2023-2024学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线在轴和轴上的截距分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.圆的圆心坐标和半径分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.两条平行直线：与：间的距离等于( )
A. B. C. D.
5.设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图，直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于点，与准线交于点，且，则直线的斜率为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是( )
A. 点到原点的距离为
B. 点到直线的距离为
C. 不论实数取何值，直线：都经过点
D. 是直线的一个方向向量的坐标
10.当时，方程表示的轨迹可能是( )
A. 两条直线 B. 椭圆 C. 圆 D. 双曲线
11.椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限若是等腰三角形，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 点到轴的距离为 D.
12.已知为坐标原点，双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线的标准方程为 B.
C. 双曲线的焦距为 D. 点到两条渐近线的距离之积为
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.抛物线的焦点坐标为______．
14.已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是______．
15.已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点当时，，则 ______．
16.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，若椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的三个顶点分别为，，．
求边所在直线的方程；
判断的形状．
18.本小题分
已知圆的方程为，点在圆内．
求实数的取值范围；
求过点且与圆相切的直线的方程．
19.本小题分
已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合．
求双曲线的方程；
若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长．
20.本小题分
已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且．
求抛物线的方程；
已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：．
21.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且过点，经过右焦点的直线斜率不为与椭圆分别交于、两点．
求椭圆的方程；
记椭圆的左、右顶点分别为，，和的面积分别为和，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线，
令，解得，
，解得，
故直线在轴和轴上的截距分别为．
故选：．
根据已知条件，结合截距的定义，即可求解．
本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：圆的圆心坐标和半径分别为和．
故选：．
直接利用圆的方程求出结果．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的渐近线方程，属于基础题．
由双曲线的渐近线方程即可得到答案．
【解答】
解：双曲线方程为，
其渐近线方程为：，
故选B．
4.【答案】
【解析】解：两条平行直线：与：间的距离等于：．
故选：．
根据已知条件，结合平行直线间的距离公式，即可求解．
本题主要考查平行直线间的距离公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：如图，
点在抛物线内部，过作垂直抛物线的准线，垂足为，交抛物线于，
此时取的最小值为．
故选：．
由题意画出图形，利用抛物线的定义转化求解．
本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化思想，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，两点在直线上，设，
因为，两点关于原点对称，所以，
由，两点的横坐标之积为，得，解得，所以，
代入双曲线方程得，所以，
所以，所以焦距为．
故选：．
设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出，进一步求出焦距．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与椭圆位置关系，考查了中点弦问题，考查了直线的点斜式方程，训练了利用“点差法”求中点弦所在直线方程，是中档题．
设出弦的两个端点的坐标，代入椭圆方程，作差整理可得弦所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式得答案．
【解答】
解：设弦的两个端点分别为，，
则
得：，
即，
又的中点为，
，
．
以点为中点的弦所在的直线方程为，
整理得：．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：作垂直准线于，
由抛物线的定义可得，
，可得，
故直线的斜率．
故选：．
作垂直准线于，根据抛物线的定义即可求解结论．
本题主要考查抛物线的定义应用，考查计算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由于直线：与：交于点，
故，解得，
对于：点到原点的距离，故A正确；
对于：点到直线的距离，故错误；
对于：直线：整理得，故，解得，故直线恒过点，故C错误；
对于：由于直线：的方向向量为，故D正确．
故选：．
