2023—2024 学年度第一学期期末教学质量监测
九年级数学（沪科版）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
2. 关于二次函数 下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上 B. 当时，有最大值
C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线的顶点坐标是
3. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，2cm，4cm
C. 3cm，5cm，9cm，13cm D. 1cm，2cm，2cm，3cm
4. 小明沿着坡比为的山坡向上走了300m，则他升高了（ ）
A. m B. 150m C. m D. 100m
5. 如图，正六边形内接于，点C在上，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，是的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于C，D两点，若，则的长为（ ）
A. B. 4 C. D.
7. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在点A，B的右侧圆弧上取一点C，连接AC，BC，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为，小孔O到物体和实像的水平距离分别为，则实像的高度为（ ）．
A. B. C. D.
9. 已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，正方形的边长为4，E为边一点，且，G为边上一点，连接，，相交于点F，若 ，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，满分20 分）
11. 已知，，则_______．
12. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台长为，试计算主持人应走到离A点至少________处．（，结果精确到）
13. 如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点A，C 恰好落在双曲线 上，且点O在上，交x轴于点M，连接．
（1）当点C 坐标为时，B点的坐标为______（写出数值结果）；
（2）当平分时，正方形 的边长的值为____．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，请你分别完成下面的作图．
（1）以O为位似中心，在第三象限内作出，使与 的位似比为；
（2）以O为旋转中心，将沿顺时针方向旋转得到．
16. 计算：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如果，且，求的值．
18. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)写出它的开口方向、对称轴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
20. 如图，在四边形中，平分，．
（1）求证：；
（2）点E 是边的中点，连接，，且与交于点F，若 ，，求 的值．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在 中，，以为直径交 于点D，，垂足为点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若 ，，求图中阴影部分的面积．
七、（本题满分12分）
22. 乒乓球被誉为中国国球，年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分，乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：），测得如下数据：
水平距离 0
竖直高度 0
（1）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________；
②求满足条件的抛物线解析式；
（2）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图②，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为，请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
八、（本题满分14分）
23. 某校数学活动小组一次活动中．对一个数学问题作如下探究．
问题发现】
（1）如图①，在等边，中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接，求的长为______；
问题提出】
（2）如图②，在等腰，中，，点 P 是边上任意一点，以为腰作等腰 ，使 ，，连接，求证：；
【问题解决】
（3）如图③，在正方形中，点P 是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接，若正方形的边长为，，求正方形的边长．2023—2024 学年度第一学期期末教学质量监测
九年级数学（沪科版）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.是中心对称图形，
故选：D
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 关于二次函数 下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上 B. 当时，有最大值
C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线的顶点坐标是
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
二次函数 的顶点为：，对称轴为直线，故C，D选项错误不符合题意，
∵，
∴当时，有最小值，开口向上，故B选项错误，不符合题意，A选项正确，符合题意，
故选：A．
3. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，2cm，4cm
C. 3cm，5cm，9cm，13cm D. 1cm，2cm，2cm，3cm
【答案】B
【解析】
【详解】A选项中，∵，∴本选项中这组线段不是成比例线段；
B选项中，∵ ，∴本选项中的这组线段是成比例线段；
C选项中，∵，∴本选项中的这组线段不是成比例线段；
D选项中，∵，∴本选项中的这组线段不是成比例线段；
故选：B．
4. 小明沿着坡比为的山坡向上走了300m，则他升高了（ ）
A. m B. 150m C. m D. 100m
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，画出图形，如下，根据坡比为，可设米，则米，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意，画出图形，如下：
由题意可得，，
设米，则米，
由勾股定理可得：，即
解得，
即米，他升高了150m，
故选：B
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的概念，根据题意，正确画出图形．
5. 如图，正六边形内接于，点C在上，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正多边形的外接圆圆心角及圆周角，根据正多边形外接圆得到，根据圆周角等圆圆心角一半求解即可得到答案；
【详解】解：∵正六边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
6. 如图，是的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于C，D两点，若，则的长为（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，设和交于点M，根据作图得出垂直平分，利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出结果．
详解】解：连接，设和交于点M，
由作图可知：垂直平分，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果．
7. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在点A，B的右侧圆弧上取一点C，连接AC，BC，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，求特殊角正弦值，掌握以上知识是解题的关键．
8. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为，小孔O到物体和实像的水平距离分别为，则实像的高度为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求得实像的高度．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∴=（相似三角形对应边上的高之比等于相似比），
∴，
∴，
∴实像的高度为，
故选：C．
【点睛】本题是相似三角形的应用，考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键．
9. 已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为
联立
解得：或
∴，
由，则，对称轴为直线，
设，则点在上，
∵且，
∴点在点的左侧，即，，
当时，
对于，当，，此时，
∴，
∴
∵对称轴为直线，则，
∴的取值范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．
10. 如图，正方形的边长为4，E为边一点，且，G为边上一点，连接，，相交于点F，若 ，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形的判定与性质，过作，根据，求出，根据及正方形对边平行得到，，即可得到答案；
【详解】解：过作，
∵正方形的边长为4，，，
∴，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，满分20 分）
11. 已知，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，由，变形即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键在于正确的运算．
12. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台长为，试计算主持人应走到离A点至少________处．（，结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金分割，设舞台靠近A点的黄金分割点为P，利用黄金分割比例为求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】解；设舞台靠近A点的黄金分割点为P，
则，
∴，
∴主持人应走到离A点至少处，
故答案为：．
13. 如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为______．
【答案】##20度
【解析】
【分析】连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
AI ，
点是的内心，
平分，
，
，
点是外接圆的圆心，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C 恰好落在双曲线 上，且点O在上，交x轴于点M，连接．
（1）当点C 坐标为时，B点的坐标为______（写出数值结果）；
（2）当平分时，正方形 的边长的值为____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）先求解，过C作轴于G，过B作轴于Q，证明，可得，，从而可得答案；
（2）设，同理可得：，求解直线为：，可得，求解，，如图，过M点作于H点，证明，可得，可得，而，求解,，从而可得答案．
【详解】解：（1）∵在上，
∴，即，
如图，过C作轴于G，过B作轴于Q，
∴，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）设，
同理可得：，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为：，
当时，则，
解得：，即，
∴，
，
如图，过M点作于H点，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理可得：，
∴，而，
∴,，
∴正方形面积为：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，反比例函数的应用，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，角平分线的性质，本题难度较大，属于压轴题．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，请你分别完成下面的作图．
（1）以O为位似中心，在第三象限内作出，使与 的位似比为；
（2）以O为旋转中心，将沿顺时针方向旋转得到．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查画位似图象、画旋转图形：
（1）利用位似图形的性质以及位似比得出对应点坐标画出图形即可；
（2）利用旋转的性质得出对应点、、的坐标进而得出答案．
【小问1详解】
解：即为所求三角形；
【小问2详解】
即为所求三角形
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
【详解】
，
，
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如果，且，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查代数式求值以及比例的性质．令，得到关于k的方程求出k值，进一步代入k值得到代数式的值．
【详解】解：令，
∴，，．
∵，
∴，
∴．
∴，，
∴．
18. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)写出它的开口方向、对称轴．
【答案】(1) y＝－ (x＋1)2＋2；(2)向下， x＝－1.
