四川省眉山市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

2023-2024学年四川省眉山市高一上学期期末教学质量检测
数学试题
一、单选题
1．已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题p：，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（ ）
A． B． C． D．
4．函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
5．已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
7．冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数与世代间隔是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间t，（单位：天）的变化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔T之间的关系近似满足，根据已有数据估计出时，．据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至的3倍至少需要（参考数据：，）（ ）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
8．已知函数，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．当时，函数在其定义域内单调递增
C．当时，函数的值域为
D．当时，函数有最小值
10．已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若且，则
C．若，则 D．若，则
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．的值域为
C．若关于a的方程恰有两个实数根，则a的取值范围为或
D．若在上恒成立，则满足条件的a的最小值为
12．已知定义在R上的函数满足，且的部分解析式为．记，若有8个零点，则m的取值范围的充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知函数，则 ．
14．已知幂函数在上单调递增，则 ．
15．已知，，且，则的最小值为 ．
16．已知函数是定义在上的偶函数，且时，，则关于x的不等式的解集为 ．
四、解答题
17．求下列各式的值．
(1)；
(2)若，求．
18．已知角的终边经过点．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．已知函数，是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)当时，求的值域．
20．设全集为，已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范围．
21．汉服文化是反映儒家礼典服制的文化总和，通过祭服、朝服、公服、常服以及配饰体现出来．汉服文化从三皇五帝延续（清代被迫中断），通过连绵不断的继承完善着自己，是一个非常成熟并自成体系的千年文化．在当代，汉服文化正在通过汉服运动这一民间文化运动形式逐渐复兴．近年来，盛行汉服沉浸式体验，人们喜欢身着汉服在充满传统文化特色的古镇游览拍照．近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量H（件）与日租赁价格S（元/件）都是时间t（天）的函数，其中（），．每件汉服的综合成本为10元．
(1)写出该店日租赁利润W与时间t之间的函数关系；
(2)求该店日租赁利润W的最大值．（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本）
22．已知函数，，
(1)求函数的定义域，并证明在内的单调性；
(2)设，对任意的，都存在，使得成立，求m的取值范围．
2023-2024学年四川省眉山市高一上学期期末教学质量检测
数学试题
一、单选题
1．已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据补集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：D
2．命题p：，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】利用存在量词命题的否定直接写出结论即可.
【详解】命题p：，，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题p：，的否定是：，.
故选：C
3．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】改写，根据诱导公式化简求值.
【详解】.
故选：A
【点睛】此题考查求特殊角的三角函数值，结合诱导公式化简变形，需要熟记常见特殊角的三角函数值，可以快速得解.
4．函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理来求得正确答案.
【详解】在上单调递减，
，
所以的零点位于区间.
故选：D
5．已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先由是第二象限角，得；再由同角三角函数基本关系求解，即可得出结果.
【详解】因为是第二象限角，所以，
又，所以，因此，
即，所以.
故选：B.
6．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的解集求得，然后解一元二次不等式来求得正确答案.
【详解】由，得，由于不等式的解集为，
所以，解得，
不等式即，
解得，所以不等式的解集为.
故选：B
7．冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数与世代间隔是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间t，（单位：天）的变化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔T之间的关系近似满足，根据已有数据估计出时，．据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至的3倍至少需要（参考数据：，）（ ）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
【答案】B
【分析】先求得，然后根据“的3倍”列方程，化简求得需要的时间.
【详解】依题意，，且时，，
即，所以，，
令，两边取以为底的对数得，
所以至少需要天.
故选：B
8．已知函数，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知构造函数，再探讨函数的奇偶性、单调性，并借助函数性质求解不等式即得.
【详解】依题意，令函数，
对，，因此函数定义域为，
且，
即函数是奇函数，
当时，都是减函数，则是减函数，
而是增函数，因此函数是减函数，
又是减函数，于是函数在上单调递减，
由奇函数性质知，在上单调递减，则函数在上单调递减，
不等式，
即，从而，解得，
所以a的取值范围为.
故选：A
【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若为偶函数，则.
二、多选题
9．已知函数，，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．当时，函数在其定义域内单调递增
C．当时，函数的值域为
D．当时，函数有最小值
【答案】BD
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、值域、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】的定义域是，
，所以是奇函数，A选项正确.
当时，在和上单调递增，B选项错误.
当时，，
当时，，当且仅当时等号成立，
当时，，
当且仅当时等号成立，
所以函数的值域为，C选项正确.
当时，对于函数，
当时，，
当且仅当时等号成立，所以没有最小值，D选项错误.
故选：BD
10．已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若且，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】举例说明判断AD；利用不等式性质推理判断BC.
【详解】对于A，当时，，A错误；
对于B，由且，得，因此，B正确；
对于C，由，得，由，得，因此，C正确；
对于D，显然，取，不等式成立，有，D错误.
故选：BC
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．的值域为
C．若关于a的方程恰有两个实数根，则a的取值范围为或
D．若在上恒成立，则满足条件的a的最小值为
【答案】BD
【分析】画出的图象，根据图象对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，函数，
，
画出的图象如下图所示，
由图可知，在上单调递减，A选项错误.
由图可知，当时，取得最大值为，
所以的值域为，所以B选项正确.
