2023－2024学年第一学期期末检测
高二数学
一、单项选择题（本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由倾斜角与斜率关系，结合倾斜角的范围即可求解.
【详解】由得，故倾斜角满足为，，故.
故选：C
2. 在等比数列中，，，则（ ）
A. 14 B. 16 C. 28 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列性质得到，求出答案.
【详解】由等比数列性质可得，即，解得.
故选：D
3. 某质点沿直线运动，位移S（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时该质点的瞬时速度为（ ）
A. 10m/s B. 11m/s C. 13m/s D. 28m/s
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
即当时该质点的瞬时速度为10m/s.
故选：A
4. 已知双曲线一条渐近线方程为，则实数m的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线方程对比列方程即可得解.
【详解】由题意双曲线的一条渐近线方程为，所以，解得.
故选：B.
5. 已知k为实数，则直线与圆的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】由直线过定点，利用点在圆内即可得直线与圆相交.
【详解】易知恒过定点，
且易知点点内，
所以直线与圆相交；
故选：A
6. 已知M是椭圆上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设为椭圆上一动点，利用两点间距离公式结合动点在椭圆上，由二次函数求最值即可.
【详解】设为椭圆上一动点，
由椭圆，不妨取椭圆短轴一端点B，
则，
由可得，
则，
由知，当时，.
故选：C
7. 已知定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出原不等式的解集.
【详解】构造函数，该函数的定义域为，
则，
所以，函数在上为增函数，且，
由可得，即，解得.
所以，不等式的解集为.
故选：A.
8. 在中，已知D为边BC上一点，，．若的最大值为2，则常数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令且，求得外接圆半径为，若，结合已知得点在圆被分割的优弧上运动，进而确定的最大，只需与圆相切，综合运用两点距离、圆的性质、正弦定理、三角恒等变换列方程求参数.
【详解】令且，即，则外接圆半径为，
若，的外接圆方程为，
所以，令圆心为，
即点在圆被分割的优弧上运动，如下图，
要使的最大，只需与圆相切，由上易知，
则，而，由圆的性质有，
中，，显然，
由，则，
所以，可得（负值舍），
故，而，
所以，
整理得，则.
故选：D
【点睛】关键点点睛：令且，得到点在圆被分割的优弧上运动为关键.
二、多项选择题（本大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．）
9. 已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若斜率相等，则平行
B. 若平行，则的斜率相等
C. 若的斜率乘积等于，则垂直
D. 若垂直，则的斜率乘积等于．
【答案】AC
【解析】
【分析】利用两直线平行或垂直与斜率之间的关系逐项判断即可得出结论.
【详解】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行；
若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误；
易知若的斜率乘积等于，则垂直；
若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误；
故选：AC
10. 椭圆与双曲线（ ）
A. 有相同的焦点 B. 有相等的焦距
C. 有相同的对称中心． D. 可能存在相同的顶点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线方程分别写出焦点坐标，求出焦距，对称中心以及可能的顶点坐标，即可得出结论.
【详解】由椭圆方程可知其焦点坐标为，焦距为，关于原点成中心对称，左、右顶点坐标为；
由双曲线方程可知其焦点坐标为，
因此两曲线焦点不同，即A错误；
焦距为，可得B正确；
双曲线也关于原点成中心对称，即C正确；
当时，双曲线的左、右顶点坐标为，即D正确；
故选：BCD
11. 已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的极大值为
B. 函数在点处切线方程为
C.
D. 若曲线与曲线无交点，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导数求得函数的单调性，即可知A正确；根据导数的几何意义可判断B正确；由的单调性可得，变形整理可判断C正确；将两曲线无交点等价转换成方程无解，构造函数并利用函数单调性求得当时不合题意，由时函数的最小值可解得，即可得D正确.
【详解】易知函数的定义域为，
则，令可得，
当时，，可得在上单调递增，
当时，，可得在上单调递减，
对于A，由单调性可得在处取得极大值，即A正确；
对于B，易知切线斜率为，所以切线方程为，即B正确；
对于C，利用的单调性可得，
即，也即，可得，所以，即C错误；
对于D，若曲线与曲线无交点，即方程没有实数根，也即无解；
令，则，
若，在上恒成立，即在上单调递减；
不妨取，则，
易知，，此时在上有解，不合题意；
若，令，解得；
所以当时，，此时在时单调递减；
当时，，此时在时单调递增；
此时在处取得极小值，也是最小值；
即，
依题意可得，所以即可；
解得，
即的取值范围是，所以D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：在求解D选项时，关键在于将两曲线无交点等价转换成方程无解，构造函数并利用函数单调性分类讨论以及时函数的单调性，即可解得的取值范围.
