(共63张PPT)
第2课时 正弦定理(一)
第六章 6.4.3 余弦定理、正弦定理
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.
2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.
学习目标
导语
如图，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600 m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA的距离，如果船上有测角仪，我们能否计算出A，B的距离？
一、正弦定理的推导
二、已知两角及任意一边解三角形
课时对点练
三、已知两边及其中一边的对角解三角形
随堂演练
内容索引
四、三角形解的个数的判断
正弦定理的推导
一
提示 在锐角三角形中，
也即asin C＝csin A，
仿照上述方法，同样可得
提示 如图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，
c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，
正弦
已知两角及任意一边解三角形
二
例1 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
跟踪训练1 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值.
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
已知两边及其中一边的对角解三角形
三
∵0°
延伸探究 若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
(3)根据正弦定理求出第三条边.
其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值.
跟踪训练2 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于
√
三角形解的个数的判断
四
例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数.
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数.
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 absin A 两解
a＝bsin A 一解
a跟踪训练3 (多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是
A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
√
√
√
1.知识清单：
(1)正弦定理.
(2)利用正弦定理解三角形.
(3)三角形解的个数的判断.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论.
随堂演练
五
1
2
3
4
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
∵b>a，∴B>A，且0°∴B＝60°或120°.
60°或120°
课时对点练
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
√
则sin B＝1，
又B∈(0，π)，故B为直角，△ABC是直角三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设△ABC外接圆的半径为R，
√
所以R＝1，即△ABC外接圆的半径为1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.在△ABC中，已知AB＝ AC，B＝30°，则C等于
A.45° B.15°
C.45°或135° D.15°或105°
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为0°所以C＝45°或C＝135°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵a>b，∴A>B，
又∵A＝60°，∴B为锐角.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
C中，条件为边角边，根据余弦定理可以求得唯一的c边，所以有唯一解，满足题意；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又A∈(0，π)，a>b，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为b>c，所以B>C＝30°，所以B＝60°或120°.
所以a＝6或12.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，
又∵0°√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设C为最大角，则A为最小角，
∵A＋C＝120°，
又∵A为锐角，∴A＝45°，C＝75°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶ ∶2.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c
＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
15.锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是 .(填序号)
①sin A>sin B；
②cos A③sin A＋sin B>cos A＋cos B.
①②③
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A>B a>b sin A>sin B，故①成立.
函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，
∵A>B，∴cos A1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16(共64张PPT)
第3课时 正弦定理(二)
第六章 6.4.3 余弦定理、正弦定理
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
学习目标
一、利用正弦、余弦定理解三角形
二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
课时对点练
三、正弦、余弦定理的综合应用
随堂演练
内容索引
利用正弦、余弦定理解三角形
一
问题 利用正、余弦定理可以解决哪几类问题？
提示 ①已知两边和夹角的问题：先利用余弦定理求第三边，再用余弦定理的推论求另外两角；
②已知三边的问题：利用余弦定理的推论求三个角；
③已知两角和任一边的问题：先由三角形内角和求第三个角，再利用正弦定理求另外两边；
④已知两边和其中一边对角的问题：可先由余弦定理求第三边，此时需从边的角度进行检验，需满足任意两边之和大于第三边，再由余弦定理的推论求另外两角；也可由正弦定理求另外一边的对角，此时需从角的角度进行检验，大边对大角，小边对小角，内角和为180°，再由内角和求第三个角，最后由正弦定理求第三边.
方法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°；
∴A＝90°，C＝60°.
又c>b，∴30°∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝6；
当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3.
若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A求出c；不管利用正弦定理还是余弦定理，都需要检验，利用大边对大角、小边对小角、两边之和大于第三边、两边之差小于第三边以及内角和为180°等进行检验.
由正弦定理，得
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
因为0°利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
二
例2 (1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
由正弦定理得，acos B＝bcos A sin Acos B＝sin Bcos A sin(A－B)＝0，由于－π(2)在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°∴△ABC是等腰直角三角形.
判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.
√
又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，
所以B＝C.故△ABC为等边三角形.
(2)在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
正弦、余弦定理的综合应用
三
在△ABC中，sin A≠0，
∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
利用正弦、余弦定理解三角形的注意点
正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.
