四川省绵阳市2023-2024学年高一上期末教学质量测试数学试题（解析版）

2023-2024学年四川省绵阳市高一上期末教学质量测试
数学试题
一、单选题
1．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“不等式成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设函数，则（ ）
A． B． C． D．1
6．函数在区间上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和等于（ ）
A．0 B． C．1 D．2
8．火箭必须达到第一宇宙速度，才可以绕地球轨道飞行．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：）和火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足（e为自然对数的底）．当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（，结果精确到0.1）．（ ）
A．48.5 B．51.2 C．53.8 D．58.4
二、多选题
9．已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．不等式的解集为 D．函数是偶函数
10．已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．的最大值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为1
11．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或3
C．若，则 D．，使得
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（ ）
A．当时，
B．
C．不等式的解集为
D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则
三、填空题
13．计算： ．
14．函数的定义域为 ．
15．已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为 .
16．若函数满足，当时，，则不等式的解集为 ．
四、解答题
17．设全集为，已知集合．
(1)求；
(2)求．
18．已知二次函数满足，函数仅有一个零点，且零点为1．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最小值为，求的值．
19．在①；②；③点在角的终边上．这三个条件中，选择其中一个，解决下面问题．
(1)求的值；
(2)若角的终边在第三象限，求的值．
20．某县茶叶种植历史悠久，品种繁多，自古为“贡茶之乡”．其中“雪芽绿茶”以其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐．经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感．经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足．
(1)求常数的值；
(2)经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：）
21．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；
(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取值范围及的值．
22．已知函数是上的奇函数．
(1)求的值；
(2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围．
2023-2024学年四川省绵阳市高一上期末教学质量测试
数学试题
一、单选题
1．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解指数函数不等式化简集合，根据元素与集合，集合与集合的关系以及集合的区间表示即可得解.
【详解】由题意，所以.
故选：D.
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】结合条件不等式，利用作差法比较大小即可.
【详解】若，则，即；
，即；
，即，故AC错，B对；
若，则，故D错.
故选：B.
3．下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函数、二次函数、指数以及对数函数单调性即可得解.
【详解】在区间上单调递减，在区间上单调递减，故AB错误；
而在区间单调递增，所以在区间单调递减，故C错误；
所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：D.
4．“”是“不等式成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由得，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由，得，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．设函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由分段函数解析式，根据诱导公式、特殊角正弦值确定函数值.
【详解】.
故选：B
6．函数在区间上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将表达式化简，结合正弦函数的图象即可得解.
【详解】由题意，
所以函数在区间上的图象大致如图：
.
故选：A.
7．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和等于（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】由最小正周期可得，再由正弦型函数求的最值，即可得答案.
【详解】由题设，则，
在上，故，
所以最大值与最小值的和等于1.
故选：C
8．火箭必须达到第一宇宙速度，才可以绕地球轨道飞行．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：）和火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足（e为自然对数的底）．当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（，结果精确到0.1）．（ ）
A．48.5 B．51.2 C．53.8 D．58.4
【答案】C
【分析】根据给定的关系模型，结合已知条件代入求即可.
【详解】由题设，则.
故选：C
二、多选题
9．已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．不等式的解集为 D．函数是偶函数
【答案】BCD
【分析】由幂函数的概念可得，结合幂函数的性质依次判断选项即可.
【详解】由题意知，，即，得，所以.
A：，所以函数的定义域为，故A错误；
B：由，知函数的值域为，故B正确；
C：由，得且，即，故C正确；
D：易知函数的定义域为，关于原点对称，
由，知函数为偶函数，故D正确.
故选：BCD
10．已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．的最大值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为1
【答案】AC
【分析】根据条件等式，应用基本不等式及“1”的代换、二次函数性质求各式最值判断正误即可.
【详解】A：，则，当且仅当时取等号，最大值为1，对；
B：，当且仅当时取等号，最小值为2，错；
C：，当且仅当时取等号，最小值为2，对；
D：，且，故，当且仅当时取等号，错.
故选：AC
11．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或3
C．若，则 D．，使得
【答案】AC
【分析】由根与系数、判别式得，且或，结合各项条件判断正误即可.
【详解】由题设，，且，则或，
A：若，则且，根据对勾函数性质有，对；
B：若，则，可得，故或，
当，则，不满足题设；当，则，不满足题设，错；
C：若，则，可得，
所以满足题设，对；
D：若，则，显然不满足判别式，故不存在，使得，错.
