新疆乌鲁木齐市实验名校2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版）
文档属性
| 名称 | 新疆乌鲁木齐市实验名校2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-04 20:14:14 | ||
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文档简介
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市实验学校高一上学期期末
数学试题
一、单选题
1．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知正数满足，则的最小值为
A．3 B． C．4 D．
3．设，且则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数为偶函数，当时，，则（ ）
A．－6 B．－4 C．－2 D．－1
5．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．设,为非空集合，定义，且，已知，，则（ ）
A． B．或
C．或 D．
7．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
8．若函数，且，则a等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数满足
B．函数在上单调递增
C．函数在区间上单调递增
D．函数图像关于点对称
10．集合中有且只有一个元素，则的取值可以是（ ）
A．1 B． C．0 D．2
11．下列说法正确的是（ ）
A．关于的方程的解集中只含有一个元素，则
B．若，则函数有最大值，无最小值.
C．函数的最小值为
D．已知，，则的取值范围是
三、填空题
12．函数的图象恒过定点 .
13．已知则的最小值为 .
14．计算，其结果是
四、解答题
15．化简，求值：
（1）；
（2）计算已知，，试用，表示
16．已知函数的定义域是且，对定义域内的任意都有，且当时，，.
（1）求证：函数是偶函数；
（2）求证：在上是增函数；
（3）解不等式：.
17．绿水青山就是金山银山，“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间，在生产生活中更应该注重对环境的保护．为了减少工厂废气排放的影响，工厂可以采用一些技术来减少废气排放，也可以改变生产工艺来减少废气排放，某工厂产生的废气经过滤，后排放、过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位．h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前5h消除了的污染物，那么
(1)10h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少需要花多少时间（精确到）？
(3)画出P关于t变化的函数图象．
18．若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
19．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市实验学校高一上学期期末
数学试题
一、单选题
1．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，然后根据对数函数的性质，得到构造函数的单调性，即可得出结论.
【详解】由题意，
在中，
的图象在函数图象的上方，且随着的增大，两条曲线越来越接近.这说明，随着的增大，两个函数的值越来越接近.
∵所以随着的增大，比值越来越小，且趋向1.
∴是上的减函数；
∴，
故选：B.
2．已知正数满足，则的最小值为
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】由题意可得，
∴(当且仅当即时取等号)
∵
∴ (当且仅当时取等号)
∴即
∵∴
∴(当且仅当时取等号)
则的最小值
3．设，且则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据负数或0举反例，结合不等式的性质逐个判断即可.
【详解】对A，当时，但，故A错误；
对B，当时，故B错误；
对C，当时，但，故C错误；
对D，则，故D正确；
故选：D
4．已知函数为偶函数，当时，，则（ ）
A．－6 B．－4 C．－2 D．－1
【答案】D
【分析】根据函数为偶函数得到，从而得到，从而代入函数即可.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
令得：，
因为时，，
所以.
故选：D
5．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式、两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式，余弦公式进行求解判断即可.
【详解】A：，
，因此本选项等式不成立；
B：
，因此本选项等式不成立；
C：，因此本选项等式不成立；
D：，因此本选项等式成立，
故选：D
6．设,为非空集合，定义，且，已知，，则（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】由题意先求，进而求出
【详解】由于，，
所以，
所以或，
故选：C．
7．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直接根据并集的概念求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于基础题.
8．若函数，且，则a等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将代入函数解析式，解方程即可.
【详解】由，令，
则，
解得.
故选：A.
【点睛】考查具体函数函数值的求解，属基础题.
二、多选题
9．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数满足
B．函数在上单调递增
C．函数在区间上单调递增
D．函数图像关于点对称
【答案】AD
【分析】选项A. 直接化简由诱导公式，可判断；选项B. 求出函数的单调区间可判断；选项C求出的定义域可判断；选项D求出对称中心坐标可判断.
【详解】选项A.
，故A正确.
选项B. 函数的单调递减区间：
即，
当时，函数在上单调递减，所以B不正确.
选项C. 的定义域为
由，所以函数在区间上不单调，所以C不正确.
选项D. 函数的对称中心满足：
即，所以的对称中心坐标为
当时，为函数的一个中心对称点，所以D正确.