由图可知，当时，有两个解，所以C选项错误.
对于D选项，在上恒成立，
即在上恒成立，
直线过点，
当，即时，不等式在上恒成立，符合题意，
当时，由消去并化简得，
令，解得（正根舍去），则
不等式在上恒成立，则需，
综上所述，的最小值为，D选项正确.
故选：BD
12．已知定义在R上的函数满足，且的部分解析式为．记，若有8个零点，则m的取值范围的充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】作出函数图象，设，根据直线与函数图象交点个数得到二次函数函数零点情况，从而得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意知，则为偶函数，
作出函数图象如下图所示：
设，则，直线与函数图象最多有四个交点，
则题意转化为在上有两不同零点
则，即，解得，即，
显然A,C选项是其真子集，BD不是，结合充分不必要条件的判定可知AC正确，
故选：AC .
【点睛】关键点睛：本题关键是作出函数图象，利用换元法设，将题意转化为二次函数的零点分布问题，从而得到不等式组.
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
14．已知幂函数在上单调递增，则 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义和单调性求得.
【详解】是幂函数，所以，
解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意.
当时，在上单调递增，符合题意.
综上所述，.
故答案为：
15．已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】将已知式子适当变形替换，结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意，所以，
所以，等号成立当且仅当，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
16．已知函数是定义在上的偶函数，且时，，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据函数的对称性、图象来求得
【详解】依题意，是偶函数，图象关于轴对称，所以的图象关于直线对称，
因为的定义域是，所以的定义域是，
时，，由此画出的大致图象如下图所示，
，由图可知，
不等式 的解集为.
故答案为：
【点睛】和的图象有对应关系，可通过图象变换——“左加右减”来进行研究.奇函数和偶函数的图象具有对称性，其中奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称.
四、解答题
17．求下列各式的值．
(1)；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数、指数运算求得正确答案.
（2）利用平方的方法求得正确答案.
【详解】（1）
.
（2）由两边平方得，
两边平方得.
18．已知角的终边经过点．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点坐标求得.
（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.
【详解】（1）即，
所以.
（2）由（1）得，所以，
，
.
19．已知函数，是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)当时，求的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得.
（2）根据不等式的性质求得的值域.
【详解】（1）因为是奇函数，所以，
即
，
所以，解得.
（2）由（1）得，
，
，
，所以在区间上的值域为.
20．设全集为，已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）求函数的定义域得集合，进而求得.
（2）先求得，根据对集合是否是空集进行分类讨论，结合求得的取值范围.
【详解】（1）由解得，所以，
当时，，,
所以或.
（2）或，
当时，，满足.
当时，，要使，
则需，解得.
综上所述，的取值范围是.
21．汉服文化是反映儒家礼典服制的文化总和，通过祭服、朝服、公服、常服以及配饰体现出来．汉服文化从三皇五帝延续（清代被迫中断），通过连绵不断的继承完善着自己，是一个非常成熟并自成体系的千年文化．在当代，汉服文化正在通过汉服运动这一民间文化运动形式逐渐复兴．近年来，盛行汉服沉浸式体验，人们喜欢身着汉服在充满传统文化特色的古镇游览拍照．近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量H（件）与日租赁价格S（元/件）都是时间t（天）的函数，其中（），．每件汉服的综合成本为10元．
(1)写出该店日租赁利润W与时间t之间的函数关系；
(2)求该店日租赁利润W的最大值．（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本）
【答案】(1)
(2)315
【分析】（1）由题意得到，得到函数关系式；
（2）分与两种情况，结合二次函数和对勾函数单调性，求出最大值.
【详解】（1）
；
（2）当时，，
当时，W取得最大值，最大值为，
当时，
，
令，解得，
由对勾函数性质可知在上单调递减，
在上单调递增，
且当时，，
当时，，
由于，
故时，W的最大值为，
因为，所以该店日租赁利润W的最大值为315元．
22．已知函数，，
(1)求函数的定义域，并证明在内的单调性；
(2)设，对任意的，都存在，使得成立，求m的取值范围．
【答案】(1)，证明详见解析
(2)
【分析】（1）根据对数型函数的定义域的求法求得，利用单调性的定义证得在内单调递减.
（2）通过求在上的最小值、在上的最小值，结合对分类讨论以及恒成立、能成立来求得的取值范围.
【详解】（1）对于函数，由，解得，
所以的定义域为，即.
，在上单调递减，证明如下：
任取，，
所以，所以在上单调递减.
（2）根据复合函数单调性同增异减可知，
在上单调递减，
最小值为.
依题意，对任意的，都存在，使得成立，
所以，则①，
，
令，令
当时，，在上单调递减，最小值为，
则成立，也即①成立，符合题意.
当时，的开口向下，对称轴，
所以在区间上单调递减，最小值为，
则，所以时，①成立，符合题意.
当时，的开口向上，对称轴，
若，即，则在上单调递增，
最小值为，
则，所以时，①成立，符合题意.
若，即时，
则的最小值为，
则，所以时，①成立，符合题意.
若，即时，则在上单调递减，
最小值为，
则则，
所以时，①成立，符合题意.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.求解含参数的二次型函数在区间上的单调性问题，要注意对参数进行分类讨论.
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