重庆市南开名校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2023-2024学年重庆市南开中学校高一上学期期末考试
数学试题
一、单选题
1．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．36
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知点，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知函数的图象关于对称，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．请运用所学三角恒等变换公式，化简计算，并从以下选项中选择该式子正确的值（ ）
A． B． C．2 D．1
7．已知实数，且，则以下说法正确的是（ ）
A． B．的值为4或8 C． D．的值为
8．已知，则以下关于的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为 B．是函数的一个对称中心
C．是函数的一个周期 D．不等式的解集为
11．已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若周期为2，则为奇函数 B．为奇函数
C．若周期为4，则为偶函数 D．为奇函数
12．已知函数的部分图像如下，则下列说法正确的是（ ）
A．的值为
B．在单调递增
C．
D．若方程，且在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是
三、填空题
13．命题的否定是 ．
14．南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为 ．
15．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．已知，若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知指数函数的反函数为．
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，求不等式的解集．
18．已知函数．
(1)设是函数图像的一条对称轴，求的值；
(2)将的图像上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，再将得到的图像向右平移个单位，向上平移一个单位，得到函数的图像，求在上的值域．
19．已知，其中．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
20．长时间的实践表明，冲泡绿茶用开水最为合适，饮用时茶水温度在至之间口感最佳．已知环境温度为，物体温度为吋，经过分钟后物体温度满足，其中为常数．某实验小组通过数据收集，计算得常数，假设近期室内温度均为．
(1)以开水冲泡绿茶，经过8分钟后茶水温度约为多少？
(2)早上张老师到办公室上班，先用开水泡好一杯绿茶，然后去教室看早自习，再回到办公室准备喝茶，请帮张老师计算一下他泡的茶水能保持最佳口感的时长．
（注意：本题结果都保留两位小数，参考数据，，）
21．已知定义在上的函数．
(1)当时，解关于的不等式：；
(2)若函数的图象与函数的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围．
22．已知函数，若的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有三个不同零点，，，且．
①求实数取值范围；
②若，求实数的取值范围．
2023-2024学年重庆市南开中学校高一上学期期末考试
数学试题
一、单选题
1．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，运算求解即可.
【详解】由题意可知：，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
2．已知，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．36
【答案】C
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由于，所以，所以，当且仅当，即时取等号，
故选：C
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】直接举特例判断即可.
【详解】当时，，但，充分性不满足
又当时，，但，必要性不满足，
故“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D.
4．已知点，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由诱导公式可得，后由弧度制结合象限角三角函数值符号可得答案.
【详解】由诱导公式，，则.
又，则，即点P在第四象限.
故选：D
5．已知函数的图象关于对称，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由辅助角公式可得，其中，后由图象关于对称，可得，即可得答案.
【详解】由辅助角公式，，其中，
因图象关于对称，则
，，则.
故选：B
6．请运用所学三角恒等变换公式，化简计算，并从以下选项中选择该式子正确的值（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】由切化弦，然后利用和角公式可得.
【详解】
故选：A
7．已知实数，且，则以下说法正确的是（ ）
A． B．的值为4或8 C． D．的值为
【答案】B
【分析】由，且可得或，后验证各选项即可得答案.
【详解】因，则，又，
则或.
则或，结合，得或.
A选项，当时，；当时，，故A错误；
B选项，当时，；当时，，故B正确；
C选项，当时，；当时，，故C错误；
D选项，当时，；当时，，故D错误.
故选：B
8．已知，则以下关于的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据零点存在性定理可求解，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解的范围，即可比较大小．
【详解】由，令，则在定义域内单调性递增，且，
由零点存在性定理可得，
，
又，因此，
，可得，
，，
，
，，，
．
故选：D
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：
（1）结合函数性质进行比较；
（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；
（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.