12. 已知无穷数列，．性质，，；性质，，，下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则具有性质s
B. 若，则具有性质t
C. 若具有性质s，则
D. 若等比数列既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据性质的定义可判断选项A；根据性质的定义可判断选项B；根据性质的定义可得，，利用累加法可证选项C；对于D，结合选项C，可得，由满足性质，分和讨论求出，再由满足性质得，令，结合函数单调性可验证满足题意.
【详解】对于A，因为，对，，
即，所以不具有性质，故A错误；
对于B，，对，，，
，故B正确；
对于C，若具有性质，令，则，
即，，
，又，
所以，，故C正确；
对于D，是等比数列，设其公比为，又，，
若满足性质，由选项C 得，即，，，
由，，得，
当时，得，即，对，又，，
当时，不妨设，则，
，解得，，
综上，若满足性质，则.
若满足性质，对，，，
可得，即，令，则，
又，所以函数在上单调递增，又由满足性质，，
成立，
所以等比数列既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为.
故D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：选项C，由题意可得，，累加法可得，结合，可判断；选项D，由满足性质，结合选项C得，分和讨论恒成立求出，又由满足性质，得，令，结合函数单调性可验证满足题意.
三、填空题（本大题共4小题）
13. 写出过点的被圆所截的弦长为的直线方程______．（写出一条直线即可）
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】
【分析】由题意分满足题意的直线斜率是否存在进行讨论，结合圆心到直线的距离公式、弦长公式进行验算或者求解即可.
【详解】当满足题意的直线斜率不存在即直线方程为时，
圆心到该直线的距离为，而圆的半径为，
此时该直线被圆所截的弦长为，故直线方程满足题意；
当满足题意的直线斜率存在时，不妨设直线方程为，
圆心到该直线的距离为，而圆的半径为，
若该直线被圆所截的弦长为，
则有，解得，
即此时满足题意的直线方程为.
故答案为：（或，答案不唯一）.
14. 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为______．
【答案】2
【解析】
【分析】计算出及后代入计算即可得.
【详解】，，
故，，
则.
故答案为：.
15. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”"，现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为______．
【答案】56
【解析】
【分析】利用高阶等差数列的定义，分别计算出前后两项的差，再由等差数列定义即可求得第6项的值为56.
【详解】由题意可知，所给数列为高阶等差数列，
设数列的第6项为，
根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，
再利用新数列的后一项减去前一项也得到一个新数列，即可得到一个首相为3公差为1的等差数列，
计算规律如下所示：
则需满足，解得.
该数列的第6项为56.
故答案为：56
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线交椭圆C于A，B两点，以AB为直径的圆过，则椭圆C的离心率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意联立与，结合韦达定理与以及离心率公式和平方关系即可得解.
【详解】由题意直线的斜率，且过点，不妨设，
所以它的方程为，将其与椭圆方程联立得，
化简并整理得，所以，
因为以AB为直径的圆过，
所以
，
所以，即，解得.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是由以AB为直径的圆过得到，由此结合韦达定理以及离心率公式平方关系即可顺利得解.
四、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知是等差数列，是等比数列，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列和等比数列定义求出公差和公比即可得出数列和的通项公式；
（2）利用分组求和并根据等差等比数列前n项和公式即可得出数列的前n项和．
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
由可得，．
则有，．所以．
所以．
所以，．
【小问2详解】
，
令；
所以数列的前n项和为
,
即可得数列的前n项和.
18. 已知函数在处取得极小值5．
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，求函数的最小值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得到，，求出，，检验后得到答案；
（2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案.
【小问1详解】
，
因为在处取极小值5，所以，得，
此时
所以在上单调递减，在上单调递增
所以在时取极小值，符合题意
所以，．
又，所以．
【小问2详解】
，所以
列表如下：
0 1 2 3
0 0
1 ↗ 极大值6 ↘ 极小值5 ↗ 10
由于，故时，．
19. 已知数列的首项，前n项和为，且．设．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据求出，证明出是以2为首项，2为公比的等比数列，得到通项公式；
（2）求出，裂项相消法求和得到，结合，得到答案.
【小问1详解】
在数列中，①，
②，
由①-②得：，即，，
所以，即，
在①中令，得，即，而，故．
则，即，
又，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；
【小问2详解】
，
，
又因为，所以，所以.
20. 已知点，是圆上的一动点，点是线段的中点．
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知、是直线上两个动点，且．若恒为锐角，求线段中点的横坐标取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设点，由中点坐标公式可得出，由已知可得出，将代入等式，化简可得出点的轨迹方程；
（2）设，则，分析可知以中点为圆心，为半径的圆与圆外离，利用圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围，即为所求.
【小问1详解】
解：设，因为点是线段的中点，则，可得，
因为点在圆上，则，即，
整理可得，
所以点的轨迹方程为.
