新疆乌鲁木齐市第十九名校2023-2024学年高一上学期期末诊断性测试数学试题（解析版）

2023-2024学年新疆乌鲁木齐市第十九中学高一上学期期末诊断性测试
数学试题
一、单选题
1．集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若幂函数的图象过点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知角的终边经过点， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c>b>a B．b>c>a C．b>a>c D．a>b>c
7．已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
①；②对任意，恒有成立；
③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立；
④存在三个点、、，使得为等边三角形；
其中真命题的序号为（ ）
A．①②③④ B．②④ C．②③④ D．①②③
二、多选题
9．下列各选项中，值为1的是（ ）
A．log26·log62 B．log62＋log64
C． D．
10．为了得到函数的图像，只需将函数的图像所有点（ ）
A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再把所得图像各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
D．向右平移个单位长度，再把所得图像各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
11．下列结论正确的是（ ）
A．是第二象限
B．函数的最小正周期是
C．若，则
D．函数是奇函数
12．如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（ ）
A．经过15分钟，点P首次到达最高点
B．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高
C．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍
D．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70
三、填空题
13．函数的所有零点之和 ．
14．若，则 ．
15．已知扇形的圆心角为2,面积为4,则扇形的周长为 .
16．已知，则 .
四、解答题
17．在中，角为锐角，，，求的值．
18．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合．
19．已知函数，，，的图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的值域．
20．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：
2 3 4 5 6 8
4
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.
21．已知函数．
(1)化简并求函数的单调递减区间
(2)求使成立的x的取值集合．
22．已知二次函数，且关于x的不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市第十九中学高一上学期期末诊断性测试
数学试题
一、单选题
1．集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接计算交集即可.
【详解】，则.
故选：B
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定形式书写即可判断.
【详解】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定为：“”，
故选：.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断.
【详解】若，则成立；
若，则或，故不一定成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．若幂函数的图象过点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据为幂函数，可设，代入点，可求得n值，即可得答案.
【详解】因为为幂函数，
所以设，又过点，
所以，解得，
所以.
故选：A
5．已知角的终边经过点， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函数定义求得，再计算正切值．
【详解】由题意，解得，．
故选：C．
6．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c>b>a B．b>c>a C．b>a>c D．a>b>c
【答案】A
【分析】先求得a的值，再利用对数函数单调性求得b的范围，利用指数函数单调性求得c的范围，进而求得a，b，c的大小关系.
【详解】由，可得
又，，
则a，b，c的大小关系为c>b>a
故选：A
7．已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间，然后分类讨论可得.
【详解】由解得，
所以函数的单调递增区间为，
因为在区间上单调递增，所以，所以.
当时，由在区间上单调递增可知，得；
当时，由解得；
当时，无实数解.
易知，当或时不满足题意.
综上，ω的取值范围为.
故选：D
8．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
①；②对任意，恒有成立；
③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立；
④存在三个点、、，使得为等边三角形；
其中真命题的序号为（ ）
A．①②③④ B．②④ C．②③④ D．①②③
【答案】C
【分析】命题①：根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数时的值；命题②和命题③：分为无理数和为有理数两种情况进行验证；命题④：结合狄利克雷函数的定义找特殊点进行验证．
【详解】对①：当为无理数时，，所以；当为有理数时，，所以，所以对任意，恒有，故①错误；
对②：当为无理数时，也为无理数，所以；当为有理数时，也为有理数，所以，故②正确；
对③：对任意实数，任取一个不为零的有理数，若为无理数时，则也为无理数，所以；
当为有理数时，则也为有理数，所以，所以任取一个不为零的有理数，，对任意实数均成立，故③正确；
对④：取，，，得，，，所以，，，此时为等边三角形，故④正确.
综上所述：②③④为真命题，故C正确.
故选：C.
二、多选题
9．下列各选项中，值为1的是（ ）
A．log26·log62 B．log62＋log64
C． D．
【答案】AC
【解析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项.
【详解】对于A选项，根据可知，A选项符合题意.
对于B选项，原式，B选项不符合题意.
对于C选项，原式，C选项符合题意.
对于D选项，由于，D选项不符合题意.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题.
10．为了得到函数的图像，只需将函数的图像所有点（ ）
A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再把所得图像各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
D．向右平移个单位长度，再把所得图像各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
【答案】AC
【分析】根据平移变换和伸缩变换逐一判断即可.
