行知高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学
参考答案：
1．B
【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解.
【详解】由题意得，，解得.
故选：B
2．B
【分析】利用倾斜角与斜率之间的关系代入计算即可得.
【详解】由题意可知，直线的斜率为，
解得．
故选：B．
3．D
【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.
【详解】
在双曲线中，，，
，，
设双曲线的右焦点为，则，
在双曲线的右支上，
，即，
由题知，圆心，半径，在圆上，
，
则，
当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为，
此时，
的最小值为.
故选：D.
4．B
【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算的法则，准确化简，即可求解.
【详解】在平行六面体中,与的交点，记为,可得点为的中点，
根据空间向量的线性运算法则，
可得.
故选：B.
5．A
【分析】分段分析函数的取值集合，再分段确定的零点个数即可.
【详解】当时，函数在上单调递增，，显然，
而，即恒有，函数在上无零点；
当时，，函数取值集合为，
由，，得，解得或，在上有2个零点，
所以函数的零点个数为2.
故选：A
6．B
【分析】先根据题意求出，进而根据得，根据可解得
【详解】
如图，双曲线的一个渐近线方程为，
故直线的方程为：，联立可得，
，
由得，
即得，得（负值舍去）.
故选：B.
7．B
【解析】由题意得出对于任意的恒成立，由此得出，进而可求得实数的取值范围.
【详解】，，
由题意可知，不等式对于任意的恒成立，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，考查运算求解能力，属于中等题.
8．B
【分析】令，由题可知为上的偶函数且在上单调递减，由，将不等式转化为或，结合的单调性即可求解.
【详解】，
因为，所以，
则有，即.
令，则在上单调递减.
因为为上的奇函数，所以，
所以为上的偶函数，故在上单调递增.
又，
则不等式可转化为
所以，解得.
又当时，，不合题意.
所以的解集为.
故选：B
9．BC
【分析】对于A，由题意首先得，结合可知，由此可判断A；对于B，由等差数列求和公式验算即可；对于CD，由等差数列下标和性质即可得解.
【详解】对于A，由题意，又，
所以，所以当时，取最大值，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，即，故D错误.
故选：BC.
10．BCD
【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D.
【详解】由题知，联立，
两式相减得，
即直线的方程为，A错；
联立，
解得或，
所以，B正确；
对于C，设，
因为，为圆的切点，
所以直线方程为，
直线的方程为，
又设，
所以，
故直线的方程为，
又因为，
所以，
由得，
即直线过定点，C正确；
因为，
所以当最小时，最小，
且最小为，
所以此时，D正确.
故选：BCD
11．ABD
【分析】根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对选项A：由，因为到平面的距离为定值，
且的面积为定值，所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以A正确；
对选项B：当时，是的中点，
，
，所以为锐角，
所以,
所以点Q到直线AC的距离是，所以B正确.
对选项C：当时，，可得，，
取的中点分别为，连接，则，
在直角三角形中，，
则，所以不成立，所以C不正确．
对选项D：当时，取，连接，则，又，
所以，所以共面，即过三点的正方体的截面为，
由，则是等腰梯形，且，
所以平面截正方体所得截面的周长为，所以D正确；
故选：ABD
12．BD
【分析】根据定义写出的分段函数性质，进而画出函数草图，数形结合判断各项正误即可.
【详解】令，则或，
所以或，
令，则或，
所以或，
综上，，函数图象如下，
由图知：的最小值为，在上单调递增，
或时，恰有两个不相等的实数根.
所以A、C错，B、D对.
故选：BD
13．12
【分析】根据等比数列的通项公式可得结果.
【详解】设等比数列的公比为，，所以，
所以，
故答案为：12.
14．
【分析】由两直线互相垂直斜率间的关系，求的值.
【详解】直线斜率为3，直线和互相垂直，
则直线的斜率.
故答案为：
15．
【分析】由条件求出抛物线方程和B点的坐标， 从而可求出的面积.
【详解】
由抛物线的焦点为F 得，则抛物线E的方程为,准线，
因为，所以C为的重心，F为BK中点，
所以,不妨设，
所以面积为.
故答案为:2.
16．
【分析】利用参变分离可得，然后构造函数，利用导数求函数的最值即得.
【详解】因为关于的不等式在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
令，则，
易得在上单调递增，
又，
所以存在，使得，即，
则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
所以在上恒成立，
所以在区间上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题的关键是利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）化简直线，得到直线恒过点，结合点与圆的位置关系，即可求解；
（2）根据题意，利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.