又0°(1)求B的大小；
sin A＝sin(30°＋45°)
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
1.知识清单：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形.
(2)利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形.
随堂演练
四
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度确定的
√
设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三边都增加x，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
1
2
3
4
4.若acos A＝bcos B，则△ABC是 三角形.
等腰或直角
1
2
3
4
所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，
即sin 2A＝sin 2B，
因为A，B为三角形的内角，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
1
2
3
4
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
课时对点练
五
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
∵b√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a,
3sin A＝5sin B，则C等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是
A.a2＝b2＋c2－2bccos A
B.asin B＝bsin A
C.a＝bcos C＋ccos B
D.acos B＋bcos C＝c
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确；
对于B，根据正弦定理边角互化，
可得asin B＝bsin A ab＝ab，故B正确；
对于C，根据正弦定理，得a＝bcos C＋ccos B sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，故C正确；
对于D, 根据正弦定理的边角互化可得，
sin Acos B＋sin Bcos C＝sin C＝sin(A＋B)＝sin A·cos B＋cos Asin B，
即sin Bcos C＝cos Asin B，
又sin B≠0，所以cos C＝cos A，当A＝C时，等式成立，故D不正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
整理得acos A＝bcos B，
由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
此时△ABC为直角三角形，有ccos B＝a，则a－ccos B＝0，分母无意义，故舍去，
∴A＝B，此时△ABC为等腰三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由a2＋b2－c2＝ab，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.在△ABC中，若b＝acos C，则△ABC的形状为 .
∵b＝acos C，∴sin B＝sin Acos C，
则sin(A＋C)＝sin Acos C.即cos Asin C＝0，
∵A，C∈(0，π)，∴sin C≠0，∴cos A＝0，
直角三角形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综上可得，c＝1或2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)求B的大小；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
代入b2＝a2＋c2－2accos B得，
即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝4sin C，则△ABC外接圆的面积为
A.16π B.8π C.2π D.4π
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为acos B＋bcos A＝4sin C，所以由正弦定理可得，
在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C，
解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于
因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且8b＝5c，C＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcos B，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.直角非等腰三角形 B.等腰非直角三角形
C.非等腰且非直角三角形 D.等腰直角三角形
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C
＝sin2C，则 ＝ ，角C的最大值为 .
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵2sin Asin Bcos C＝sin2C，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝5ac，
16.在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB. ①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A. ②
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16(共68张PPT)
第4课时
余弦定理、正弦定理应用举例
第六章 6.4.3 余弦定理、正弦定理
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
学习目标
导语
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.
具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案，把要求的距离、高度、角度等问题转化成解三角形的四类问题，然后利用正弦定理或余弦定理解决实际问题.
一、距离问题
二、高度问题
课时对点练
三、角度问题
随堂演练
内容索引
距离问题
一
例1 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点之间的距离.
在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解.
跟踪训练1 (1)A，B两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km.
由余弦定理，得
AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C
(2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是 m.
60
又AD＋DB＝120，
∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
高度问题
二
√
在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.
跟踪训练2 如图，照片中的建筑是某校的新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度MN.为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角∠MAN＝30°，进而测得∠MAB＝105°，∠MBA＝45°.根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为 米.
在△ABM中，因为∠MAB＝105°，∠MBA＝45°，
所以∠AMB＝30°，又AB＝33，
角度问题
三
如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，
B＝180°－60°＝120°，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
由余弦定理，得
因为AB＝40 m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m.
1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：方位角是易错点.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的
A.北偏东15°方向上 B.北偏西15°方向上
C.北偏东10°方向上 D.北偏西10°方向上
√
1
2
3
4
如图所示，∠ACB＝90°.
又因为AC＝BC，
所以∠CBA＝45°.
因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.
所以点A在点B的北偏西15°方向上.
1
2
3
4
2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点之间的距离为
√
1
2
3
4
3.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为
√
1
2
3
4
4.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于
√
1
2
3
4
课时对点练
五
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
1.已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10海里.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由余弦定理得，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.从高出海平面h米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船的俯角为45°，则此时两船间的距离为
如图所示，
√
即此时两船间的距离为2h米.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则该建筑物高度为
A.20 m B.30 m C.40 m D.60 m
√
如图，设O为塔顶在地面的射影，
在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20 m，
则BD＝40(m)，OD＝
在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60(m).∴AB＝OA－OB＝40(m).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为
A.30° B.45°
C.60° D.75°
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又CD＝50，所以在△ACD中，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.一艘船以每小时15 km的速度向正东方向航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为 km.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，
则∠ABC＝45°，
AC＝15×4＝60(km)，根据正弦定理，得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
在△ABD中，设BD＝x，
则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 60°，
所以142＝x2＋102－10x，解得x＝16(x＝－6舍去).
