陕西省西安市阎良区教育局2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷（含解析）

陕西省西安市阎良区教育局2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟,满分150分
一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设是等差数列的前项和,且,则公差
A.1 B.2 C.5 D.6
2.向量,若,则
A. B.
C. D.
3.若直线与垂直,则实数
A. B. C. D.
4.已知函数在的附近可导,且,则在处的切线方程为
A. B.
C. D.
5.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,则
A. B. C. D.
6.记为等比数列的前项和.若,则
A. B. C. D.
7.空间四边形OABC中,,点在OA上,,点为BC的中点,则
A. B.
C. D.
8.下列不等式中,成立的是
A. B. C. D.
二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.)
9.过点(0.2)作与圆相切的直线,则直线的方程为
A. B. C. D.
10.已知函数在处取得极大值,则实数的值可以是
A.3 B.1 C.-3 D.-1
11.已知数列中,,则
A. B.
C. D.
12.已知三棱锥是边长为2的正三角形,为PA中点,,则下列结论正确的是
A. B.异面直线CE与AB所成角的余弦值为
C.CE与平面ABC所成角的正弦值为 D.三棱锥外接球的表面积为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若等比数列满足,且公比,则____________.
14.某汽车启动阶段的路程函数为,则秒时,汽车的加速度是___________.
15.已知椭圆的焦点分别,点为椭圆的上顶点.直线与椭圆的另一个交点为.若.则椭圆的标准方程为___________.
16.如图，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,且.若双曲线以A,B为焦点,且过C,D两点,则当梯形的周长最大时,双曲线的离心率为___________.
四、解答题:本题共6小题,70分,其中第17题10分,其余均12分。
17.在等差数列中,.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
18.在等差数列中,已知公差且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求的值.
19.已知函数.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若函数在上是单调递减,求实数的取值范围
20.如图,已知平面平面.
(1)连接AD,求证:;
(2)求AD与平面BDC所成角的大小;
21.已知函数.
(1)若且仅存在两个整数,使得,求的取值范围;
(2)讨论零点的个数.
22.已知椭圆的离心率为,过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线PM交椭圆于P,M（点P位于轴上方)两点,且(为坐标原点)的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线交椭圆于异于点两点,且直线PA与PB的斜率之积为,求点到直线距离的最大值.
西安市阎良区教育局2023-2024学年度第一学期期末质量检测
高二数学参考答案及评分意见
1.B【解析】因为等差数列的,公差为,
所以,即,解得,
所以.故选B.
2.C【解析】因为向量,且,则设,即，则有,则,解得.故选C.
3.D【解析】由题意可得,则.故选D.
4.A【解析】由题知,函数在处的切线斜率为-2,又切线过点,代入点斜式有:,即.故选A.
5.C【解析】不妨设过焦点的直线方程为,,直线方程与抛物线方程联立,消去并整理得,由韦达定理得，,,故C正确.故选C.
6.B【解析】设等比数列的公比为,则由解得所以,所以,故选B.
7.B【解析】由图可知:,即.故选B.
8.C【解析】对于,若,则,得,而不成立,故错误;
对于,若,则,得,而不成立,故B错误;
对于,若,则,得,整理得,,设,
,故时,单调递增,
时,单调递减,所以,,得,故C正确;
对于,若,则,得,则有,设,由上可证得,单调递减,所以,,而,故,得,得到,所以,,最后得到,即,不符题意,故D错误.
故选C.
9.BC【解析】圆即,则圆心为,半径为1,易知点在圆外,显然是圆的其中一条切线.
当切线斜率存在时,设切线方程为即,则,解得,所以切线方程为.综上,切线方程为或.故选.
10.AD【解析】因为,
故,
由函数在处取得极大值,
可得,解得或,
当时,,
此时当时,,
当时,,
则函数在处取得极大值,符合题意;
当时,,
此时当时,,
当时,,
则函数在处取得极大值,符合题意,
故或,故选AD.
11.BD【解析】由题意,,,
数列是以3为周期的周期数列.
对于错误；
对于,B正确;
对于C,,C错误；
对于,由递推关系式知,
正确.故选BD.
12.ACD【解析】选项,在三棱锥中,是边长为2的正三角形,取AC的中点,连接PF,BF,则.又,所以平面平面PBF,所以.故正确;
选项,因为,所以平面PAC,所以.
