宁夏育才名校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（解析版）

2023-2024学年宁夏育才中学高二上学期1月期末数学试题
一、单选题
1．已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（ ）
A．圆心，半径 B．圆心，半径
C．圆心，半径 D．圆心，半径
2．一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．6
3．已知函数(，且），若，则
A． B． C． D．
4．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实轴长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（ ）
A． B． C．17 D．
7．已知与曲线相切，则a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．已知是双曲线的左、右焦点，焦距为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的左支交于，两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列求函数的导数正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆，则（ ）
A．圆可能过原点 B．圆心在直线上
C．圆与直线相切 D．圆被直线所截得的弦长为
11．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
B．若为上的动点，则的最小值为5
C．直线与抛物线相交所得弦长为8
D．抛物线与圆交于两点，则
12．已知等差数列的公差，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．过点且与直线垂直的直线方程是 .
14．已知等差数列中，，则数列的前8项和等于 .
15．双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，已知点为抛物线C：的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为，又点P为双曲线E上一点，满足.则:
（1）双曲线的标准方程为 ；
（2）的面积为 .
16．数列中的前n项和，数列的前n项和为，则＝ .
四、解答题
17．已知的三顶点坐标为，求
(1)的外接圆的方程;
(2)过点作圆的切线，求切线方程.
18．已知数列为等差数列，是各项为正的等比数列，的前n项和为，___________，且，.在①，②，③.
这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并解答下面的问题.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
19．已知数列满足，
(1)证明是等比数列，并求的通项公式
(2)若，求数列的前项和．
20．已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设是函数的导函数，求零点之间距离最小时a的值．
21．已知椭圆 的离心率为，是上一点，，，是的两个焦点，且．
求椭圆的方程；
设直线交椭圆于两点，为坐标原点，求面积的最大值．
22．已知抛物线上一点到焦点F的距离.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l与抛物C交于A，B两点（A，B异于点P），且，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
2023-2024学年宁夏育才中学高二上学期1月期末数学试题
一、单选题
1．已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（ ）
A．圆心，半径 B．圆心，半径
C．圆心，半径 D．圆心，半径
【答案】A
【分析】将圆的方程化为标准方程，从而可得圆心与半径.
【详解】由化为标准方程可得，
故圆心，半径.
故选:A.
2．一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．6
【答案】B
【分析】根据平均速度的定义有，结合已知函数模型求参数m即可.
【详解】由已知，得，
∴，解得，
故选：B．
3．已知函数(，且），若，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数表达式对函数求导，代入数值1，得到结果.
【详解】函数, ,即
故答案为A.
【点睛】这个题目考查了基本初等函数的求导公式的应用，属于基础题.
4．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实轴长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由已知渐近线方程可得，由焦点坐标可得，从而可求出实轴长.
【详解】解：由题意知，渐近线方程为，则，又焦点为，即，
所以，则，即或(舍去)，在实轴长为，
故选:A.
5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为的周长为8，
所以，
由椭圆的定义可知：
所以，
由题意可得：，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为．
故选：C
【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
6．等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（ ）
A． B． C．17 D．
【答案】A
【分析】利用等差中项公式、等比数列通项公式和等比数列求和公式即可解决.
【详解】因为，，成等差数列，
所以，即，
又因为等比数列的公比为，
所以上式化为，解得.
所以的前10项和为.
故选：A
7．已知与曲线相切，则a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意设出切点坐标，进而对函数求导，然后根据导数的几何意义求得答案.
【详解】由题意，设切点为，所以，，所以，所以，则.
故选：B.
8．已知是双曲线的左、右焦点，焦距为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的左支交于，两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的定义及其性质，可得AD，BD的长度，进而可以得出结果.
【详解】如图，
设与轴交于点，
由对称性的且，
∴，∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D
二、多选题
9．下列求函数的导数正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】分析函数的构成，利用基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导公式逐一判断即可．
【详解】对于A选项：，故A正确；
对于B选项：令，则，故B正确；
对于C选项：利用复合函数的求导公式得： ，故C不正确；
对于D选项：利用复合函数的求导公式得：，故D不正确．
故选：AB．
10．已知圆，则（ ）
A．圆可能过原点 B．圆心在直线上
C．圆与直线相切 D．圆被直线所截得的弦长为
【答案】AD
【分析】依据点与圆的位置关系即可判断A，把圆心代入直线方程看是否满足方程即可判断B，求出圆心到直线的距离即可判断C，利用弦长公式求得弦长即可判断D.
【详解】由圆知：圆心，半径，
对于A：把原点代入圆的方程得，
所以解得或，
所以当或时，圆过原点，故A正确；
对于B：把圆心代入得，
当时，，此时圆心不在直线上，故B不正确；
对于C：圆心到直线的距离：，
所以圆与直线相离，故C不正确；
对于D：圆心到直线的距离为：，
所以圆被直线所截得的弦长为：，故D正确.
故选：AD.
11．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
B．若为上的动点，则的最小值为5
C．直线与抛物线相交所得弦长为8
D．抛物线与圆交于两点，则
【答案】CD
【分析】利用直线与抛物线位置关系的知识判断选项A；利用抛物线的定义进行距离转化进而判断选项B；利用焦点弦公式计算并判断选项C；由抛物线方程设出点M坐标，利用M到圆心的距离等于半径求出M的坐标，就可以判断选项D.
【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以，
从而抛物线的方程是.过点可以作2条直线与抛物线相切，
而直线与抛物线相交，只有1个交点，从而过点恰有3条直线与抛物线有且只有一个公共点，故A不正确；
抛物线的准线方程是，设T到准线的距离为，则；
过P作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义知，所以，所以的最小值为4，故B不正确；
抛物线的焦点为，直线过焦点，
不妨设直线与抛物线的两个交点分别是，，
则，又得，则，
所以，故C正确；
抛物线与圆交于两点，则关于轴对称.