【详解】（1）证明：圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为2，
由于直线，即，
令，解得，，所以恒过点，
所以，
则点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点．
（2）解：由圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为，
因为直线与圆的两个交点为，且，
可得，解得，
又由圆心到直线的距离，可得，所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，两式相减构造常数列即可求出数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求和方法进行求和即可
【详解】（1）由，
当时，，
两式相减，得，即，
即对恒成立，所以是常数列，
所以，所以
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
两式相减，得，
所以
19．(1).
(2)详见解析.
【分析】（1）利用导数的计算公式以及导数的几何意义、直线的点斜式方程计算.
（2）根据已知，利用导数与函数的单调性关系、极值计算求解.
【详解】（1）当时，，
所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，所以，
当时，，由有：，由有：或，
所以函数在，上单调递减；在单调递增；
所以函数有极小值，有极大值，
综上，当时，函数的单调增区间为：，单调减区间为：，；
函数的极小值为，极大值为0.
20．(1)
(2)
【分析】（1）先证得是等差数列，从而利用等差数列的求和公式求得，由此得解；
（2）利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）由，知，
所以数列是首项，公差的等差数列，
则，
令，解得或，
因为是正整数，所以.
（2），
所以
，
即数列的前项和．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过F作交于，应用垂直于同一个平面的两直线平行可证即可；
（2）以为x，y，z轴建系，应用空间向量求二面角的余弦值.
【详解】（1）过F作交于，因为平面平面，
平面平面，
平面，则，
平面，
为中点，且，，
又平面，平面，
，又平面，
，平面，
，平面，平面，
平面．
（2），
可确定一平面，
，平面，平面
平面，平面，
平面平面，
，
四边形为平行四边形，
以为x，y，z轴建系，
则，
设为平面的法向量，
，
则，即，令，则，
是平面的一个法向量，
为平面的一个法向量，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
22．(1)
(2)5
【分析】（1）将代入椭圆方程得，即，结合离心率的概念和公式计算求出a、b即可求解；
（2）设，直线PG的方程为，联立方程组，利用韦达定理表示，联立直线EP和求出，同理求出，进而表示出，结合点线距表示出，根据二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）由题意知，，将代入椭圆方程，
得，即弦长，
有，解得，
所以该椭圆C的方程为；
（2）由（1）知，
设，直线PG的方程为，
由，消去x，得，，
则，
设，直线EP的方程为，
由，解得，同理可得，
所以
，
将代入上式，整理得，
又点到直线的距离为，
所以，
设，则，
所以，
当即即时，取到最小值，且最小值为5.
【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；平时训练要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．行知高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试
数学试题卷
时间：120分钟；分值：150分
一、单选（每小题5分，合计40分）
1．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（ ）
A．3 B．2 C． D．4
2．已知直线的倾斜角为，则实数k的值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图,在平行六面体中,与的交点，记为,设,,,则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2 B．1或2 C．3 D．1或3
6．设，分别是双曲线：的左 右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知为上的奇函数，，若对于，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．设为等差数列的前项和，若公差，且，则下列论断中正确的有（ ）
A．当时，取最小值 B．当时，
C． D．
10．已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（ ）
A．直线的方程为 B．线段的长为
C．直线过定点 D．的最小值是．
11．棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，下列命题中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积与的取值无关
B．当时，点Q到直线AC的距离是
C．当时，
D．当时，过三点的平面截正方体所得截面的周长为
12．已知函数，. 记，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．当时，
B．函数的最小值为
C．函数在上单调递减
D．若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或
三、填空题（每小题5分，合计20分）
13．在等比数列 中，，则 ．
14．已知两条直线和互相垂直，则a＝ .
15．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点上一点在上的射影为，在轴上的射影为，直线与交于点，若，则的面积为 ．
16．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题（共6大题，17题10分，其它每题12分，合计70分）
17．已知圆，直线．
(1)证明：直线l与圆C恒有两个交点．
(2)若直线与圆的两个交点为，且，求m的值
18．已知数列的首项，设为数列的前项和，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和
19．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间和极值；
20．已知数列的通项公式，其前项和为．
(1)若，求正整数；
(2)若，求数列的前项和．
21．如图，直三棱柱中，为等腰直角三角形，，E，F分别是棱上的点，平面平面，M是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
22．已知椭圆：，过右焦点，且与长轴垂直的弦长为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的上顶点为，过左焦点的直线交椭圆于，两点（与椭圆顶点不重合），直线，分别交直线于，两点，求的面积的最小值。