直接利用直线的方程的交点，点到直线的距离公式，两点间的距离公式及直线的方向向量判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：方程化为：，
因为，所以当时，，则，此时曲线可能为椭圆，故B正确；
当时，，此时，曲线表示两条直线，故A正确；
当时，，此时曲线表示双曲线，故D正确．
故选：．
化简方程，然后根据的范围以及余弦函数的性质，椭圆，双曲线，直线的定义即可判断．
本题考查了轨迹方程，涉及到椭圆，双曲线以及直线的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，，
在椭圆上，，
在第一象限，故，
为等腰三角形，则，故A错误；
，故A正确；
由余弦定理可得，所以不正确；
过作轴于，则，
，即的横坐标为，坐标轴为：，故C正确；
，故D不正确．
故选：．
根据位置可知，根据椭圆定义可求出，，可判断；通过余弦定理的求解，判断；利用余弦定理解，从而可判断，是否正确．
本题考查椭圆的简单性质，三角形的解法，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：不妨设为双曲线：的右支上一点，延长，交于点，如图，
因为平分，且，即，所以在与中，
，所以≌，故，，
根据双曲线的定义得，，
在中，是其中位线，所以，所以，，所以．
因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，，，
所以双曲线的标准方程为，双曲线的焦距为，所以不正确，B正确，C正确；
设，则，即，
所以点到两条渐近线的距离之积为，所以D正确．
故选：．
不妨设为双曲线：的右支上一点，延长，交于点，进而得，，再结合双曲线的定义，中位线定理得，，进而判断；设，则，再直接计算点到两条渐近线的距离之积判断．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：抛物线的标准方程为，
，开口向左，故焦点坐标为．
故答案为：．
先将抛物线的方程化为标准方程形式，确定开口方向及的值，即可得到焦点的坐标．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设圆心的坐标为，故，，
故半径，
故圆的方程为．
故答案为：．
首先求出圆心的坐标，进一步求出圆的半径，最后求出圆的方程．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为，．
由题意，
点到准线的距离为：，
解得，则，．
故答案为：．
由已知结合抛物线的定义可求得，再根据余弦定理求解．
本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化思想，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：根据对称性不妨设为上顶点，则根据题意可得：
在第一象限，且，，
设，则，，
，
，
，又在椭圆：上，
，，．
故答案为：．
根据对称性不妨设为上顶点，根据题意先求出点坐标，再将的坐标代入椭圆方程，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
17.【答案】解：，．
则，
故直线的方程为：，化简可得：．
，，
则，则，
所以是直角三角形：
又，，则，即是等腰三角形，
综上所述，是等腰直角三角形．
【解析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线的点斜式方程，即可求解；
结合直线垂直的性质，以及两点之间的距离公式，即可求解．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
所以，
即圆心为，半径，
因为点在圆内，
所以，，
即，
解得，
所以的取值范围为．
由题可知，切线经过点，
当切线的斜率不存在时，设圆的切线方程为：，此时符合题意；
当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为，
由，解得，
所以切线方程为，即，
综上所述：圆的切线方程为或．
【解析】利用点在圆内，得出，求解即可；
斜率不存在时，则，符合题意；斜率存在时，设直线方程为，由，解得即可．
本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
19.【答案】解：易知抛物线的焦点坐标为，
因为双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，
所以，
因为，
所以，
则双曲线的方程为；
因为斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，
所以直线的方程为，
不妨设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以
，
又，
则的周长为．
【解析】由题意，根据抛物线的焦点坐标得到的值，结合，，之间的关系求出的值，进而可得双曲线的方程；
先得到直线的方程，设出直线的方程，将直线的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理、弦长公式以及双曲线的定义再进行求解即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意及抛物线定义可得：，
解得，
故抛物线的方程为．
证明：设直线的方程为，，，
由，得，
，
点，
，
，故．
【解析】由抛物线定义可得：，解得，即可得抛物线的方程；
设直线的方程为，，，联立直线和抛物线的方程可得，又，可计算得，即可证明．
本题主要考查抛物线的定义及其性质、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可知，解得，，
所以椭圆的方程为：；
由知，，，右焦点，且斜率不为，
由题意设直线的方程为，，，
由，整理可得：，
因为，且，
所以，
当时，，
当时，，当且仅当时，等号成立．
综上所述，的最大值为．
【解析】由题意列出方程，求出，的值，求出椭圆的方程；
由可得，，的坐标，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和，求出两个三角形的面积之差的绝对值，分参数为和不为两种情况讨论，再由基本不等式的的性质，可得面积之差的绝对值的最大值．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
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