故选：AD
10．集合中有且只有一个元素，则的取值可以是（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】ABC
【分析】由方程的类型引起讨论，当为二次方程时，判别式为0则方程有一根，令判别式等于0求出的值．
【详解】解：集合表示方程的解组成的集合，
当时，符合题意；
当要使中有且只有一个元素
只需解得
故的取值集合是，
故选：．
11．下列说法正确的是（ ）
A．关于的方程的解集中只含有一个元素，则
B．若，则函数有最大值，无最小值.
C．函数的最小值为
D．已知，，则的取值范围是
【答案】BD
【分析】对于A，首先确定方程需满足且，再将其转化为一元二次方程进行辨析即可；
对于B，当时，，再由基本不等式求的最小值进行辨析即可；
对于C，由基本不等式等号成立的条件进行辨析即可；
对于D，由不等式的性质进行辨析即可.
【详解】对于A，关于的方程等价于，
易知，当时，的根为（舍去）或，
此时方程的解集为，只含有一个元素，选项A错误；
对于B，当时，，，，
当且仅当，即时，等号成立，
∴，∴，
∴时，则函数有最大值，无最小值，选项B正确；
对于C，，
等号成立的条件为，当且仅当时，此时无实数解，
故等号无法成立，选项C错误；
对于D，∵，∴，∴，
又∵，∴，的取值范围是，选项D正确.
故选：BD.
三、填空题
12．函数的图象恒过定点 .
【答案】（1,3）
【分析】根据指数函数的性质，即可得答案.
【详解】令，可得，
所以，即图象恒过定点（1,3）.
故答案为：（1,3）
13．已知则的最小值为 .
【答案】9
【分析】利用题设条件进行常值代换，运用基本不等式计算即得.
【详解】因由
当且仅当时，即时，等号成立.则时，取最小值9.
故答案为：9.
14．计算，其结果是
【答案】
【分析】根据指数与对数的运算法则求解即可.
【详解】
故答案为
【点睛】本题主要考查了对数与指数幂的运算，熟知对数运算法则及恒等式是关键，属于基础题型.
四、解答题
15．化简，求值：
（1）；
（2）计算已知，，试用，表示
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用指数幂的运算化简求解；
（2）由得，再利用对数的运算法则求解.
【详解】解：（1）原式=
（2）由得，
．
16．已知函数的定义域是且，对定义域内的任意都有，且当时，，.
（1）求证：函数是偶函数；
（2）求证：在上是增函数；
（3）解不等式：.
【答案】（1）详见解析;（2）详见解析;（3）.
【分析】（1）通过赋值法得到，再通过定义法证明函数是偶函数；
（2）由构造，然后通过当时，，定号，进而解决单调性问题；
（3）利用题设，赋值可得，再利用条件将原不等式化为，结合在上是增函数解出不等式.
【详解】（1）证明：由题可知，令，则，
所以，，
令，则，
所以，，
对任意的都有，成立，
所以，函数是偶函数；
（2）证明：设为上任意两数，且，则
因为，则，
所以，，
所以，即
所以，在上是增函数；
（3）
所以不等式可化为
由（2）可知，在上是增函数
所以，
所以，，，且
所以，，
故原不等式的解集为.
17．绿水青山就是金山银山，“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间，在生产生活中更应该注重对环境的保护．为了减少工厂废气排放的影响，工厂可以采用一些技术来减少废气排放，也可以改变生产工艺来减少废气排放，某工厂产生的废气经过滤，后排放、过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位．h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前5h消除了的污染物，那么
(1)10h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少需要花多少时间（精确到）？
(3)画出P关于t变化的函数图象．
【答案】(1)
(2)33h
(3)图象见解析
【分析】（1）根据条件可计算，从而可得的值，进而得出答案；
（2）令，根据指数运算性质求出的值；
（3）根据题意结合指数函数单调性作出大致图象．
【详解】（1）当时，，
当时，，即，可得，
当时，，
即10h后，还剩的污染物.
（2）设污染物减少需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得，
可得，
即污染物减少大约需要花33h.
（3）由（1）可得：，
图象大致如图所示.
18．若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出，即可得出解析式；
（2）根据函数单调性，将不等式化为，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，
又是增函数，即，，则；
（2）因为为增函数，所以由可得，解得或
的取值范围是或.
19．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果；
（2）根据（1）的结果求出tan，利用两角和正切公式，即可求出结果.
