高中学生学科素质训练系列试题高二下学期数学理科单元测试（1）

高中学生学科素质训练系列试题
高二下学期数学理科单元测试（1）
[新课标人教版]命题范围
导数及推理与证明（2-2第一、二章）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。）
1．下列求导运算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．若曲线上任一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 的值等于 （ ）
A．－2 B．0 C．1 D．－1
3．已知f(x)为偶函数且，则 （ ）
A．0 B．4 C．8 D．16
4．下面说法正确的有 （ ）
①演绎推理是由一般到特殊的推理；
②演绎推理得到的结论一定是正确的；
③演绎推理一般模式是“三段论”形式；
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若a>3，则方程在（0,2）上恰有 （ ）
A．0个根 B．1个根 C．2个根 D．3个根
6．否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为 （ ）
A．a,b,c都是奇数
B．a,b,c都是偶数
C．a,b,c 中至少有两个偶数
D．a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
7．设函数的图象上的点（x,y）处的切线的斜率为k，若，则函数的图象大致为 （ ）
8．用数学归纳法证明“”时，从 到，给等式的左边需要增乘的代数式是 （ ）
A． B． C． D．
9．根据推断直线和正弦曲线所围成的曲边梯形的面积时，正确结论为 （ ）
A．面积为0
B．曲边梯形在轴上方的面积大于在轴下方的面积
C．曲边梯形在轴上方的面积小于在轴下方的面积
D．曲边梯形在轴上方的面积等于在轴下方的面积
10．曲线上的点到直线的最短距离是 （ ）
A． B． C． D．0
11．某同学回答“用数学归纳法证明”的过程如下：
证明：（1）当n=1时，显然命题是正确的；
（2）假设时有，那么当时，
，所以当时命题是正确的。以上证法是错误的，错误在于 （ ）
A．从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设
B．归纳假设的写法不正确
C．从k到k+1的推理不严密
D．当n=1时，验证过程不具体
12．函数的图象如图，且，则有 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题。（本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把正确答案写在题中横线上。）
13．若恰有三个单调区间，则a的取值范围为 。
14．函数有极大值又有极小值，则a的取值范围是 。
15．曲线与直线所围成的图形面积为 。
16．在等差数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立。
三、解答题。（本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。）
17．（12分）求抛物线过点的切线方程。
18．（12分）如图，直线分抛物线与轴所围图形为面积相等的两部分，求的值.
19．（12分）求证：能被整除，.
20．(12分) 设函数，其中，求?f(x)的单调区间。
21．（12分）已知函数
（1）求的单调递减区间；
（2）若在区间上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
22．（14分）如图所示，已知曲线与曲线交于O、A，直线与曲线、分别相交于点D、B，连接OD、DA、AB.
（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f(t)；
（2）求函数S=f(t)在区间上的最大值.
参考答案
一、1．B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.A 11.A 12.C
二、13． 14．∪ 15．
16．
三、
17．解：设此切线过抛物线上的点
在处的导数为
处切线的斜率为切线的方程为 ①
又切线过点，代入①得
解得＝2、3.即切线过抛物线上的点（2，4）、（3，9）.
所以切线方程分别为
化简得即此即为所求的切线方程。
18．解：抛物线与轴两交点的横坐标，所以，抛物线与轴所围图形的面积
由此可得，抛物线与两交点的横坐标为，所以，
又知，所以，于是
19．证明：（1）当n=1时，，命题显然成立.
(2)设n=k时，能被整除，则
当n=k+1时，
由归纳假设，上式中的两项均能被整除，故n=k+1时命题成立.
由（1）、（2）知，对，命题成立.
20．解：由已知得函数f(x)的定义域为，且
（1）当时，，函数f(x)在上单调递减.
(2)当时，由，解得
、随x的变化情况如下表：
x
f’(x)
－
0
+
f(x)
极小值
从上表可知：当时，，函数在上单调递减.
当时，，函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增。
21．解：（1）令，解得
所以函数的单调递减区间为和.
(2)因为
所以
因为在上，所以在上单调递增.又由于在上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间上的最大值和最小值.
于是有22+a=20，解得故
因此即函数在区间上的最小值为－7.
22．解：（1）由得点
又由已知得，
故
（2）
令，即
解得或
应舍去.
若，即时，
在区间上单调递增，
S的最大值是
若，即时，
当时，
当时，
在区间上单调递增，在区间上单调递减.
?的最大值是
综上所述，