【小问2详解】
解：设，则，
当在圆上运动时，恒为锐角，
等价于以中点为圆心，为半径的圆与圆外离．
且圆的圆心坐标为，半径为，
所以，解得或，
所以线段中点的横坐标取值范围为．
21. 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线PA交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．
【答案】（1）或
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线C的标准方程；
（2）方法1：设，，求出直线的方程，与抛物线方程联立解得点的坐标，同理得点坐标，从而求得直线的方程，可得证；方法2：设，，，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，求出直线的方程，从而得点纵坐标，同理得点纵坐标，由对称性可得证.
【小问1详解】
设抛物线C标准方程为或，
将A坐标代入，得，所以；
将A坐标代入，得，所以，
所以抛物线C的标准方程为或．
【小问2详解】
方法1：由抛物线C开口向右得标准方程为，
准线，设，，
则，即，
由，得，
所以，
所以，，
所以，
用代m，得，则，
所以，
化简得
所以，直线MN过定点．
方法2：由抛物线C开口向右得标准方程为，准线，
直线MN不垂直于y轴，设，，，
由得，
所以，，
所以，
所以，
令，则，同理．
因为P，Q关于x轴对称，
所以，
则．
所以，直线MN过定点．
【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
22. 已知函数．（是自然对数的底数）
（1）若，，求不等式的解集；
（2）若，证明：对任意，成立；
（3）若，试讨论函数的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）当，时，利用导数分析函数的单调性，再由结合函数的单调性可得出原不等式的解集；
（2）当时，，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的单调性可证得结论成立；
（3）当时，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，当时，直接利用单调性结合可得出结论；当时，分析可知，函数存在唯一的极值点，对极值点与的大小进行分类讨论，利用函数的单调性及（2）中的结论可得出函数的零点个数.
【小问1详解】
解：当，时，，该函数的定义域为，
对任意的恒成立，所以在上单调递增，
又，由可得，
故不等式的解集为．
【小问2详解】
证明：当时，令，
则，令，则对任意恒成立，
所以在上单调递增，
又，所以，即，所以在上单调递增，
又，所以，
所以，对任意，成立．
【小问3详解】
证明：当时，，其中，，
①当时，对恒成立，所以在上单调递增，
又，所以仅有个零点；
②当时，令，，
所以在上单调递增，
令，则，，
对任意的恒成立，
则在上单调递增，
所以存在唯一，使得，即，
时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以，
若，则，所以仅有个零点，此时，
若，则在上递增且，
所以在上仅有个零点，且，
当时，，所以，
因为，所以，，又时，，所以，，
所以在上仅有一个零点，
所以在上共有两个零点，此时；
若，则在上递减且，
所以在上仅有个零点，且，
当时，由（2）可知，两边取对数得，
又因为，所以，
不妨取，则且，
又因为，所以在上仅有个零点．
所以在上共有两个零点，此时．
综上得：当或时，函数有个零点；
当且时，函数有个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
12023－2024学年第一学期期末检测
高二数学
一、单项选择题（本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 在等比数列中，，，则（ ）
A. 14 B. 16 C. 28 D. 32
3. 某质点沿直线运动，位移S（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时该质点的瞬时速度为（ ）
A. 10m/s B. 11m/s C. 13m/s D. 28m/s
4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数m的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 9
5. 已知k为实数，则直线与圆的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定
6. 已知M是椭圆上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（ ）
A. 2 B. C. D.
7. 已知定义在上可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，已知D为边BC上一点，，．若的最大值为2，则常数的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．）
9. 已知为两条不重合直线，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若斜率相等，则平行
B. 若平行，则的斜率相等
C. 若的斜率乘积等于，则垂直
D. 若垂直，则斜率乘积等于．
10. 椭圆与双曲线（ ）
A. 有相同焦点 B. 有相等的焦距
C. 有相同的对称中心． D. 可能存在相同的顶点
11. 已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的极大值为
B. 函数在点处的切线方程为
C.
D. 若曲线与曲线无交点，则的取值范围是
12. 已知无穷数列，．性质，，；性质，，，下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则具有性质s
B. 若，则具有性质t
C. 若具有性质s，则
D. 若等比数列既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题）
13. 写出过点的被圆所截的弦长为的直线方程______．（写出一条直线即可）
14. 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为______．
15. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”"，现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为______．
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线交椭圆C于A，B两点，以AB为直径的圆过，则椭圆C的离心率为______．
四、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知是等差数列，是等比数列，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18. 已知函数在处取得极小值5．
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，求函数的最小值．
19. 已知数列的首项，前n项和为，且．设．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：．
20. 已知点，是圆上的一动点，点是线段的中点．
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知、是直线上两个动点，且．若恒为锐角，求线段中点横坐标取值范围．
21. 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线PA交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．
22. 已知函数．（是自然对数的底数）
（1）若，，求不等式的解集；
（2）若，证明：对任意，成立；
（3）若，试讨论函数的零点个数，并说明理由．
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