澄海区2023~2024学年普通高中非毕业班第一学期期末
教学质量监测高二数学试题答案
一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑．
题序 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B C A B A
1．【答案】A
【解析】因为，，所以．故选A．
2．【答案】C
【解析】直线的倾斜角为，故选C．
3．【答案】D
【解析】，故．故选D．
4．【答案】B
【解析】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，所以，
则，解得，所以．故选B．
5．【答案】C
【解析】由于在其定义域上都为增函数，
故函数在上为增函数，
由，，
根据零点存在性定理可知函数的零点所在的区间是．故选C．
6． 【答案】A
【解析】由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，
设抛物线方程，
由题意知，抛物线经过点和点，
代入抛物线方程解得，所以抛物线方程，
水面下降2米，即，解得，，
所以此时水面宽度．故选A．
7． 【答案】B
【解析】如图，连接，因为直线与都在平面内，
所以直线与的交点即与平面的交点，
由于且，故由三角形相似，可得，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，所以，
从而，所以的坐标为，
所以．故选B．
8．【答案】A
【解析】设，由已知可得，，
根据椭圆的定义有．
又，所以．
在中，由余弦定理可得，
即，即．
整理可得，两边同时除以，得，
解得或（舍去），所以．故选A．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题序 9 10 11 12
答案 BD BCD AD ABD
9．【答案】BD
【解析】由题设，
所以，A错；，B对；
，则，显然不单调，C错；
曲线向右平移个单位长度得到，
，D对．故选BD．
10．【答案】BCD
【解析】双曲线，则，
双曲线的实轴长为，故A错误；
双曲线的焦距为，故B正确；
双曲线的离心率，故C正确；
双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，
利用点到直线的距离公式可以得到双曲线的焦点到渐近线的距离为，故D正确．
故选BCD．
11．【答案】AD
【解析】对A，设平面的法向量，则，
令，得，A正确；
对B，，，因为，显然与不共线，B错误；
对C，，，C错误；
对D，点A到直线的距离是，D正确．故选AD．
12．【答案】ABD
【解析】因为，，点满足，
设点，则 ，
化简得：，即 ，故A正确；
因为，所以，则 ，解得 ，故B正确；
易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误；
对D选项，解法一：由图形对称性为，两点关于圆心的对称点分别为，，此时满足满足，故D正确．
解法二：假设存在异于，的两点，，则，
化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确．故选ABD．
三、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷相应横线上.
填空题答案：13．8； 14．1； 15．； 16．6．
13．【答案】8
【解析】由等差数列通项公式及解得,于是．故答案为8．
14．已知直线与直线垂直，则___________．
【答案】1
【解析】由得，，则．故答案为1．
15．【答案】
【解析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为为平面的中心，所以，同理，
则，
，则异面直线与所成角的余弦值是．
所以异面直线与所成角为．故答案为．
16．【答案】6
【解析】的几何意义为点到直线的距离之和，
根据梯形中位线性质，
知其即为的中点到直线的距离的2倍，
由题可知， 圆：的圆心，半径为2，，
则，
所以的中点的轨迹是以原点为圆心，半径为r=1的圆，
又点O到直线的距离，
故点到直线的最大距离为，
所以的最大值为．故答案为6．
四、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
温馨提示:考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答,超出指定区域答题不给分.
