宁夏回族自治区固原市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2023-2024学年宁夏回族自治区固原市高二上学期期末考试
数学试题
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
4．已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知正四棱锥的底面的中心为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点 ，若，则弦的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
8．已知抛物线与椭圆有一个公共的焦点为上的任意一点，，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知曲线C的方程为（且），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C是焦距为4的双曲线
B．当时，曲线C是离心率为的椭圆
C．曲线C可能是一个圆
D．当时，曲线C是渐近线方程为的双曲线
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得 阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线的周长为
C．曲线上的点到直线的最小距离为
D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2
12．如图，在长方体中，为的中点，分别是直线上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为4
B．
C．直线所成角的余弦值为
D．的最小值为
三、填空题
13．抛物线的准线方程为 .
14．已知，，，若，，三向量共面，则等于 ．
15．如图所示，在矩形中，平面，若在上只有一个点Q满足，则a的值等于 ．
16．已知椭圆，点为椭圆的左顶点，若点在椭圆上，点为椭圆上任意一点，则面积的最大值是 ．
四、解答题
17．已知的顶点，线段的中点为，且.
(1)求的值；
(2)求边上的中线所在直线的方程.
18．已知空间中的三点，，，设，.
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离.
19．已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆交于两点，的面积是，求的值.
20．已知抛物线的焦点为F，点在C上．
(1)求p的值及F的坐标；
(2)过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），求．
21．如图，在直棱柱中，，延长AC至D，使，连接BD，，．

(1)求证：；
(2)求平面与平面ABC所成锐二面角的正切值．
22．已知椭圆的离心率为，点在上，为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)已知直线与有两个交点，线段的中点为．
①证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．
②若，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
2023-2024学年宁夏回族自治区固原市高二上学期期末考试
数学试题
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系求倾斜角.
【详解】直线方程可化为：，
所以直线的斜率为：.
设倾斜角为，则且，故.
故选：A.
2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据可得出可得出合适的选项.
【详解】若，则，则.
对于A，，不满足条件；
对于B，，满足条件；
对于C，，不满足条件；
对于D，，不满足条件.
故选：B.
3．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
【答案】A
【分析】对给定式子研究几何意义，结合椭圆定义即可证明.
【详解】观察给定式子，，
表示到，的距离之和为，
结合椭圆定义可得的轨迹是椭圆.
故选：A
4．已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案.
【详解】由题意得，，则的中点的坐标为，
直线的斜率.
由圆与圆关于对称，得的斜率.
因为的中点在上，所以，即.
故选：C.
5．如图，已知正四棱锥的底面的中心为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为，由于底面是正方形，所以，
因此.
故选：C.
6．直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点 ，若，则弦的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦的长.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为直线过抛物线的焦点，
且与该抛物线交于不同的两点、，
则.
故选：D.
7．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，
，故选A．
【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
8．已知抛物线与椭圆有一个公共的焦点为上的任意一点，，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】先求椭圆的焦点，再求抛物线方程，利用坐标表示，最后根据基本不等式求最值.
【详解】因为椭圆方程为：，因此双曲线焦点为.
因为抛物线与双曲线有一个公共的焦点，
所以，所以，，
设，则，
当时，
，
当且仅当时取等号；
当时，.
故选：B.
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AB
【分析】利用向量模长的坐标表示可得，可知A正确；由可知，显然满足，可得B正确；当时代入计算可得，即C正确；代入利用向量数量积的坐标表示可知，可得D错误.
【详解】由可知，即A正确；
当时，则，满足，因此，即B正确；
当时，易知，所以，可知C错误；
当时，可得，满足，
可知不垂直，即D错误.
故选：AB.
10．已知曲线C的方程为（且），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C是焦距为4的双曲线
B．当时，曲线C是离心率为的椭圆
C．曲线C可能是一个圆
D．当时，曲线C是渐近线方程为的双曲线
【答案】AD
【分析】根据给定方程，逐一利用各个选项中的条件，再列式计算并判断作答.
【详解】对于A，当时，曲线C的方程为，表示双曲线，且，即焦距为4，A正确；
对于B，当时，曲线C的方程为，表示椭圆，离心率，B错误；
对于C，令，得，，该方程无解，则曲线C不可能是一个圆，C错误；
对于D，当时，曲线C的方程为，表示双曲线，渐近线方程为，即，D正确.
故选：AD
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得 阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线的周长为
C．曲线上的点到直线的最小距离为
D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2
【答案】ACD
【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可.
【详解】对于A，设，则，
化简得，，即，则选项A正确；
对于B，可知曲线的半径为1，周长为，故B错误；
对于C，设曲线上的圆心，
所以圆心到直线的距离为：，
曲线上的点到直线的最小距离为，故C正确；
对于D，由抛物线的定义知，，
，
的准线方程为：，
所以的最小值为点到直线的距离减半径，
即为，故D正确.
故选：ACD.
12．如图，在长方体中，为的中点，分别是直线上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为4
B．
C．直线所成角的余弦值为
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】以为底面可得三棱锥的体积为4，可判断A正确；由体对角线长度计算可得，可得B正确；建立空间直角坐标系由空间向量可得直线所成角的余弦值为，即C错误；利用向量垂直可得当与，都垂直时，取得最小值，求出的坐标可知D正确.
【详解】对于A，由等体积法可得三棱锥的体积为，可知A正确；
对于B，利用长方体性质可得，即B正确；
对于C，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如下图所示：
易知，则；
则
所以直线所成角的余弦值为，即C错误；
对于D，易知，则，，
设，即，
设，则
当与，都垂直时，取得最小值；
即，解得；
可，此时的最小值为，即D正确；
故选：ABD
【点睛】方法点睛：在求解异面直线上两点距离最小问题时，可利用公垂线性质求得当两点连线为异面直线的公垂线时距离最短，即可求得结果.
三、填空题
13．抛物线的准线方程为 .
【答案】
【分析】由抛物线方程求出，判断焦点位置，从而可得答案.
【详解】因为抛物线方程为，
所以，
又因为抛物线焦点在轴上，
所以抛物线的准线方程为，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由抛物线方程求准线方程，属于基础题.
14．已知，，，若，，三向量共面，则等于 ．
【答案】
【分析】由，，共面，设，列方程组即可求出λ的值．
【详解】∵，，共面，
∴设（为实数），即，
∴，解得．
故答案为：．
15．如图所示，在矩形中，平面，若在上只有一个点Q满足，则a的值等于 ．
【答案】2
【分析】连结AQ.先证明出面,得到.由在上只有一个点Q满足，判断出与以AD为直径的圆相切，即可求出a.
【详解】连结AQ.
因为平面，所以.
又，面,面,
所以面,所以.
因为在上只有一个点Q满足，所以与以AD为直径的圆相切.
因为所以a=2.
故答案为：2
16．已知椭圆，点为椭圆的左顶点，若点在椭圆上，点为椭圆上任意一点，则面积的最大值是 ．
【答案】/
【分析】首先求出直线的方程，设与直线平行的直线方程为，当此直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值，联立直线与椭圆方程，消元由，求出的值，找到与距离比较远的直线方程，利用平行线间的距离公式求出高，再求出，即可得解．
【详解】因为为上一点，
所以，解得：，所以
由题意可知，直线的方程为，
设与直线平行的直线方程为，
当此直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值．
将代入椭圆方程，消去整理得，
，解得或4．
所以直线方程为或
与距离比较远的直线方程是，
两平行线之间的距离，
又，
的面积的最大值是．
故答案为：
四、解答题
17．已知的顶点，线段的中点为，且.
(1)求的值；
(2)求边上的中线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据中点坐标公式以及垂直满足的斜率关系即可求解，
（2）根据中点公式以及斜率公式即可根据点斜式求解方程.
【详解】（1）因为，所以的坐标为，
因为，所以，
解得.
（2）设线段的中点为，由（1）知，则，
所以，
所以直线的方程为，化简得，
即边上的中线所在直线的方程为.
18．已知空间中的三点，，，设，.
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离.
【答案】(1) 或 （2）
【解析】(1）写出两个向量的坐标，利用向量的数量积为0，求解k即可．
(2）求出直线PM的单位方向向量为，然后利用空间点到直线的距离公式求解即可.
【详解】因为，，，
所以
（1），，
因为，
所以，
整理得，
解得或，
所以的值为或.
(2) 设直线的单位方向向量为，
则
由于，
所以，
所以点N到直线PM的距离
【点睛】关键点点睛：根据空间向量的坐标表示，利用向量垂直的数量积为0，向量表示的点到直线的距离公式是解决本题的关键,考查了运算能力，属于中档题.
19．已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆交于两点，的面积是，求的值.
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）根据题意，求出的垂直平分线方程为，分析可得圆心为直线和的交点，联立直线的方程可得圆心的坐标，进而求出圆的半径，由圆的标准方程可得答案；
（2）由题意直线恒过点，此点同时为圆与轴负半轴的交点，又圆心，求得，根据三角形面积可求得点的纵坐标，可得点的坐标，得解.
【详解】（1）由题知，线段的中点为坐标原点，因为直线的斜率不存在，所以线段的垂直平分线的方程是，
由题意可知，圆心也在线段的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解，解得即圆心的坐标是.
又圆的半径，
所以圆的方程为.
（2）由题意可知，直线恒过点，此点同时为圆与轴负半轴的交点.
又圆心，则，所以，
解得或.
所以满足条件的点可以为或或或，
依次代入直线方程，得或或或.