【详解】对于A，函数的图像所有点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度得到函数的图像，故A正确；
对于B，函数的图像所有点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度得到函数的图像，故B错误；
对于C，函数的图像所有点向右平移个单位长度，再把所得图像各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，故C正确；
对于D，函数的图像所有点向右平移个单位长度，再把所得图像各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，故D错误；
故选：AC
11．下列结论正确的是（ ）
A．是第二象限
B．函数的最小正周期是
C．若，则
D．函数是奇函数
【答案】AB
【分析】A：根据负角的定义和象限角的范围进行判断即可；B：根据正弦函数的周期性，结合绝对值的性质进行判断即可；C：根据同角的三角函数关系式中的商关系进行求解判断即可；D：利用三角函数诱导公式求得，再根据余弦函数的奇偶性进行判断即可.
【详解】对于A：根据象限角的范围，为第二象限角，故A正确；
对于B：因为函数的最小正周期是，所以函数的最小正周期是，故B正确；
对于C：若，则，故C错误；
对于D：函数，因为函数为偶函数，故D错误.
故选：AB.
12．如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（ ）
A．经过15分钟，点P首次到达最高点
B．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高
C．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍
D．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70
【答案】AD
【解析】建立平面直角坐标系：根据题意得到，求得点P离地面的高度为：，然后再逐项判断.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
则，
得 ，
所以点P离地面的高度为： ，
A. 当时，，所以经过15分钟，点P首次到达最高点，故正确；
B．令 ，解得 ，所以从第10分钟到第15分钟，点P距离地面的高度一直在升高，从第15分钟到第20分钟，高度在降低，故错误；
C.若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍，故错误；
D. 令，即，解得，所以，有10分钟的时间点P距离地面超过70故正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题关键是建立坐标系，求出P离地面的高度函数.
三、填空题
13．函数的所有零点之和 ．
【答案】
【分析】令，求出零点，从而求解.
【详解】令，即，解得，，
所以.
故答案为：.
14．若，则 ．
【答案】/0.5
【分析】先根据题意化简得，再结合，求解出，从而可求解.
【详解】由，化简得，又因为，
所以得，解得或（舍），所以，
，
故答案为：.
15．已知扇形的圆心角为2,面积为4,则扇形的周长为 .
【答案】8
【分析】根据面积得到，再计算周长得到答案.
【详解】，，周长为
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形周长的计算，意在考查学生的计算能力.
16．已知，则 .
【答案】
【分析】由题知，进而根据求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
所以且，
所以
故答案为：
四、解答题
17．在中，角为锐角，，，求的值．
【答案】
【分析】根据已知条件，利用同角三角函数的平方关系，求出的值，，结合诱导公式利用两角和的正弦公式求出的值.
【详解】由题意知在中为锐角，所以，
又因为，，所以，
又因为，
所以.
18．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，然后利用交集知识从而求解.
（2）根据集合并集的结果得到集合的包含关系，进而分类讨论，求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，又因为，
所以.
（2）因为，所以，
当时，即，解得；
当时，，解得，
所以的取值集合为.
19．已知函数，，，的图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象可知，由图知可求出函数周期的为，从而求出，又由函数在时取得最大值，从而求出，即可求解.
（2）根据（1）中知，利用整体代换求出，从而求解.
【详解】（1）由图可知，
且由图知，所以函数的周期，
又因为，，所以.
又因为当时，，且，所以.
所以.
（2）当，所以，
得当时，即，有最大值，
当时，即，有最小值，
所以在上的值域为.
20．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：
2 3 4 5 6 8
4
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；
（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由即可求解.
【详解】（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，
而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
故选择函数.
（2）由题意可得，解得，
所以.
令，解得.
故至少再经过小时，细菌数列达到6百万个.
21．已知函数．
(1)化简并求函数的单调递减区间
(2)求使成立的x的取值集合．
【答案】(1)答案见解析
(2)，
【分析】（1）利用二倍角公式化简函数，然后利用辅助角公式得，从而求解.
（2）由，可以求解出的解集，从而求解.
【详解】（1）由题意知，
由辅助角公式可得，
所以，，即，，
所以函数的单调递减区间为，.
（2）由，即，
所以，，解得，，
所以成立的的取值集合为，.
22．已知二次函数，且关于x的不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式运算；
（2）换元，根据恒成立问题利用参变分离可得对时恒成立，再结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）由题意可得：方程的两根为，且
则，解得，
故.
（2）由（1）可得，
令，则对时恒成立，
故对时恒成立，
∵，当且仅当，即时成立，
∴，即实数m的取值范围为.
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