17．解：（1）设“甲第一次试跳成功”为，“甲第二次试跳成功”为，
“甲试跳两次，至少有一次成功”为C，则“甲试跳两次，两次均失败”为，……1分
∴．……3分
∴．……5分
．……6分
（2）设“甲试跳成功”为，“乙试跳成功”为，
设“甲、乙各试跳一次，恰有一人试跳成功”为D，……7分
∴．……10分
18．解：（1）设的公差为，则由已知条件得
，解得……3分
故通项公式，即．……5分
（2）由（1）得．……7分
设的公比为q,则,从而．……9分
故的前n项和 ．……12分
19．（1）证明：因为平面，，
所以，……2分
∵底面为正方形，∴，……3分
∵，……4分
∴，……5分
∵．……6分
（2）解法一：由（1）得，
又∵是的中点，，∴，
∵，∴．
∴是直线和平面所成角．……8分
在中，，故，……10分
∵，∴．……11分
∴直线和平面所成角为．……12分
解法二：以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，……7分
∵，∴，
则，……8分
设平面的法向量为
则，即，取，则，
∴平面的一个法向量为……10分
设直线和平面所成角为，
则，……11分
∴直线和平面所成角为．……12分
20．解：（1）△ABC中，，
由正弦定理可得：，……2分
又，则，……3分
，……4分
又，∴．……6分
（2）解法一：由，且，利用余弦定理，
可得，……8分
从而，……9分
则，即，
，当且仅当时取得等号，……11分
故△ABC的周长的最大值为．……12分
解法二：由，且，利用正弦定理，得
，
故有，……7分
故△ABC的周长为
……8分
……10分
又由△ABC是锐角三角形，得且，
解得……11分
故，
从而，即时，△ABC的周长的最大值为．……12分
21．（1）证明：法一：设，连结，，
矩形中是线段的中点，是线段的中点，……1分
所以，，所以为平行四边形，……2分
故，……3分
又平面，平面，所以平面．……4分
法二：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，
面面，，面，所以面，
以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，……1分
因为，，是线段的中点，
则，，，，，，
从而，，，，……2分
设面的法向量为，则由，可知，
令，则，，从而面的一个法向量为，……3分
则，所以，又平面，从而面．……4分
（2）解：若，则，，平面的一个法向量为，
设面的法向量为，则，可知，
令，则，，从而面的一个法向量为，……6分
设平面和平面夹角为，则，……7分
因为，所以平面和平面夹角的大小为．……8分
（3）解法一：因为点在线段上，而，
设，其中，则，从而，……9分
于，而，……10分
由，得，即，……11分
所以，故的最大值为．……12分
解法二：因为点在线段上，故可设，……9分
于，而，……10分
由，得，即，……11分
所以，故的最大值为．……12分
22．解：（1）依题意得，……2分
解得，……3分
所以E的方程为．……4分
设，则，所以．
(
x
y
O
A
B
P
M
N
)由题，则，
设，因为，
所以，即．……6分
（i）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代入椭圆方程并整理，得．
则，……7分
（*）
所以，整理得，代入（*），得……8分
，
O到直线的距离，……9分
所以
，
即△的面积为定值1．……10分
（ii）当直线的斜率不存在时，则有，
由对称性要使，则的斜率为，且点M在第一象限，
此时的方程为，代入椭圆方程，解得，
此时△的面积为．
综上可知，△的面积为定值1．……12分澄海区2023-2024学年度第一学期期末质量监测
高二级数学科试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．
2. 答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3. 答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上.
4. 考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．
第一部分（选择题，共60分）
一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知正项等比数列的前2项和为6，，则（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
5．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
(
第
6
题图
)6．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降2m，则水面宽度为（ ）
A．m B．m C．m D．m
(
第
7
题图
)7．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，若直线与平面交于点，则线段的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
8．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9．已知函数，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．的图象可由曲线向右平移个单位长度得到
10．已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的焦距为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的焦点到渐近线的距离为
11．已知空间中三点A(0,1,0)，B(1,2,0)，C(－1,3,1)，则正确的有（ ）
A．平面ABC的一个法向量是(1,－1,3) B．与是共线向量
C．与夹角的余弦值是 D．点A到直线的距离是
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”，在平面直角坐标系中，已
知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是
（ ）
A．圆的方程是
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D．在直线上存在异于，的两点，，使得
三、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷相应横线上.
13．在等差数列中，，，则________．
14．已知直线与直线垂直，则___________．
15．正方体棱长为2，点为正方形的中心，点是正方形
的中心，则异面直线与所成角的大小是__________．
16．已知直线与圆：交于，两点，且，则
的最大值为__________．
四、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
温馨提示:考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答,超出指定区域答题不给分.
17．（本小题满分10分）在区运会的跳高比赛中，甲、乙两名运动员试跳过某个高度成功的概率分别为，，且每次试跳成功与否互不影响．
（1）求甲试跳两次，至少有一次成功的概率；
（2）求甲、乙各试跳一次，恰有一人试跳成功的概率．
18．（本小题满分12分）已知等差数列前项和是，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足=，=，求前项和．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求直线和平面所成角的大小．
20．（本小题满分12分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．
（1）求C；
（2）若c=，求△ABC的周长的最大值．
21．（本小题满分12分）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求平面和平面夹角的大小；
（3）若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值．
22．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆E过点
，点分别为椭圆E的左、右顶点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）点M，N为椭圆E上不同两点，过椭圆上的点作，求证：△的面积为定值．