设(t>0)，则，解得，所以，故D正确；
故选：CD
12．已知等差数列的公差，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】利用等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式求解.
【详解】由题可得，所以，
所以，
所以，A错误；
，B正确；
若，，C错误；
若，，
所以，D正确，
故选:BD.
三、填空题
13．过点且与直线垂直的直线方程是 .
【答案】．
【分析】根据垂直关系设出方程，代入点的坐标可得答案.
【详解】因为所求直线与直线垂直，所以设所求直线方程为，
代入点可得，所以所求直线为.
故答案为：
14．已知等差数列中，，则数列的前8项和等于 .
【答案】72
【分析】利用等差数列的求和公式可得答案.
【详解】因为，
故答案为：72
15．双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，已知点为抛物线C：的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为，又点P为双曲线E上一点，满足.则:
（1）双曲线的标准方程为 ；
（2）的面积为 .
【答案】
【分析】（1）根据抛物线方程可求得焦点坐标，由到其双曲线的渐近线的距离可求得b，再由双曲线中的关系即可求得双曲线方程；
（2）在中运用余弦定理及三角形面积公式可得结果.
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，抛物线的焦点，
又到渐近线的距离为，即，所以，
则双曲线的标准方程为.
（2）设点P为双曲线E右支上一点，，则，，
在中，，，解得，
所以，， ，
故答案为：（1），（2）.
16．数列中的前n项和，数列的前n项和为，则＝ .
【答案】192
【分析】利用的关系求出，进而可得，然后结合等差数列的求和公式求即可.
【详解】当时，，
当时，，
经检验不满足上式，所以，
设，则，
所以.
故答案为：192.
四、解答题
17．已知的三顶点坐标为，求
(1)的外接圆的方程;
(2)过点作圆的切线，求切线方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）设外接圆的一般方程为，代入点坐标，待定系数即得解；
（2）分不存在，存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可.
【详解】（1）不妨设外接圆的一般方程为
故
解得：
即的外接圆的方程为：
（2）由题意，
故圆心为，半径，
若切线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，成立，故为圆C的切线；
若切线的斜率存在，不妨设切线为：，
圆心到直线的距离：，解得
故切线方程为：
综上，过点的圆的切线方程为： 或
18．已知数列为等差数列，是各项为正的等比数列，的前n项和为，___________，且，.在①，②，③.
这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并解答下面的问题.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）选条件①，由基本量法求得，由等差数列通项公式得，由求得，利用得的递推关系，从而得等比数列的公比，得通项公式；
选条件②.由基本量法求得公差，得，根据与的关系，把已知等式变形，然后由基本量法求得公比，得通项公式；
选条件③. 由基本量法求得，由等差数列通项公式得，由求得，从而可得；
（2）用分组求和法计算．
【详解】（1）方案一：选条件①.
设等差数列的公差为，
由，解得，所以.
因为，，所以当时，
由，得，即，所以.
当时，，整理得，
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
所以.
方案二：选条件②.
设等差数列的公差为，由，解得，
所以，所以.
设等比数列的公比为，因为，
所以，
又，，所以，解得或（舍去），
所以.
方案三：选条件③.
设等差数列的公差为，由，解得，
所以.
因为，，，
所以当时，，即，解得，
所以.
（2）由（1）知，，则，
所以
19．已知数列满足，
(1)证明是等比数列，并求的通项公式
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）首先由已知构造得，从而能证明是等比数列.并能求出的通项公式.
（2）由.利用错位相减法能求出数列的前项.
【详解】（1）∵数列满足，，
∴，
又，
∴是首项为，公比为3的等比数列.
∴，
∴的通项公式.
（2）.
∴数列的前项和：
，①
，②
①-②，得：
，
∴.
20．已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设是函数的导函数，求零点之间距离最小时a的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，求出切点，求导得，，点斜式即可写出切线方程；
（2），有两个零点，分别设为，
利用根与系数的关系可得，，代入
即可求解.
【详解】（1）当时，，可得，所以切点为，
因为，所以，
所以在处的切线方程为：，
即，
（2），
因为，
所以函数有两个零点，分别设为，
则，，
所以，
所以当时，函数零点之间距离最小为.
【点睛】方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：
（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
21．已知椭圆 的离心率为，是上一点，，，是的两个焦点，且．
求椭圆的方程；
设直线交椭圆于两点，为坐标原点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】利用椭圆的离心率与椭圆的定义，解得，可得的值，即可求出椭圆方程；设，，将直线代入椭圆的方程整理得，通过，以及韦达定理，结合弦长公式，求解三角形的面积表达式，利用基本不等式求解最值即可．
【详解】，
，即，
，
，
，
即椭圆方程为．
设，，
将代入椭圆C的方程整理得，
，，
，，
，
点O到直线AB的距离，
，
当且仅当即时取等号，
面积的最大值为．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于中档题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
22．已知抛物线上一点到焦点F的距离.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l与抛物C交于A，B两点（A，B异于点P），且，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点
【解析】（1）根据抛物线定义以及点在抛物线上列方程组解得，，即得结果；
（2）先根据坐标化简得，再设直线方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理解得，即可判断定点坐标.
【详解】（1）由题可得：，解得，，
抛物线的方程为.
（2）设直线l的方程为，，
联立，消x得：，，
，，
，同理，
又，，，
直线l的方程为：，过定点.
【点睛】本题考查抛物线方程以及直线过定点问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
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