江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末考试数学模拟试卷（含答案)

高二期末考试数学模拟试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记为等差数列的前n项和，若则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则可导函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．若直线 与圆相交于两点，且(其中为原点)， 则的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
5．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为( )
A．3 B．2 C． D．
7．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与曲线的左、右两支分别交于，两点.若，，，成等差数列，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的前10项和为
10．下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点
B．过点作圆的切线，则的方程为
C．圆上存在两个点到直线的距离为2
D．若圆与圆有唯一公切线，则
11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．线段长度的取值范围是
C．面积的最大值是 D．的周长存在最大值
12．若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（ ）
A．存在，使 B．当时，取得最小值
C．没有最小值 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则______．
14．若直线将圆的周长分为2∶1两部分，则直线的斜率为 .
15.数列中，，且，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________.
16 已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线'与圆相交于两点．
（1）求圆的标准方程；
（2）当时，求直线'的方程．
18．某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．
(1)求的解析式；
(2)若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．
19．在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
20．已知数列的前n项和为，．
(1)求；
(2)若，对任意的，，，求 的取值范围．
21．已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.
22．已知椭圆的离心率为，焦距为2，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
（1）若，求证：；
（2）过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．
高二期末考试数学模拟试卷参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记为等差数列的前n项和，若则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3．若，则可导函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
4．若直线 与圆相交于两点，且(其中为原点)， 则的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】A
5．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为( )
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
7．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将变为，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合，根据函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：由，
得，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
又因，
且，所以，即，
所以.故选：D.
8．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与曲线的左、右两支分别交于，两点.若，，，成等差数列，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知得，再根据等差中项的含义则得到，，的三边比例，再利用双曲线的定义可用表示出，，用勾股定理得出的等式，从而得离心率．
【详解】.
因为，，成等差数列，则设，，，
则有，解得，则，
可令，.
设，得，即，
解得，∴,,
由得，，，
该双曲线的离心率.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的前10项和为
【答案】BCD
10．下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点
B．过点作圆的切线，则的方程为
C．圆上存在两个点到直线的距离为2
D．若圆与圆有唯一公切线，则
【答案】AC
11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．线段长度的取值范围是
C．面积的最大值是
D．的周长存在最大值
【答案】AC
【分析】由题意可求得椭圆的a,b,c，即可求得离心率，判断A；由图可直接确定线段长度的取值范围，判断B；求出面积的表达式，利用基本不等式可求得其最值，判断C；表示出的周长，根据其表达式结合参数的范围可确定其是否存在最大值，判断D.
【详解】由题意得半圆的方程为，
设半椭圆的方程为，由题意知，∴，
∴半椭圆的方程为．
对于A，，A正确；
对于B，由图可知，当时，；当时，，
所以线段长度的取值范围是，B错误．
对于C，，设，则，
∴，设，∴，∴，
∴，
∴，
当且仅当时等号成立，C正确．
对于D，的周长为，
所以当时，的周长最大，但是不能取零，
所以的周长没有最大值，D错误，
故选：AC
12．若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（ ）
A．存在，使 B．当时，取得最小值
C．没有最小值 D．
【答案】ABD
【详解】对于A选项，由直线与两曲线、分别交于、两点可知．
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，
曲线上点坐标，可求得导数，则切线斜率．
令，则，令，则，
所以，函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理，使，即，使，即，故A正确；
对于BC选项，，令，其中，则，
由A选项可知，函数在上为增函数，
且，，
所以，存在使得，即，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故当时，取最小值，即当时，取得最小值，故B正确，C错；
对于D选项，由可得，则，
令，则函数在上为减函数，
因为，，，且，
又因为函数在上为增函数，所以，，
所以，，D对.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则______．
【答案】4
14．若直线将圆的周长分为2∶1两部分，则直线的斜率为 .
【答案】0或
15.数列中，，且，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________.
【答案】
【解析】
由为变形为，又
所以数列是等比数列，首项为2，公比为，所以，可得，
所以，则，所以，解得，
当n为奇数时，恒成立，等价于恒成立，而，所以，
当n为偶数时，恒成立，等价于恒成立，而，所以，
综上得，所以实数的最大值为，
故答案为：.
16 已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围是___________.
【答案】
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线'与圆相交于两点．
（1）求圆的标准方程；
（2）当时，求直线'的方程．
【答案】（1）； （2）或.
【解析】（1）设圆A的半径为r，由题意知，
圆心到直线l的距离为，即，
所以圆A的方程为；
（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，
点A到直线的距离为1，此时，符合题意；
当直线与x轴不垂直时，设，即，
取的中点Q，连接AQ，则，
因为，所以，
又点A到直线的距离为，
所以，解得，所以直线方程为.
综上，直线的方程为或.
18．某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．
(1)求的解析式；
(2)若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．
【解析】（1）由题意可知，当时，，
当时，，
即，解得，所以，，
（2）设每日销售该商品获利元，则
，
则，令，得或舍去，
所以时，，为增函数，时，，为减函数，
所以时，取得最大值，
，所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大
19．在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)， (2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
所以，解得，所以，
，①
则当时，②
①②得：，则，
而当时，，则，满足上式．所以．
（2）记，
，
.
20．已知数列的前n项和为，．
(1)求；
(2)若，对任意的，，，求 的取值范围．
【答案】(1)； (2).
【详解】（1）由，
，
可得，即，
所以，所以，
令，可得，令，可得，
所以为奇数时，，
当为偶数时，，即；
（2）因为，，
当时，，令，则
当时，
，
所以，当时，，
所以的最小值为，
所以.
21．已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）令，得，即.
设，则，则时，时，.
故在时取最大值.
又时，时，，从而，得；
（2）由得，，
从而，又，
,
即，
设，易知，
故当时，，
所以当时，，即，
所以.
22．已知椭圆的离心率为，焦距为2，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
（1）若，求证：；
（2）过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：设、，因为椭圆的焦距为2，所以，解得．
又因为椭圆的离心率，所以，所以，
所以椭圆的方程为．因为直线经过、，，
所以，直线的方程为，
设点，、，，联立可得，
由，得，．
所以，
，
因此，．
（2）若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，
则直线方程为，其中．
联立，可得，
设，、，，则△，
由韦达定理可得，，
易知且，将代入直线的方程可得，即点，
所以
，
同理可得，所以
当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为．