2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.下列各组函数表示相同函数的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
3.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
4.函数的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.设，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的函数，若对任意的，且有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 是第二象限角
B. 点是函数的一个对称中心
C. 若角终边上一点的坐标为其中，则
D. 函数的图象可由函数图象向左平移个单位得到
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，使得”
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为
D. “，”是“”的充分不必要条件
11.若实数，，满足，以下选项中正确的有( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
12.已知函数，函数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则有个零点 D. 若，则有个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则 ______．
14.已知，则 ______．
15.已知函数且若的值域为，则的取值范围为______．
16.已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列各式的值：
；
．
18.本小题分
设全集，集合，集合．
若时，求；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知幂函数的图象过点．
求函数的解析式；
设函数在是单调函数，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调增区间；
若，求的值．
21.本小题分
已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数．
求的解析式．
若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数对任意的实数，都有，且当时，有恒成立．
求证：函数在上为增函数．
若，，对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
利用集合的交集运算即可得解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查相同函数的判断，结合两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．
分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
【解答】
解：．的定义域是，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是相同函数，
B.的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是相同函数，
C.，两个函数的定义域都是，对应法则相同，是相同函数，
D.的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是相同函数，
故选C．
3.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，
，，
故函数零点所在的区间为．
故选：．
确定函数单调递增，计算，，得到答案．
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数是偶函数，排除，
当时，，判断、，
故选：．
利用函数的奇偶性以及特殊值，判断即可．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值是常用方法，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：易知．
故选：．
利用正弦函数、指数函数、对数函数的性质判定即可．
本题主要考查了正弦函数，指数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由函数的图像可知，
，则，．
由，解得，，
，故．
故选：．
根据图象的特点可确定解析式，从而求值．
本题考查三角函数的性质和图象，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题设，
所以，且，
故，即，
所以．
故选：．
将已知条件两边平方，结合“”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可．
本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：对任意的，且有，
，
即，
令，则可得，
在上单调递增，且，
，
，
即，
，
故不等式的解集为
故选：．
构造函数令，结合其单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
9.【答案】
【解析】解：对于，的终边与的终边相同，所以为第二象限角，故A正确；
对于，由，故B错误；
对于，利用三角函数的定义知，故C正确；
对于，由，可由函数的图象向左平移个单位得到，故D错误．
故选：．
利用弧度制与角度制的转化及象限角的定义可判断；直接代入检验即可判断；利用三角函数的定义可判断；利用三角函数的图象的平移变换可判断．
本题主要考查三角函数图像和性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对：命题“，”的否定是“，使得”，故A错误；
对：当时，集合中也只有一个元素，故B错误；
对：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设，则由韦达定理可得，，所以不等式，故C正确；
对：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立．
故选：．
因为命题的否定一定要否定结论，故A错误；中方程应该对是否为进行讨论，有两个结果，故B错误；根据一元二次不等式的解法确定的真假；根据充要条件的判定对进行判断．
本题主要考查了命题的否定，考查了一元二次不等式的解法，以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，，得，又，
所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为，选项A正确；
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，选项B错误；
由，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，又，，
所以，选项C错误；
由，，，得，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，选项D正确．
故选：．
由，，得，即，从而即可判断选项A；由即可利用基本不等式判断选项B；由可得，从而，进一步即可利用基本不等式判断选项C；由，，，得，从而即可判断选项D．
本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对：，，故A正确；
对：若，则或，
当时，或，
当时，
由图可知或，故B错误；
对：若，
由分析中图可知或，
当时，由知只有一解，
当时，由图可知有两解，
故有个零点，故C正确；
对：若，，
由图知或或，
当时，只有一根，
当时，只有两根，
当时，只有两根，
所以共有根，故D正确．
故选：．
对：直接计算即可；对：先求得或，再求值；对：先由求得，，，，，再依次求的解．
本题考查函数零点问题，数形结合思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，所以．
故答案为：．
由已知先求，再计算即可．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接利用诱导公式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：当时，值域为，满足条件；
当时，的值域为，则，解得；
综上所述：．
故答案为：．
考虑和两种情况，根据值域得到，解得答案．
本题主要考查了对数函数及二次函数性质的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
根据，且在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的值，然后确定的表达式，进而推出的值．
本题考查由的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，分析判断能力，是基础题．
【解答】
解：如图所示，
，
且，
又在区间内只有最小值、无最大值，
在处取得最小值．
．
．
，
当时，；
当时，，此时在区间内已存在最大值．
故．
故答案为．
17.【答案】解原式．
．
【解析】根据指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解；
根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因为或，当时，，
所以；
因为，所以，
当时，，所以，此时满足条件，
当时，因为，所以或，
解得或，
综上或，即．
【解析】求出或，当时，求出集合，然后进行交集的运算即可；
根据条件得出，然后讨论是否为空集，根据子集的定义即可求出的范围．
本题考查了交集和补集的运算，子集的定义，分类讨论的思想，是基础题．
19.【答案】解：因为幂函数的图象过点．
所以，解得，
所以函数．
，
对称轴为，
因为在是单调函数，
所以或，
解得或，
所以实数的取值范围为或．
【解析】本题考查函数解析式的求法和函数的性质，属于基础题．
根据题意可得，可得的值，进而得到函数的解析式；
由可得，其对称轴为，然后由在是单调函数，得到或，再求出实数的取值范围．
20.【答案】解：
，
故周期为，
令，
，
所以的增区间为．
，
，，，
，
故
．
【解析】由诱导公式，二倍角的正弦和余弦公式和辅助角公式化简，由最小正周期公式求出的最小正周期；令，即可求出单调增区间；
由题意可得，由，求出的范围，再由三角函数的平方关系求出，则，由两角和的正弦公式化简即可得出答案．
本题考查三角函数的周期性及其求法，考查复合三角函数的单调性，考查三角函数的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为．
所以，，所以，则，
将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，
再将每个点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数；
，
在上有实数解，
即在上有实数解，
即在上有实数解，
令，
所以，
由，所以，
所以，所以，
同时，所以，
所以在上有实数解等价于在上有解，
即在上有解，
时，无解；
时，有解，
即在有解，
即在有解，
令，，
由于在上单调递减，
所以的值域为，
所以在有解等价于．
实数的取值范围为．
【解析】由最值求解，由周期求解，然后结合函数图象的平移即可求解；
由已知转化为在上有实数解，换元，结合对勾函数及正弦函数性质即可求解．
本题考查三角函数的图象和性质，函数的值域问题，属于中档题．
22.【答案】解：证明：任取，，且，
，，
，
故，
，，
又当时，，，
，
，即，
在上为增函数；
当时，，解得，
关于的不等式恒成立，
等价于恒成立，
，，
，
即恒成立．
在上为增函数，
，
又在上单调递减，
由题意可得，恒成立，
即恒成立，
令，，则，
恒成立，
等价于恒成立，
令，则，
函数对称轴为，
函数在上单调递增，
故，解得，
实数的取值范围为．
【解析】利用赋值法，结合函数的单调性定义即可证明；
利用已知条件和函数单调性，转化为恒成立问题即可求解．
本题考查了用定义证明函数的单调性，考查了对数函数的性质、转化思想及二次函数的性质，属于中档题．
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