【解析】
【详解】试题分析：
（1）由二次函数的图象的顶点坐标为（-1，2）可设其解析式为：，再代入点B（1，-3）就可求出的值，从而得到此函数的解析式；
（2）根据（1）中所求得的这个二次函数的解析式可以知道其图象的开口方向和对称轴.
试题解析：
(1)设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2，
把点(1，－3)代入，得a＝－.
∴抛物线的解析式为y＝－ (x＋1)2＋2.
(2)由抛物线的解析式为：y＝－ (x＋1)2＋2，可知抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1.
点睛：（1）抛物线的开口方向是由二次函数表达式中“”的值确定的，当时，开口向上，当时，开口向下；（2）要求抛物线的顶点坐标或对称轴，就把抛物线的表达式化为“顶点式：”，则其顶点坐标为：，对称轴为直线：.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
【答案】（1）登山缆车上升的高度；
（2）从山底A处到达山顶处大约需要.
【解析】
【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；
（2）在中，求得的长，再计算得出答案．
【小问1详解】
解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
【小问2详解】
解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．
20. 如图，在四边形中，平分，．
（1）求证：；
（2）点E 是边的中点，连接，，且与交于点F，若 ，，求 的值．
【答案】（1）证明见详解；
（2）；
【解析】
【分析】（1）本题考查三角形相似判定与性质，根据平分得到，结合得到，即可得到答案；
（2）本题考查三角形相似判定与性质，证明，即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
小问2详解】
解：∵点E 是边的中点，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在 中，，以为直径的交 于点D，，垂足为点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若 ，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见详解；
（2）；
【解析】
【分析】（1）本题考查切线的证明，连接，根据得到，结合得到即可得到，从而得到，即可得到证明；
（2）本题考查求不规则图形的面积，等腰三角形的性质，根据等腰三角形性质求出及圆心角，根据直角三角形角所对直角边等于斜边一半求出半径，即可得到答案；
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，过作，
∵是的直径，
∴，
∵，， ，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理得，
，
解得：，
∴，
∴．
七、（本题满分12分）
22. 乒乓球被誉为中国国球，年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分，乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：），测得如下数据：
水平距离 0
竖直高度 0
（1）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________；
②求满足条件的抛物线解析式；
（2）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图②，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为，请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】22. ，
23. 厘米
【解析】
【分析】（1）本题考查二次函数的综合应用，根据表格数据的对称性得到对称点，即可得到顶点，根据找到对应点的点即可得到答案；
（2）本题考查二次函数的综合应用，先求出为高度时的解析式，设出刚好击中B处时的高度，根据平移得到平移后的解析式，根据水平交点列式求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：由表格可得，
当和时，，
∴，
∴当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是厘米，
由表格可得，
当时，，
当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是厘米，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由（1）得设原抛物线的解析式为：，
将点代入得，
，
解得：，
∴，
设乒乓球击中B点时的高度为，则平移了厘米，
，
由题意可得当时，，
，
解得：，
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度是厘米．
八、（本题满分14分）
23. 某校数学活动小组在一次活动中．对一个数学问题作如下探究．
【问题发现】
（1）如图①，在等边，中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接，求的长为______；
【问题提出】
（2）如图②，在等腰，中，，点 P 是边上任意一点，以为腰作等腰 ，使 ，，连接，求证：；
【问题解决】
（3）如图③，在正方形中，点P 是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接，若正方形的边长为，，求正方形的边长．
【答案】（1）2；（2）证明见详解；（3）；
【解析】
【分析】（1）本题考查手拉手问题，根据角度加减问题及相等边的问题得到直接证明即可得到答案；
（2）本题考查等腰三角形的性质及三角形相似的判定与性质，根据等腰三角形及得到，先证明，在证明即可得到答案；
（3）本题考查正方形的性质及三角形相似的判定与性质，连接，证明即可得到答案；
【详解】（1）解：∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵，分别是正方形、的对角线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长为，，
∴，
∴，
设，则，
在中，
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴正方形的边长为：．
