安徽省六安市重点中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）

六安市重点中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
2．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，点是圆内一点，直线是以点为中点的弦所在的直线，直线的方程是，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．与圆相切 D．与圆相交
4．已知直线 和圆，则“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若函数使得数列，为递增数列，则称函数为“数列保增函数”．已知函数为“数列保增函数”，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知定义在上的函数满足且，则不等式的解集为（ ）.
A． B． C． D．
7．已知双曲线的右焦点与实轴的右端点分别为点，，以点为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，为坐标原点．若为等腰三角形，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．或
8．已知函数 (其中，为自然对数的底数)在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（ ）
A．是a，b，c成等差数列的充要条件
B．是a，b，c成等比数列的充要条件
C．若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
10．圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与圆相交
B．的最小值是1
C．从点向圆引切线，切线长的最小值是3
D．直线被圆截得的弦长取值范围为
11．已知定义在区间[a,b]上的函数，是的导函数，若存在，使得．则称ξ为函数f（x）在[a,b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间上至少有两个“中值点”的函数为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知双曲线的右焦点为，点A坐标为，点P双曲线左支上的动点，且的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为（ ）
A． B．2 C． D．3
三、填空题
13．直线与直线垂直，且相交于点，则 ．
14．已知函数，则= .
15．设等差数列{an}的前n项和为，且，则 .
16．设函数，曲线在点和点的两条切线相互垂直，且分别交轴于两点，则 ；的取值范围是 .
四、解答题
17．双曲线的离心率，且过点
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.
18．已知正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S2＋4S4＝S6，a1＝1.
（1）求数列{an}的公比q；
（2）令bn＝an－15，求T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值.
19．已知函数（其中，是自然对数的底数）．
(1)讨论的单调性；
(2)设，对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．
20．设数列满足： ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
21．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围．
22．阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）.试结合，上述事实现象完成下列问题：
(1)有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值；
(2)过点的直线（直线斜率不为）与焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在，请说明理由；
(3)结论:椭图上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向（2）中的椭圆引切线，切点分别为，.求证:直线恒过定点.
试卷第6页，共6页
参考答案：
1．B
2．B 【详解】解：由题可知，，则，
设等比数列的首项为，公比，可知，
因为，所以，
则，
所以，
故. 故选：B.
3．A 【详解】点在圆内，，
圆心到直线的距离，直线与圆相离，
又，则直线的斜率存在，为，
故其方程为，即，
∵，. 故选：A.
4．C 【详解】圆的方程可化为，
其圆心坐标为，半径为，
当时，直线，圆心到直线的距离，
此时圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，故充分性成立；
当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1时，
圆心到直线的距离，所以，解得，故必要性成立，
所以“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的充要条件.
故选：C.
5．B 【详解】由题意，对，，
即，
即，对恒成立，
由于在上单调递增，故，
故.
即. 故选：B
6．D 【详解】解：构造函数，
则，
因为定义在上的函数满足，所以，
所以在上单调递增，且，
所以不等式可化为，即，所以，
即不等式的解集为.
故选：D.
7．D【详解】如图，不妨取渐近线，则点到渐近线的距离，
所以，
若，则，所以离心率；
若，则点的横坐标，将代入，得点的坐标为，
所以，即，解得,
若，取的中点，连接，
由等腰三角形三线合一知，，
连接，由垂径定理知，，显然矛盾，故不成立；
综上，双曲线的离心率为或，
故选：D．
8．D
【详解】由可得：
，
当时，由，可得在区间上单调递增；
由，可得在区间上单调递减，
所以在x=1处取得极小值，无极大值，不符合题意.
当时，令，得或，只有当，即时，
由，可得在区间，上单调递增；
由，可得在区间上单调递减，故f(x)在x=1处取得极大值，
所以若函数在处取得极大值，则实数a的取值范围是.
故选：D
9．AC 【详解】对于选项A：根据等差中项即可得出是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；
对于选项B：，即，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，
a，b，c成等比数列，只能证明，即是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；
对于选项C：若a，b，c成等比数列，则，则，则，，成等比数列，故C正确；
对于选项D：若a，b，c成等差数列，则，无法得到，故D错误；
故选：AC.