20．已知抛物线的焦点为F，点在C上．
(1)求p的值及F的坐标；
(2)过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），求．
【答案】(1)，
(2)4
【分析】（1）将M坐标代入方程即可；
（2）联立直线l与抛物线方程得到A、B的横坐标，再利用焦半径公式求出即可.
【详解】（1）将代入，得，解得，
所以
（2）由（1）得抛物线方程为，
直线l的方程为，
联立消y得，
解得或，
因为A在第一象限，所以，
所以，，
所以
21．如图，在直棱柱中，，延长AC至D，使，连接BD，，．

(1)求证：；
(2)求平面与平面ABC所成锐二面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）建立坐标系，利用向量法即可证明；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面与平面所成锐二面角的正切值．
【详解】（1）证明：在直棱柱中，，
以为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，
，延长至，使，
,0,,,0,,,1,,,0,,,,,,0,，
则,1,,,1,，
则,1,,1,，
则，即；
（2）平面的法向量为,0,，
设,,为面的一个法向量，
则,0,,,1,，
则，得，即
令，则，则,1,，
则,，
设平面与平面所成锐二面角为，则，
即，
即平面与平面所成锐二面角的正切值为1．

22．已知椭圆的离心率为，点在上，为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)已知直线与有两个交点，线段的中点为．
①证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．
②若，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
【答案】(1)
(2)①证明见解析 ；②，或
【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点联立方程求出得解；
（2）①联立直线与椭圆方程，求出，计算斜率即可得证；②求出弦长及点到直线的距离，得出三角形面积，由均值不等式求最大值，由等号成立条件求直线方程.
【详解】（1）依题意有，
所以，
所以的方程为
（2）如图，
设，
①由得，，
由可得，
所以，故，
则，则，
所以（定值）
②当，所以，
由得，，
由得，
又，
所以，
因为，所以到距离，
所以
，当且仅当，即时，
等号成立，此时直线方程为或．
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