2024年1月柯桥区初三学生检测模拟卷
数学试卷（B卷）
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 已知，那么可化简为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在中，，，平分，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知实数，且满足，则的值为（ ）
A. 23 B. C. D.
4. 在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（ ）个．
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 对于每个自变量x，y是 两个值中的最小值，则当时，函数y的最小值与最大值的和是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ）
A. B. C. 1 D.
7. 若数a使关于x分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A 10 B. 15 C. 18 D. 23
8. 已知的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，其中最长边a满，若从这样的三角形中任取一个，则它是直角三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，中，点在上，，，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在□ABCD中，AB＝2BC，BEAD于E，F为CD中点，设，，则下面结论成立的是（ ）
A B. C. D.
二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 若正数a，b，c满足abc1，，则______．
12. 如图，在 ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点．连接MF，则△AOE与△BMF的面积比为________．
13. 记，则与M最接近的整数为 _______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 _______．
15. 在平面直角坐标系xOy中有两点A，B，若在y轴上有一点P，连接PA，PB，当∠APB＝45°时，则称点P为线段AB关于y轴的“半直点”．例：如图，点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2），则点P（O，1）就是线段AB关于y轴的一个“半直点”，线段AB关于y轴的另外的“半直点”的坐标为 _____；若点C（3，3），点D（6，﹣1），则线段CD关于y轴的“半直点”的坐标为 _____．
16. 如图，在中，，，图中用实线表示的线段与斜边垂直，用虚线表示的线段都与直角边垂直，按照这一规律一直画下去，就会有无数条实线线段，则图中这无数条实线线段的和：__________．
三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
17. 若，求值．
18. 如图，矩形四个顶点E、F、G、H分别在平行四边形的四条边、、、上．
（1）求证：；
（2）若四边形为菱形，E为的中点，，求．
19. 已知a，b，c为正整数，二次函数．
（1）若，，且直线 与二次函数的图象及二次函数的图象均相切，求b，c的值；
（2）当x取遍到1的所有实数时，y也恰好取遍到7的所有实数值，求二次函数的解析式．
20. 如图，在中，，，点、分别在线段、上运动，并保持
（1）当是等腰三角形时，求的长；
（2）当时，求长．
21. 如图1，是平行四边形的一条对角线，且，的外接圆⊙O与边交于点E，连结．
（1）若，的面积为，求的半径．
（2）如图2，过点作于，直线与直线交于点，若时，求的值．．2024年1月柯桥区初三学生检测模拟卷
数学试卷（B卷）
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 已知，那么可化简为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次根式的性质和绝对值的定义化简．
【详解】解：∵a＜0
∴
∴=|-3a|=-3a．
故选C．
【点睛】本题考查根据二次根式的意义化简．解题关键是要判断绝对值符号和根号下代数式的正负再去掉符号．
2. 如图，在中，，，平分，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由角平分线的定义可得，再根据锐角三角函数可得，，从而得到，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，锐角三角函数，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
3. 已知实数，且满足，则的值为（ ）
A. 23 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得是方程即的两个根，根据根与系数的关系可得，整理可得，，即得，，然后把所求的式子变形后整体代入即可求解.
【详解】解：∵，且满足，
∴是方程即的两个根，
∴，
整理，得，，
∴，，
∴；
故选：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，由题意得出，，是解题的关键．
4. 在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（ ）个．
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解.
【详解】如图，最多能画出个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题的难点在于确定出不同的对称轴.
5. 对于每个自变量x，y是 两个值中的最小值，则当时，函数y的最小值与最大值的和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：当时，x=-1或x=2，所以当时，y=x+1，此时y的最小值是-2，最大值是0；当时，y=，此时y的最小值是-1，最大值是3；所以当时，函数y的最小值与最大值的和=-2+3=1，故选B.
考点：1.一次函数的图象及性质2.二次函数的图像及性质3.函数与不等式.
6. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由翻折得，，垂直平分，可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，则，即可根据勾股定理求出，再由，且得，则，由，求得,即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是边长为的正方形，
∴，，
∴，
由翻折得，，垂直平分，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得，
故选：．
【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据面积等式求线段的长度等知识和方法，正确求出和的长度是解题的关键．
7. 若数a使关于x分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A. 10 B. 15 C. 18 D. 23
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式方程的解为正数可得且，再根据不等式组的解集为可得，找出且中所有的整数即可求解．
【详解】解：∵分式方程的解为且，
∵关于的分式方程的解为正数，
且，
且，
∵不等式组整理得：，
∵关于y的不等式组的解集为，
，
且，
∴符合条件的所有整数为、、、、、、，
∴它们的和为，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解和一元一次不等式组，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集确定a的取值范围是解题的关键．
8. 已知的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，其中最长边a满，若从这样的三角形中任取一个，则它是直角三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先根据题意找到满足条件的三角形个数，再找到其中是直角三角形的个数，然后根据概率公式即可求解．
【详解】解：∵的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，
∴或或或或或或或或或或或，一共12种情况，
∵是直角三角形的有，只有1种情况，
∴从这样的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率是．
故选：A．
9. 如图，中，点在上，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中列出关于的方程并求的值是解题的关键．通过证明，可得，根据勾股定理即可求得的值，即可解题．
【详解】解：如图，作平分线，
设，则，
，
，
，
，
又，
，
．
，
，
，
．
．
故选：C．
10. 如图，在□ABCD中，AB＝2BC，BEAD于E，F为CD中点，设，，则下面结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：过F作BC平行线交AB于Q；连接BF，
所以∠DEF=∠EFQ,F为CD中点，所以FQ与BE交点也为BE中点,且FQ垂直BE，所以QF为BE垂直平分线，所以EF=BF，所以∠EFQ=∠BFQ，又BC||FQ，所以∠BFQ=∠FBC，又AB=2BC，所以CF=BC，所以∠FBC=∠BFC，所以∠EFC=∠EFQ+∠QFB+∠BFC=3α=β，故选C.
考点：1.平行四边形的判定与性质2.中位线定理3.线段的垂直平分线的性质.
二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 若正数a，b，c满足abc1，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】计算，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出，，代入计算即可．
【详解】解：解法一：因为
所以，
解得．
故答案为：．
解法二：由，得，
因此，．
由此可得，．
所以
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，注意运用整体思想求解．
12. 如图，在 ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点．连接MF，则△AOE与△BMF的面积比为________．
【答案】3∶4
【解析】
【分析】设AB=AC=m，根据平行四边形性质可得OA=OC=AC=m，继而根据已知解三角形求得FC=m，通过证明△AOE≌△COF，求得AE=FC=m，从而求得S△AOE=m2，作AN⊥BC于N，求得BC=m，继而求得BF=BC﹣FC=m﹣m=m，然后作MH⊥BC于H，分点M为靠近点B的三等分点和靠近点A的三等分点两种情况求出S△BMF的值即可求得答案.
【详解】设AB=AC=m，
∵O是两条对角线的交点，∴OA=OC=AC=m，
∵∠B=30°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=30°，
∵EF⊥AC，∴cos∠ACB= ，即cos30°=，∴FC=m，
∵AE∥FC，∴∠EAC=∠FCA，又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=FC=m，
∴OE=AE=m，∴S△AOE=OA OE=×m×m=m2，
作AN⊥BC于N，
∵AB=AC，∴BN=CN=BC，∵BN=AB=m，∴BC=m，
∴BF=BC﹣FC=m﹣m=m，
作MH⊥BC于H，如图1（点M为靠近点B的AB的三等分点），则BM=m，
∵∠B=30°，∴MH=BM=m，∴S△BMF=BF MH=×m×m=m2，
∴ ，
如图2（点M为靠近点AAB的三等分点），则BM=m，
∵∠B=30°，∴MH=BM=m，∴S△BMF=BF MH=×m×m=m2，
∴ ，
故答案为或.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形的应用等知识，综合性较强，有一定的难度，正确地添加辅助线是解题的关键.本题运用了分类讨论思想.