又因为∠BDA＝60°，AD⊥CD，
所以∠CDB＝30°，在△BCD中，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上.
(1)求渔船甲的速度；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC
＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求sin α.
在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，
BC＝14，∠BCA＝α.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
所以索道AB的长为1 040 m.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.(多选)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的所有方案为
A.测量A，B，b B.测量a，b，C
C.测量A，B，a D.测量A，B，C
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；
对于D，不知道长度，显然不能求c.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法一 设AB＝x m，则BC＝x m.
∴BD＝(10＋x)m.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法二 ∵∠ACB＝45°，∠ADC＝30°，
∴∠CAD＝45°－30°＝15°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°方向前进100 m 到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是
A.50 m B.100 m
C.120 m D.150 m
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
依题意，设乙的速度为x m/s，
因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，
在△ABC中，由余弦定理的推论得，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
15.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D两市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km，
则震中A到B，C，D三市的距离分别为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题意得，在△ABC中，
AB－AC＝1.5×8＝12(km).
在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km).
设AC＝x km，
则AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵B，C，D在一条直线上，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上(在D点)故障船，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又0°<∠ABC<60°，∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
又∵0°<∠BCD<60°，∴∠BCD＝30°，
∴救援船沿北偏东60°的方向行驶.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，
∴救援船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟.(共62张PPT)
第1课时 余弦定理
第六章 6.4.3 余弦定理、正弦定理
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
学习目标
导语
千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？
一、余弦定理的推导
二、已知两边及一角解三角形
课时对点练
三、已知三边解三角形
随堂演练
内容索引
四、利用余弦定理判断三角形形状
余弦定理的推导
一
问题1 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c
提示 如图，
那么c＝a－b， ①
我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，
联想到数量积的性质c·c＝|c|2，
可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算.
由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以c2＝a2＋b2－2abcos C，
同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacos B.
问题2 在问题1的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示 c2＝a2＋b2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例.
1.余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边________
减去这两边与它们夹角的余弦的 .
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝ .
注意点：
余弦定理对任意的三角形都成立.
平方的和
积的两倍
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
已知两边及一角解三角形
二
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边.
2
3
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得5＝b2＋22－2×2bcos A，
已知三边解三角形
三
问题3 在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？
余弦定理的推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
则cos A＝ ，
cos B＝ ，
cos C＝ .
注意点：
余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角.
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.
∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，得
又∵0°∴最大角A为120°.
利用余弦定理判断三角形形状
四
问题4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？
提示 A为直角 a2＝b2＋c2；
A为锐角 b2＋c2>a2(前提是b，c是两个较小边)；
A为钝角 b2＋c2例3 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理的推论，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
(1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
(2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
跟踪训练3 在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
√
在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
1.知识清单：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解决的两类问题.
(3)利用余弦定理判断三角形形状.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件.
随堂演练
五
1
2
3
4
设第三条边长为x，
√
1
2
3
4
∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状是 .
直角三角形
1
2
3
4
因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以由余弦定理的推论得，
整理，得a＝asin A，
因为a≠0，所以sin A＝1.
故△ABC为直角三角形.
课时对点练
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝2，c＝5，则A的大小为
A.30° B.60° C.45° D.90°
√
又0°1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，
所以△ABC为直角三角形，A＝30°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C等于
A.90° B.120° C.135° D.150°
√
又0°1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ ac，则角B的大小是
A.45° B.60° C.90° D.135°
√
又0°1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝ b＝12，则c的值为
A.2 B.4 C.6 D.8
√
利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
得(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)
＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由余弦定理的推论，可得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ .
由题意得，a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求A的大小；
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴△ABC为等边三角形.