故选：AC
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（ ）
A．当时，
B．
C．不等式的解集为
D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则
【答案】AC
【分析】对A，B，根据奇函数的性质可求解判断；对C，根据函数的单调性，以及零点的位置，确定或的解集，再求解不等式的解集；对D，转化为与的图象有4个不同交点，数形结合可求解.
【详解】对于A，当时，则，
，又，
，故A正确；
对于B，因为是定义在R上的奇函数，所以，，
解得，故B错误；
对于C，当时，在上单调递增，，
可得当时，，当时，，由奇函数图象的对称性，
当时，，当时，，
不等式，等价于或，解得.
故C正确；
对于D，题意转化为与的图象有4个不同交点，如下图，
由图可得，，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点睛：D选项，关键是问题转化为与的图象有4个不同交点，数形结合求解.
三、填空题
13．计算： ．
【答案】0
【分析】根据根式和对数的运算可求解.
【详解】.
故答案为：0.
14．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】由对数复合型、分式复合型函数的定义域即可得解.
【详解】由题意，解得或，所以函数的定义域为.
故答案为：.
15．已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为 .
【答案】4
【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r＝2，l＝4，再由扇形面积公式可得扇形的面积S．
【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，
则解得r＝2，l＝4
由扇形面积公式可得扇形面积Slr2×4＝4
故答案为4
【点睛】本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题．
16．若函数满足，当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由题意得先得出是奇函数，也是减函数，且，所以可得，由此即可得解.
【详解】由题意令得，，解得，
令得，，即，所以是奇函数，
当时，，且即，即是减函数，
又，
所以或.
故答案为：.
四、解答题
17．设全集为，已知集合．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）解一元二次不等式、对数函数不等式得，结合并集的概念即可得解.
（2）集合交集、补集的概念即可得解.
【详解】（1）由题意，
所以.
（2）由（1）得或.
18．已知二次函数满足，函数仅有一个零点，且零点为1．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最小值为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，进一步有，由此即可得解.
（2）由题意二次函数在上单调递增，所以，由此即可得解.
【详解】（1）由题意，所以仅有一个零点，且零点为1．
所以，解得，
所以函数的解析式为.
（2）若函数在上的最小值为，
二次函数开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递增，
所以，解得.
19．在①；②；③点在角的终边上．这三个条件中，选择其中一个，解决下面问题．
(1)求的值；
(2)若角的终边在第三象限，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）无论选哪个条件都有，由此即可求出的值.
（2）首先化简得，然后结合平方关系，以及分别算出的值即可.
【详解】（1）若选①，
则，即，
若选②，
则，即，
若选③点在角的终边上．即，
综上所述，无论选①、②还是③，都有，
所以.
（2），
若角的终边在第三象限，则，
又因为，
所以解得，
所以.
20．某县茶叶种植历史悠久，品种繁多，自古为“贡茶之乡”．其中“雪芽绿茶”以其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐．经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感．经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足．
(1)求常数的值；
(2)经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：）
【答案】(1)70
(2)
【分析】（1）时，，代入求值即可；
（2）求出，故得到方程，求出，得到答案.
【详解】（1）由题意得时，，即，解得；
（2）由（1）得，令，
解得，
所以刚泡好的该茶大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感.
21．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；
(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取值范围及的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由题意分别令，，解不等式即可得解.
（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.
【详解】（1）由题意令，解得，
即函数的单调递增区间为，
令，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
（2）由题意即，
即在上有两个不相等的实数解，
当时，，而在上单调递减，在上单调递增，
所以当即时，，
当即时，，
又即时，，
所以若在上有两个不相等的实数解，
则实数的取值范围为，
因为，所以是的对称轴，
所以.
22．已知函数是上的奇函数．
(1)求的值；
(2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由奇函数的性质得恒成立，即可求参数；
（2）将不等式化为，讨论、研究的单调性，再应用单调性及二次函数性质研究不等式能成立求参数范围.
【详解】（1）由题设，
所以恒成立，可得.
（2）由，
所以题设不等式可化为，
当时，，而在定义域上递增，
当时，递增，则在上递增，结合奇函数知上递增；
此时，在上，则，
所以在上能成立，
令，开口向上且对称轴为，
当，即，只需最大值，可得；
当，即，只需，可得，故无解；
此时；
当时，递减；则在上递减，结合奇函数知上递减；
此时，在上，则，
所以在上能成立，
令，开口向上且对称轴为，
当，即，只需，可得，故；
当，即，只需最小值，可得或，故；
当，即，只需最小值，可得，故；
此时；
综上，有；时.
【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为，再讨论参数a研究函数单调性得到不等式能成立为关键.
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