【详解】（1）∵sinα，且α为第二象限角，∴cos，
∴sin2α＝2sinαcosα；
（2）由（1）知tan，
∴tan（α）．
【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.
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数学试题
一、单选题
1．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知正数满足，则的最小值为
A．3 B． C．4 D．
3．设，且则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数为偶函数，当时，，则（ ）
A．－6 B．－4 C．－2 D．－1
5．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．设,为非空集合，定义，且，已知，，则（ ）
A． B．或
C．或 D．
7．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
8．若函数，且，则a等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数满足
B．函数在上单调递增
C．函数在区间上单调递增
D．函数图像关于点对称
10．集合中有且只有一个元素，则的取值可以是（ ）
A．1 B． C．0 D．2
11．下列说法正确的是（ ）
A．关于的方程的解集中只含有一个元素，则
B．若，则函数有最大值，无最小值.
C．函数的最小值为
D．已知，，则的取值范围是
三、填空题
12．函数的图象恒过定点 .
13．已知则的最小值为 .
14．计算，其结果是
四、解答题
15．化简，求值：
（1）；
（2）计算已知，，试用，表示
16．已知函数的定义域是且，对定义域内的任意都有，且当时，，.
（1）求证：函数是偶函数；
（2）求证：在上是增函数；
（3）解不等式：.
17．绿水青山就是金山银山，“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间，在生产生活中更应该注重对环境的保护．为了减少工厂废气排放的影响，工厂可以采用一些技术来减少废气排放，也可以改变生产工艺来减少废气排放，某工厂产生的废气经过滤，后排放、过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位．h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前5h消除了的污染物，那么
(1)10h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少需要花多少时间（精确到）？
(3)画出P关于t变化的函数图象．
18．若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
19．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市实验学校高一上学期期末
数学试题
一、单选题
1．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，然后根据对数函数的性质，得到构造函数的单调性，即可得出结论.
【详解】由题意，
在中，
的图象在函数图象的上方，且随着的增大，两条曲线越来越接近.这说明，随着的增大，两个函数的值越来越接近.
∵所以随着的增大，比值越来越小，且趋向1.
∴是上的减函数；
∴，
故选：B.
2．已知正数满足，则的最小值为
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】由题意可得，
∴(当且仅当即时取等号)
∵
∴ (当且仅当时取等号)
∴即
∵∴
∴(当且仅当时取等号)
则的最小值
3．设，且则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据负数或0举反例，结合不等式的性质逐个判断即可.
【详解】对A，当时，但，故A错误；
对B，当时，故B错误；
对C，当时，但，故C错误；
对D，则，故D正确；
故选：D
4．已知函数为偶函数，当时，，则（ ）
A．－6 B．－4 C．－2 D．－1
【答案】D
【分析】根据函数为偶函数得到，从而得到，从而代入函数即可.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
令得：，
因为时，，
所以.
故选：D
5．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式、两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式，余弦公式进行求解判断即可.
【详解】A：，
，因此本选项等式不成立；
B：
，因此本选项等式不成立；
C：，因此本选项等式不成立；
D：，因此本选项等式成立，
故选：D
6．设,为非空集合，定义，且，已知，，则（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】由题意先求，进而求出
【详解】由于，，
所以，
所以或，
故选：C．
7．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直接根据并集的概念求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于基础题.
8．若函数，且，则a等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将代入函数解析式，解方程即可.
【详解】由，令，
则，
解得.
故选：A.
【点睛】考查具体函数函数值的求解，属基础题.
二、多选题
9．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数满足
B．函数在上单调递增
C．函数在区间上单调递增
D．函数图像关于点对称
【答案】AD
【分析】选项A. 直接化简由诱导公式，可判断；选项B. 求出函数的单调区间可判断；选项C求出的定义域可判断；选项D求出对称中心坐标可判断.
【详解】选项A.
，故A正确.
选项B. 函数的单调递减区间：
即，
当时，函数在上单调递减，所以B不正确.
选项C. 的定义域为
由，所以函数在区间上不单调，所以C不正确.
选项D. 函数的对称中心满足：
即，所以的对称中心坐标为
当时，为函数的一个中心对称点，所以D正确.