①
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以b2＋c2－a2＝2b2，
即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为
设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，
因为l＝5c，所以a＝b＝2c，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下结论，其中正确的有
A.sin(B＋C)＝sin A
B.cos(B＋C)＝cos A
C.若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形
D.若a2＋b2√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；
cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B不正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
－19
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则此三角形的最大边长为 .
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
已知a－b＝4，则a＞b且a＝b＋4.
又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，
所以b＝c＋4，则b>c.
从而知a>b>c，所以a为最大边，
故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.
由余弦定理，得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc
＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，
即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.
又b＝a－4>0，所以a＝14，
即此三角形的最大边长为14.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又0(2)若a＋c＝1，求b的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
又0第5课时
余弦定理、正弦定理的应用
第六章 6.4.3 余弦定理、正弦定理
1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.
2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.
3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.
学习目标
一、三角形面积公式
二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用
课时对点练
三、余弦、正弦定理与三角函数的综合应用
随堂演练
内容索引
三角形面积公式
一
问题 已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？
1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积
公式为S＝ ＝ ＝ .
2.△ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝ ，
sin(A＋B)＝ ，cos(A＋B)＝ ；
(2)大边对大角，即a>b A>B sin A>sin B cos A180°
sin C
－cos C
例1 (1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积
为 .
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得，72＝52＋c2－2×5c×cos 120°，
即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去).
①求C的大小；
②求△ABC的面积.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即7＝a2＋b2－ab，
∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6，
求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值.
余弦、正弦定理在平面几何中的应用
二
例2 在四边形ABCD中，A＝45°，∠ABC＝105°，C＝60°，BC＝1，CD＝2.
(1)求∠CBD的大小；
在△BCD中，由余弦定理，得
由BC＝1，CD＝2，得BC2＋BD2＝CD2，
∴∠CBD＝90°.
(2)求AB的值.
∵∠ABC＝105°，∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝105°－90°＝15°，
∴∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝120°，
在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角.
(1)求AC的长；
余弦、正弦定理与三角函数的综合应用
三
(1)求角B；
2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，
所以a＝2sin A，c＝2sin C，
正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是利用三角函数的性质，一般把求边的范围转化成求角的范围，解与三角形有关的问题.
跟踪训练3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
所以cos B＝2sin B.
从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，
因为sin B>0，
所以cos B＝2sin B>0，
1.知识清单：
(1)三角形的面积公式.
(2)利用余弦、正弦定理解决平面几何问题.
(3)余弦、正弦定理与三角函数的综合应用.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：利用余弦、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验.
随堂演练
四
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为
将c2＝a2＋b2－2abcos C与(a＋b)2－c2＝4联立，
√
1
2
3
4
3.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B的值为
√
1
2
3
4
1
2
3
4
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc
∴c2＝64，∴c＝8，b＝10.
课时对点练
五
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
A.30° B.60°
C.150° D.120°
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以A＝60°或120°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
√
由正弦定理得sin Bcos A＝sin A－sin Acos B，即sin C＝sin A，
由于A，C为三角形内角，所以C＝A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，
∴BC2－3BC＋2＝0，
∴BC＝1或BC＝2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由余弦定理BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠CDB，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
在△ABC中，由余弦定理，得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
45°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又因为b1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是 .
因为△ABC是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c是最大边，
于是得c2>a2＋b2＝12＋22＝5，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sin B＋sin C)2＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求A的大小；
∵(sin B＋sin C)2＝sin2A＋sin Bsin C.
∴由正弦定理，得(b＋c)2＝a2＋bc，
即b2＋c2－a2＝－bc，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又b＋c＝6，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－bc＝36－8＝28，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝
(1)求△ACD的面积；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为D∈(0，π)，
因为AD＝1，CD＝3，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，
所以AB＝4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，
又B＝45°，DA＝7，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.已知向量a＝(2，－1)，b＝(2,2)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为
A.6 B.3 C.4 D.8
√
设向量a与b的夹角为θ，则由题意得，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.已知在△ABC中，AC＝2，AB＝3，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平
分线，则AD＝ .
如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
15.在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图，连接BD，由余弦定理，得
在△ABD中，BD2＝4＋16－2×2×4cos A＝20－16cos A，
在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6cos C＝52－48cos C，
∵A＋C＝180°，
∴20－16cos A＝52＋48cos A，
(1)求f(x)的单调递增区间；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立.