二、多选题
9．若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由已知分两种情况，当时，，当时，，结合函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为，
所以当时，得，
所以在定义域内单调递减，且，
函数的定义域为，
且由简单函数，复合而成，
由复合函数的单调性可知在定义域范围内单调递减，
且当趋近于时，取得无穷小， 故B正确，D错误；
当时，得，
所以在定义域内单调递增，且，
当无穷小时，无限趋近于，
此时在内单调递增，
且当趋近于时，取得无穷大， 故C正确，A错误.
故选：BC.
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为 B．是函数的一个对称中心
C．是函数的一个周期 D．不等式的解集为
【答案】ACD
【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，函数函数的周期，故A正确；
对于B，因为，
所以不是函数的一个对称中心，故B错误；
对于C，令，
因为，
所以是函数的一个周期，故C正确；
对于D，由，
得，解得，
所以不等式的解集为，故D正确.
故选：ACD.
11．已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若周期为2，则为奇函数 B．为奇函数
C．若周期为4，则为偶函数 D．为奇函数
【答案】AD
【分析】根据函数的周期性以及对称性即可判断A，结合对数的运算性质即可求解D，举反例即可求解BD.
【详解】由于的图像关于中心对称，所以，
对于A, 若周期为2，则，
所以，故为奇函数，A正确，
对于B，若，显然的图像关于中心对称，
但是，
故不是奇函数，B错误，
对于C, 若，显然的图像关于中心对称，且周期为4，
当时，则故不为偶函数，C错误
对于D，，
所以，
故为奇函数，D正确，
故选：AD
12．已知函数的部分图像如下，则下列说法正确的是（ ）
A．的值为
B．在单调递增
C．
D．若方程，且在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是
【答案】ABD
【分析】先根据图像求出函数解析式，然后逐一判断
【详解】由图象得，即，得，由图可知函数是单调递减的，
所以，所以，故A对；
设周期为T，则，所以，得，
，则，
令在上单调递增，在上单调递增，
所以在单调递增，故B对；
，，因为，所以，
故 C错；
由图象可得：当时，且，
即，得，
得，此时有2个不同的交点即是临界点，
方程，且在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是，故D对
故选：ABD
三、填空题
13．命题的否定是 ．
【答案】
【分析】由全称命题否定的改写规则可得答案.
【详解】由题，命题p的否定是：.
故答案为：.
14．南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为 ．
【答案】/
【分析】设该扇形的半径为，弧长为，面积为，由已知可得，，利用扇形面积公式结合二次函数求最值即可.
【详解】设该扇形的半径为，弧长为，面积为，
由已知，则，，
所以，
所以当时，有最大值.
故答案为：.
15．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意分析可得，根据恒成立问题结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】因为，则，
其中，
当时，取到最大值，
可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
16．已知，若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的定义域、正弦函数的单调性和复数函数的单调性可得函数的单调减区间为，进而，建立不等式组，解之即可求解.
【详解】由题意知，函数的定义域为，
得，得.
又函数的单调增区间为，
由，
，解得，
即函数的单调减区间为，
又函数在上单调递减，所以，
得，解得，
又，所以令，解得.
故答案为：
四、解答题
17．已知指数函数的反函数为．
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数的定义可得，再根据指数函数的反函数是对数函数分析可解；
（2）根据奇偶性的定义以及复合函数单调性判断的奇偶性和单调性，进而解不等式.
【详解】（1）若为指数函数，
则，且，解得，即，
所以指数函数的反函数为.
（2）因为，可知的定义域为，
且，
可知为定义在上的偶函数，
又因为在上单调递增，且在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，且在内单调递减，
对于不等式，可得，
整理得，解得，
所以等式的解集为.
18．已知函数．
(1)设是函数图像的一条对称轴，求的值；
(2)将的图像上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，再将得到的图像向右平移个单位，向上平移一个单位，得到函数的图像，求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对称轴的定义得，，代入即可求；
（2）根据图象变换可求出，结合x的取值范围，求出的范围，由正弦函数性质可得.
