信阳市高中2023-2024学年高一上学期1月期末测试
数学试题
一、单选题
1. 已知全集 , 集合 , 则
A.
B.
C.
D.
2. 半径为 2 的扇形, 其周长为 12 , 则该扇形圆心角的弧度数为
A. 8
B. 6
C. 5
D. 4
3. 函数 的根所在的区间是
A.
B.
C.
D.
4. 角 的终边经过点 , 且 , 则
A.
C. 或
B.
D. 或
5. 已知函数 的部分图象如图所示, 则
A. 1
B. -1
C.
D.
6. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量 与时间 (单位: 年)之间的关系为 . 其中 为初始量, 为降解系数. 已知该品牌塑料袋 2 年后残留量为初始量的 . 若该品牌塑料袋需要经过 年, 使其残留量为初始量的 , 则 的值约为(参考数据:
A. 20
B. 16
C. 12
D. 7
7.已知 , 则
A.
B.
C.
D.
8. 已知函数 的图象过点 , 且 在区间 ，上具有单调性, 则 的最大值为
A.
B. 4
C.
D. 8
二、多选题
9. 已知函数 的图像经过点 , 则
A. 的图像经过点
C. 若 , 则
B. 的图像关于原点对称
D. 当 时, 恒成立
10. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象, 则 具有性质
A. 周期为
C. 图象关于点 对称
B. 图象关于直线 对称
D. 在 上单调递增
11.已知A, B, C是 的三个内角, 下列条件是 “ ”的一个充分不必要条件的为
A.
C.
B.
D.
12. 已知定义在 上的奇函数 满足: ①; ②当 时, . 下列说法正确的有
A.
B.
C. 当 时,
D. 方程 有 7 个实数根
三、填空题
13. 已知函数 为定义在 上的奇函数, 当 时, , 则 .
14. 已知正数a, b满足 , 则 的最小值为 .
15. 数学可以刻画现实世界中的和谐美, 人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关.黄金分割常数 也可以表示成 , 则 .
16., 已知符号[x]表示不超过 的最大整数, 若函数 , 给出下列四个结论:①当 时, ; ② 为偶函数; ③ 在 单调递减; ④若方程 有且仅有 3 个根, 则 的取值范围是 . 其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
17.化简下面两题.
（1）已知角终边上的点，求的值；
（2）已知，求的值.
18. 已知命题 成立；命题 有两个负根.
（1）若命题为真命题，求的取值范围；
（2）若命题 和命题 有且只有一个是真命题, 求 的取值范围.
19.已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）解不等式.
20. 已知 .
(1)求 的最小正周期;
(2)求 的单调增区间:
(3)当 时, 求 的值域.
21.已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示)，要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为 (单位cm )、部件的面积是.
(1)求 关于 的函数解析式, 并求出定义域;
(2)为节省材料，请问 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？
22.已知函数 .
(1) 当 时, 求不等式 的解集;
(2)若方程 只有一个解, 求 的取值范围.信阳市高中2023-2024学年高一上学期1月期末测试
数学试题
1．D 2．D 3．A 4．A 5．B 6．B 7．B 8．C 9．BCD 10．AD 11．BD 12．ACD．
13．3 14． 15．2 16．①③④
(1) (2)1
【详解】（1）角终边上一点，所以，
所以.
（2）由得，
所以.
18．(1) (2)
【详解】（1）若命题为真命题，根据二次函数的性质可得，，
解得，故a的取值范围为；
（2）若命题为真，即一元二次方程有两个负根，设为
则，解得
若命题p和命题有且只有一个是真命题，则为真假或假真
当真假时，有，解得；
当假真时，
命题假，则或；命题为真，则
因此假真，.
综上，的取值范围为.
19．(1) (2)
【详解】（1）函数为偶函数，
，即，
，
.
（2）由（1）知，，则
不等式，等价于，
即，
由，解得，
由，得，
得，即，
综上，不等式的解集为.
20．(1) (2)， (3)
【详解】（1）
∴函数的最小正周期.
（2）由， ，得，
∴所求函数的单调递增区间为，.
（3）∵， ∴
∴，，
∴的值域为.
21．(1)，； (2)时，面积最小，.
【详解】（1）由题意，利用矩形面积和正三角形的面积公式，
可得，整理得，
又由，所以，
即函数的定义域为，
即，．
（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，
过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则，
所以=，
因为x2＞0，由基本不等式，可得，
当且仅当，即时，取等号，
所以圆形铁片的最小面积为（cm2），
答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2）．
22．(1) ；(2)或
【详解】（1）由于，
则，
需要保证，得，
若，则，
对数函数在区间上单调递增，
所以，且，解得，
结合正弦函数的性质，且，
不等式的解集为.
（2）的定义域为，
对于函数，
当时，的定义域为，此时；
当时，的定义域为，此时；
方程，即为
得：，即，
构造函数，其中，
当时，方程只有一个解等价于只有一个小于的正零点即可，
此时，，
开口向下的抛物线在区间可能无零点、两个零点，或抛物线的顶点恰在区间对应的横轴上，
若抛物线的顶点在区间对应的横轴上时，抛物线对称轴满足：，解得，
有两个相等实根，，
解得（舍去）或，故；
当时，方程只有一个解等价于只有一个大于的零点即可，
，函数有两个异号零点，
且，函数正零点大于，此种情况成立；
综上，若方程只有一个解，则或.