10．BCD 【详解】圆，，圆心，半径，圆心到直线的距离为：，
直线与圆相离，故A错误；
当的值最小时，则，
的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故B正确；
从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故C正确；
直线过定点，所以直线被圆截得的弦长最长时，所截弦长为过点和圆心的圆的直径，即弦长的最大值为8，
最短的弦长为垂直与该直径的弦长，和圆心的距离为，最短弦长为，
故直线被圆截得的弦长取值范围为，D正确．
故选：BCD．
11．AD 【详解】对于A选项，，，
由，所以，，
当时，，如下图所示：
由图可知，直线与曲线在上的图象有两个交点，
A选项满足条件；
对于B选项，，，
由，所以，，
因为函数在上单调递增，故方程在上不可能有两个根，B不满足条件；
对于C选项，，，
由，可得，解得，
故函数在上只有一个“中值点”，C选项不满足条件；
对于D选项，，，
由，可得，
故函数在上有两个“中值点”，D满足条件.
故选：AD.
12．ABC 【详解】由右焦点为，点的坐标为，，
的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，
可得的最小值不小于 9
又为双曲线的左焦点，可得，
，
当，，三点共线时，取最小值
所以，即，因为，
可得．
故选：．
13． 【详解】由两直线垂直可得，解得，
将代入直线，即，解得，
将代入直线，即，解得.
故答案为：.
14． 【详解】，
则，得，
所以，
故.
故答案为：
15．4 【详解】由题意得：，，
则等差数列的公差，
则，，
解得：或（舍去），
故答案为：4.
16． 2
【详解】当时，；当时，，
依题意可知，且，
切线分别是，
，
故，
由两切线垂直知，
；
由两点间的距离公式得，，
.
故答案为：；
17．（1）因为离心率，所以，
又因为点在双曲线C上，所以，
联立上述方程，解得，，
所以双曲线的标准方程为.
（2）设所求双曲线的方程为，
因为所求双曲线经过点，则，即，
所以所求双曲线的方程为，其标准方程为.
18．（1）由题意可得q≠1，
由S2＋4S4＝S6，
可知＋4·＝，
所以(1－q2)＋4(1－q4)＝1－q6，而q≠1，q>0，
所以1＋4(1＋q2)＝1＋q2＋q4，即q4－3q2－4＝0，
所以(q2－4)(q2＋1)＝0，所以q＝2.
（2）由（1）知an＝2n－1，则{an}的前n项和Sn＝＝2n－1，
当n≥5时，bn＝2n－1－15>0，n≤4时，bn＝2n－1－15<0，
所以T＝－(b1＋b2＋b3＋b4)＋(b5＋b6＋…＋b10)
＝－(a1＋a2＋a3＋a4－15×4)＋(a5＋a6＋…＋a10－15×6)
＝－S4＋S10－S4＋60－90＝S10－2S4－30
＝(210－1)－2(24－1)－30＝210－25－29＝1024－32－29＝963.
19．【详解】（1）因为，所以，
当时，恒成立，
令，得；令，得；
故在单调递增，在单调递减；
当时，令，得或，
当时，，
令，得；令，得或；
所以在和上单调递增，上单调递 ；
当时，，
当时，，则；当时，，则；当时，；
故恒成立，所以在上单调递增；
当时，，
令，得；令，得或；
所以在和上单调递增，在单调递减；
综上：当时，在单调递增，在单调递减；
当时，所以在和上单调递增，上单调递 ；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
（2）因为，
而对任意，不等式恒成立，将代入整理可得恒成立，
令，则，
令，易知在上单调递减，而，
所以存在唯一，使得，即，
故在上，，则；在上，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，则
所以，即.
【详解】（1）①，
时，②
①﹣②得，即，
在①中令得.
所以.
（2）．
则当时，，
当时，，
则
，
.
当时，，符合.
所以.
21．（1）由，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
故当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由，所以，整理可得，
令，则，
当时，在上，恒成立，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，符合题意；
当时，由（1）可得，
令，即，此时恒有，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
，符合题意；
当时，，不符合题意.
综上，解得.
22．（1）由已知，，，∴，，，
不妨假设桌球放置于椭圆左焦点处，
①若桌球击出后，经过球桌边缘反射的位置位于椭圆长轴的右端点，
则第一次返回到左焦点处时，；
②若桌球击出后，经过球桌边缘反射的位置位于椭圆长轴的左端点，
则第一次返回到左焦点处时，；
③若桌球击出后，经过球桌边缘反射的位置位于除椭圆长轴两个端点外的任意一点处，
则第一次返回到左焦点处时，，
综上所述，的值为或或.
（2）焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆的标准方程为：，
设过点的直线（直线斜率不为）的方程为：，
则消去，化简得，
设，，则，，
∴当时，是与无关的定值，
∴存在定点，使为定值或定点，使为定值.
（3）设，，，
则过所引椭圆切线分别为：：，：，
∵在与上，∴，
即点，的坐标满足方程，点，在直线上，
∴直线的方程为，恒过定点.
答案第16页，共16页