【详解】（1）因为是函数图像的一条对称轴，
所以，得，，
即，而，
（2），
将的图像上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变得，
再将得到的图像向右平移个单位，向上平移一个单位，得，
，则，，
在上的值域为
19．已知，其中．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，则，根据平方关系及商数关系求出，再求出即可得解；
（2）由（1）可得，再利用二倍角公式求出，进而可求得，再根据两角和的余弦公式即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，所以，
，
所以，
所以；
（2）由（1）得，
则，
因为，所以，
所以，
所以，
即，所以，
，
即，
所以.
20．长时间的实践表明，冲泡绿茶用开水最为合适，饮用时茶水温度在至之间口感最佳．已知环境温度为，物体温度为吋，经过分钟后物体温度满足，其中为常数．某实验小组通过数据收集，计算得常数，假设近期室内温度均为．
(1)以开水冲泡绿茶，经过8分钟后茶水温度约为多少？
(2)早上张老师到办公室上班，先用开水泡好一杯绿茶，然后去教室看早自习，再回到办公室准备喝茶，请帮张老师计算一下他泡的茶水能保持最佳口感的时长．
（注意：本题结果都保留两位小数，参考数据，，）
【答案】(1)
(2)到分钟
【分析】（1）由已知直接得到解析式，代入求解即可；
（2）根据题意得到不等式，利用指数和对数的运算求解即可.
【详解】（1）由已知可得，
当时，，
所以以开水冲泡绿茶，经过8分钟后茶水温度约为；
（2）由于饮用时茶水温度在至之间口感最佳，
所以，即，
所以，所以，
所以即，
张老师泡的茶水能保持最佳口感的时长为到分钟.
21．已知定义在上的函数．
(1)当时，解关于的不等式：；
(2)若函数的图象与函数的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，根据二次不等式以及指数函数单调性解不等式；
（2）根据题意可知方方程在内有2个不同的根，换元，结合函数单调性分析可知在内有2个不同的根，分类参数结合对勾函数分析求解.
【详解】（1）当时，不等式即为，
令，可得，解得或（舍去），
即，解得，
所以关于的不等式的解集为.
（2）对于函数，
令，解得，
可知函数的定义域为.
令，
可得，即，
即方程在内有2个不同的根，
令，可得，
因为在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
可知方程有且仅有一个根1，
由题意可知：在内有2个不同的根，
即在内有两个根，
令，可知在内有两个根，
即与在内有两个不同的交点，
由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增，
当时，取到最小值2，
则，可得，
所以实数的取值范围.
【点睛】关键点睛：1.注意对数的真数大于0；
2.利用换元法和转化的思想，结合函数分析函数交点、零点以及方程的根.
22．已知函数，若的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有三个不同零点，，，且．
①求实数取值范围；
②若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据题意求解即可；
（2）①根据（1），利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论即可，②设，为方程的两个不相等的实数根，由①可求得，的取值范围，根据，结合三角函数的性质和三角恒等变换求得，的关系，根据韦达定理求解，，代入，的关系式中，即可求得的取值范围.
【详解】（1）
因为的最小正周期为，所以，即，
所以；
（2）①由（1）知，
由，可得，
令，则，，
若函数在有三个零点，
即在有三个不相等的实数根，
也就是关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，
或一个实根是，另一个实根在，
当一个根在，另一个实根在，
所以，即，解得：，
当一个根为时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意，
当一个根是，即，解得，此时方程为，所以，不合题意，
当一个根是，另一个实根在，由得，此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意，
综上的取值范围是；
②设，为方程的两个不相等的实数根，则，
由①知，，，
所以，即，
，所以，即，
由得，所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
又，且，所以，
所以，
整理得，因为，所以，
解得或，又，所以，
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：本题考查三角恒等变换，函数零点问题；先进行三角恒等变换，由最小正周期为，可求解的值，得到的解析式，把函数零点问题转化为方程的根的问题，利用换元法转化为二次方程根的分布问题；利用已知条件通过变形得到，的关系，利用韦达定理把，用表示，代入关系式求解.
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