在三棱锥中,是边长为2的正三角形,所以三棱锥为正三棱锥,所以PA,所以.
以为原点,的正方向分别为为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则,.
所以.
设异面直线CE与AB所成的角为,
则
即异面直线CE与AB所成角的余弦值为.故错误;
选项.
设平面ABC的一个法向量为,则不妨取,则.
设CE与平面ABC所成的角为,
则
即CE与平面ABC所成的角的正弦值为.故正确;
选项,把三棱锥补形为正方体,则三棱锥的外接球即为正方体的外接球.
设其半径为,因为正方体的外接球满足,所以.
所以球的表面积为.故D正确.故选ACD.
13.20【解析】,故答案为20.
14.26【解析】设汽车的速度函数为,则,所以秒时,汽车的加速度是.
【解析】如图,过点作轴的垂线,垂足为,
由定义知,,因为,所以,易知,
所以,又,,
所以,所以,
将代入得,解得,所以,所以椭圆方程为.故答案为.
【解析】连接AC,设,圆的半径为,
则,作于点,
所以,
梯形的周长.
当,即时,有最大值5R,
这时,,
.故答案为.
17.解:(1)设数列的公差为,
则…………………………………………………………….2分
解得…………………………………………………………………………4分
故.……………………………………………………5分
(2)由(1)知,
则,……………………7分
所以.
……………………………………………………………………………………………10分
18.解:(1) ……………………………………2分
又成等比数列,所以,………………………3分
化简得,解得或,又,所以-1, ……………………5分
可得数列的通项公式.………………………………6分
(2)由(1)得,由,得,
由,得.…………………………………………………………7分
设数列的前项和为,
所以…………9分
所以.……………………………………………………12分
19.解:(1)当时,,
,令,得.……………………………………………………1分
所以的单调递减区间是,单调递增区间是…………………………4分
(2)由函数在上是减函数,知恒成立,…………………………5分
由恒成立可知恒成立,则分
设,则,
由知,
函数在上递增,在上递减,10分在处取得极大值,也是最大值,
.………………………………………………………………12分
20.(1)证明:作垂足为,连接OD,因为平面平面平面ABC,所以平面DBC.
又,
所以与全等,所以…………………………………………2分
又平面DBC,所以OA,OC,OD两两垂直.
以OD,OC,OA所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设,则…………………………………4分
则.
所以.………………………………………………6分
.所以.……………………………………………………………7分
(2)解:由(1)知,
平面BDC的一个法向量为……………………………………………………9分
设AD与平面BDC所成角为,
则.………………………………11分
因为,所以AD与平面BDC所成角.……………………………………12分
21.解:(1)令,其中,
则,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,且当时,;当时, ……3分
由可得,作出函数,的图象如下图所示：
因为有且只有两个整数,使得则满足不等式的整数只有两个,所以即………………………………………………………………5分
解得.……………………………………………………………………………………6分
(2)考查当直线与函数相切时,实数的值,设切点坐标为,则切线斜率为,所求切线方程为,即,所以,,解得或………………………………………………8分
当时,;当时,.
当时,直线与函数的图象只有一个公共点;
当或时,直线与函数的图象有2个公共点;
当或时,直线与函数的图象只有1个公共点;
当时,直线与函数的图象无公共点.………………………………………11分
综上所述,当时,函数无零点;
当或或时,函数f(x)有1个零点;
当0时,函数f(x)有2个零点.…………………………………………………………12分
22.解:(1)由题意可得,
由题意可得…………………………………………………………………………1分
且,
解得,………………………………………………………………………………………3分
椭圆的方程为.……………………………………………………………………………4分
(2)由(1)可得,
当直线斜率不存在时,设方程为,则,,此时,化简得,又,解得或1(舍去),此时到直线的距离为…………6分
设直线斜率存在时,设,设其方程为,联立可得
且整理可得…………………………………………………………7分
,且,,整理可得…………………9分
整理可得,
整理可得0,
即或……………………………10分
若,则直线方程为,直线恒过,与点重合,………………11分
若,则直线方程为,直线恒过定点到直线的距离的最大值为|PQ|,|PQ|的值为,由于,
点到直线距离的最大值为………………………………………………………………12分