故选：AD
10．集合中有且只有一个元素，则的取值可以是（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】ABC
【分析】由方程的类型引起讨论，当为二次方程时，判别式为0则方程有一根，令判别式等于0求出的值．
【详解】解：集合表示方程的解组成的集合，
当时，符合题意；
当要使中有且只有一个元素
只需解得
故的取值集合是，
故选：．
11．下列说法正确的是（ ）
A．关于的方程的解集中只含有一个元素，则
B．若，则函数有最大值，无最小值.
C．函数的最小值为
D．已知，，则的取值范围是
【答案】BD
【分析】对于A，首先确定方程需满足且，再将其转化为一元二次方程进行辨析即可；
对于B，当时，，再由基本不等式求的最小值进行辨析即可；
对于C，由基本不等式等号成立的条件进行辨析即可；
对于D，由不等式的性质进行辨析即可.
【详解】对于A，关于的方程等价于，
易知，当时，的根为（舍去）或，
此时方程的解集为，只含有一个元素，选项A错误；
对于B，当时，，，，
当且仅当，即时，等号成立，
∴，∴，
∴时，则函数有最大值，无最小值，选项B正确；
对于C，，
等号成立的条件为，当且仅当时，此时无实数解，
故等号无法成立，选项C错误；
对于D，∵，∴，∴，
又∵，∴，的取值范围是，选项D正确.
故选：BD.
三、填空题
12．函数的图象恒过定点 .
【答案】（1,3）
【分析】根据指数函数的性质，即可得答案.
【详解】令，可得，
所以，即图象恒过定点（1,3）.
故答案为：（1,3）
13．已知则的最小值为 .
【答案】9
【分析】利用题设条件进行常值代换，运用基本不等式计算即得.
【详解】因由
当且仅当时，即时，等号成立.则时，取最小值9.
故答案为：9.
14．计算，其结果是
【答案】
【分析】根据指数与对数的运算法则求解即可.
【详解】
故答案为
【点睛】本题主要考查了对数与指数幂的运算，熟知对数运算法则及恒等式是关键，属于基础题型.
四、解答题
15．化简，求值：
（1）；
（2）计算已知，，试用，表示
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用指数幂的运算化简求解；
（2）由得，再利用对数的运算法则求解.
【详解】解：（1）原式=
（2）由得，
．
16．已知函数的定义域是且，对定义域内的任意都有，且当时，，.
（1）求证：函数是偶函数；
（2）求证：在上是增函数；
（3）解不等式：.
【答案】（1）详见解析;（2）详见解析;（3）.
【分析】（1）通过赋值法得到，再通过定义法证明函数是偶函数；
（2）由构造，然后通过当时，，定号，进而解决单调性问题；
（3）利用题设，赋值可得，再利用条件将原不等式化为，结合在上是增函数解出不等式.
【详解】（1）证明：由题可知，令，则，
所以，，
令，则，
所以，，
对任意的都有，成立，
所以，函数是偶函数；
（2）证明：设为上任意两数，且，则
因为，则，
所以，，
所以，即
所以，在上是增函数；
（3）
所以不等式可化为
由（2）可知，在上是增函数
所以，
所以，，，且
所以，，
故原不等式的解集为.
17．绿水青山就是金山银山，“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间，在生产生活中更应该注重对环境的保护．为了减少工厂废气排放的影响，工厂可以采用一些技术来减少废气排放，也可以改变生产工艺来减少废气排放，某工厂产生的废气经过滤，后排放、过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位．h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前5h消除了的污染物，那么
(1)10h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少需要花多少时间（精确到）？
(3)画出P关于t变化的函数图象．
【答案】(1)
(2)33h
(3)图象见解析
【分析】（1）根据条件可计算，从而可得的值，进而得出答案；
（2）令，根据指数运算性质求出的值；
（3）根据题意结合指数函数单调性作出大致图象．
【详解】（1）当时，，
当时，，即，可得，
当时，，
即10h后，还剩的污染物.
（2）设污染物减少需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得，
可得，
即污染物减少大约需要花33h.
（3）由（1）可得：，
图象大致如图所示.
18．若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出，即可得出解析式；
（2）根据函数单调性，将不等式化为，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，
又是增函数，即，，则；
（2）因为为增函数，所以由可得，解得或
的取值范围是或.
19．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果；
（2）根据（1）的结果求出tan，利用两角和正切公式，即可求出结果.
【详解】（1）∵sinα，且α为第二象限角，∴cos，
∴sin2α＝2sinαcosα；
（2）由（1）知tan，
∴tan（α）．
【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.
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