的相互独立性(一)
[学习目标]　
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
一、相互独立事件的概念
问题1　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
知识梳理　
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
例1　判断下列事件是否为相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
反思感悟　两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．
跟踪训练1　一个不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．
(1)从口袋内有放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B＝“第二次抽到黄球”；
(2)从口袋内无放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B＝“第二次抽到黄球”．
试分别判断(1)(2)中的事件A，B是否为相互独立事件．
二、相互独立事件的性质
问题2　互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A 与事件B 相互独立， 那么它们的对立事件是否也相互独立？ 以课本实验2有放回摸球试验为例， 分别验证A与，与B，与是否独立，你有什么发现？
知识梳理　
1．如果事件A与事件B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
2．一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积．
例2　(多选)设M，N为两个随机事件，给出以下命题正确的是(　　)
A．若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件
B．若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件
C．若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件
D．若P(M)＝，P(N)＝，P( )＝，则M，N为相互独立事件
反思感悟　互斥事件与相互独立事件都描述了两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
跟踪训练2　若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又相互独立
三、相互独立事件概率的计算
例3　某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
反思感悟　(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的．
②求出每个事件的概率，再求积．
(2)使用相互独立事件同时发生的概率公式计算时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．
跟踪训练3　甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：
(1)两人都能破译的概率；
(2)恰有一人能破译的概率；
(3)至多有一人能破译的概率．
1．知识清单：
(1)相互独立事件的判断．
(2)相互独立事件概率的计算．
2．方法归纳：列举法、定义法．
3．常见误区：对事件是否相互独立判断错误．
1．掷一枚正方体骰子一次，设事件A＝“出现偶数点”，事件B＝“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　)
A．互斥但不相互独立
B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立
D．既不相互独立也不互斥
2．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为(　　)
A．1 B．0.629
C．0 D．0.74或0.85
3．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：
购买A种医用外科口罩 购买B种医用外科口罩 购买C种医用外科口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
则甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为(　　)
A．0.24 B．0.28 C．0.30 D．0.32
4．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
§10.2　事件的相互独立性(一)
问题1　用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点．而A＝{(1,1)，(1,0)}，B＝{(1,0)，(0,0)}，所以AB＝{(1,0)}．由古典概型概率公式，得
P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝.
于是P(AB)＝P(A)P(B)．
例1　解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
跟踪训练1　解　(1)有放回地抽取小球，事件A是否发生对事件B是否发生没有影响，它们是相互独立事件．
(2)无放回地抽取小球，记红、黄、蓝球的号码分别为1,2,3，则样本空间
Ω＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，共包含6个样本点，
A＝{(1,2)，(1,3)}，
B＝{(1,2)，(3,2)}．
因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
所以P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不是相互独立事件．
问题2　对于A与，因为A＝AB∪A，而且AB与A互斥，所以P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)，
所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)P()．由事件的独立性定义，A与相互独立．类似地，可以证明事件与B，与也都相互独立．
例2　ABD　[若P(M)＝，
P(N)＝，P(MN)＝，
则P(MN)＝P(M)P(N)，
则M，N为相互独立事件，故A正确；
若P()＝，P(N)＝，
P(MN)＝，
则P(M)＝1－P()＝，P(MN)＝P(M)P(N)，
则M，N为相互独立事件，故B正确；
若P(M)＝，P()＝，
则P(N)＝1－P()＝，
P(MN)＝×＝≠，
则M，N不是相互独立事件，故C错误；
若P(M)＝，P(N)＝，
P()＝，
则P(MN)＝1－P()＝
＝P(M)P(N)，
则M，N为相互独立事件，故D正确．]
跟踪训练2　C
例3　解　(1)记事件A1表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A2表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件B1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B2表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
所以A1A2表示“甲赢得比赛”，
P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)
＝×＝，
B1B2表示“乙赢得比赛”，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝×＝，
因为<，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大．
(2)记C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”，
由(1)知P()＝1－P(A1A2)
＝1－＝，
P()＝1－P(B1B2)＝1－＝，
所以C∪D表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
P(C∪D)＝1－P( )
＝1－P()P()＝1－×＝，
所以两人中至少有一人赢得比赛的概率为.
跟踪训练3　解　记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”．
(1)两个人都破译出密码的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)
＝×＝.
(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×
＝.
(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，
∴其概率为
1－P(AB)＝1－＝.
随堂演练
1．B　2.B　3.B　4.