13. 记，则与M最接近的整数为 _______．
【答案】49
【解析】
【分析】本题主要考查数字的变化规律，将原式利用平方差公式进行变形，再利用裂项相消化简后即可得出结论．
【详解】
，
，
∴，
∴，
∴，
故与最接近的整数是49，
故答案为：49．
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】解：本题考查了反比例函数的图象与菱形的综合问题，涉及三角形的面积、中线的性质、反比例函数的几何意义等知识，先表示出直线表达式，由中线的性质和反比例函数的表达式即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键．
详解】解：如图，连接，延长交y轴于点F，
∵点是菱形对角线的中点，
∴点三点共线．轴
设点，则，
故直线
故直线
点是的中点，
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系xOy中有两点A，B，若在y轴上有一点P，连接PA，PB，当∠APB＝45°时，则称点P为线段AB关于y轴的“半直点”．例：如图，点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2），则点P（O，1）就是线段AB关于y轴的一个“半直点”，线段AB关于y轴的另外的“半直点”的坐标为 _____；若点C（3，3），点D（6，﹣1），则线段CD关于y轴的“半直点”的坐标为 _____．
【答案】 ①. （0，-2）； ②. （0，）和（0，）
【解析】
【分析】（1）过点B作BQ⊥y轴，证得四边形ABQP是正方形，得到∠AQB=45°，线段AB关于y轴的另外的“半直点”是点Q，求其坐标即可；
（2）以CD为斜边作等腰直角△CMD，以点M为圆心，MC为半径作圆M，交y轴于点E、F，作GH∥y轴，分别过点C、D作CG⊥GH，DH⊥DH，先证△CGM≌△MHD，求得点M坐标，从而得出线段CD关于y轴的“半直点”即为点E、F，再求坐标即可．
【详解】解：①如图1，过点B作BQ⊥y轴，连接AQ，
图1
∵A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2），P（O，1）
∴AB=AP=3，∠PAB=90°，
由题意可得∠APQ=∠BQP=90°，
∴四边形ABQP是矩形，
∵AB=AP，
∴四边形ABQP是正方形，
∴∠AQB=45°，
∴线段AB关于y轴的另外的“半直点”是点Q，其坐标为（0，-2）；
②如图2，以CD为斜边作等腰直角△CMD，以点M为圆心，MC为半径作圆M，交y轴于点E、F，作GH∥y轴，分别过点C、D作CG⊥GH，DH⊥DH，
图2
设M（m，n）则CG=3-m，MH=n+1，GM=3-n，HD=6-m，
∵点C（3，3），点D（6，﹣1），
∴，
∵△CMD是等腰直角三角形，
∴MC=MD=，∠CMD=90°，
∴∠GMC+∠DMH=90°，
∵CG⊥GH，DH⊥GH，
∴∠CGM=∠MHD=90°，
∴∠GMC+∠GCM=90°，
∴∠GCM=∠MDH，
∴△CGM≌△MHD，
∴CG=MH，GM=DH，
∴，解得：
∴，
如图3，连接CE、DE，CF、DF，
图3
则∠CED=∠CFD=∠CMD =45°
∴则线段CD关于y轴的“半直点”即为点E、F，
设点E（0，t），
∵ME=MD=，
∴
解得：
E（0，），F（0，）
故答案为：（0，-2）；（0，）和（0，）
【点睛】此题是新定义问题，主要考查了圆周角定理，勾股定理，两点间的距离公式，全等三角形的判定及性质，理解新定义是解本题的关键．
16. 如图，在中，，，图中用实线表示的线段与斜边垂直，用虚线表示的线段都与直角边垂直，按照这一规律一直画下去，就会有无数条实线线段，则图中这无数条实线线段的和：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，同时掌握同角的余角相等，平行线的判定与性质．先根据求出的值，然后根据已知条件证得，从而求得，同理可得，，，，，，最后即可求出答案．
【详解】解：在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
即，
，
同理，，，，，，
．
．．．
，
故答案为：．
三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
17. 若，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是整式乘法运算及二次根式混合运算，熟练应用乘法法则是解题关键，将所求代数式化为形式，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴， ，
∴，
则原式
．
18. 如图，矩形四个顶点E、F、G、H分别在平行四边形的四条边、、、上．
（1）求证：；
（2）若四边形为菱形，E为的中点，，求．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由四边形是平行四边形，得，，则，由四边形是矩形，得，，则，，即可推导出，，所以，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）延长、交于点，作于点，先证明，设，，则，，所以，，再证明，得，可推导出，则，得，由勾股定理得，则．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【小问2详解】
解：延长、交于点，作于点，则，
，
，
四边形是菱形，
，
为的中点，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
设，，则，，
，，
，，
，
，
，
，
，
整理得，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19. 已知a，b，c为正整数，二次函数．
（1）若，，且直线 与二次函数的图象及二次函数的图象均相切，求b，c的值；
（2）当x取遍到1的所有实数时，y也恰好取遍到7的所有实数值，求二次函数的解析式．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质的综合应用，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，本题难度极大．
（1）根据直线与二次函数的图象及二次函数的图象均相切将直线解析式分别与两个二次函数解析式联立，利用△即可求出，的值；
（2）对、的取值进行分类讨论，根据取遍到1的所有实数时，也恰好取遍到7的所有实数值即可求出二次函数的解析式．
【小问1详解】
，，
，
直线与二次函数和的图象均相切，
由得，
，
，
由得，
，
，
，
解得或，
又且、、为正整数，
，
的值为1，的值为3；
【小问2详解】
，，
该二次函数开口向上，
①若，即时，
，
，
（此时、不能同为整数，无解）；
②若，即，
将代入得，
，
，
，
，
，
只可取1，2，3，
当，不为整数，舍去，
当，，，可取，
当，不为整数，舍去，
③若，即，
此时，
将代入得，
又，
，
，
可取1，2，3，
当，不为整数，舍去，
当，时无解，
综上所述，只有当，，可取，
二次函数的解析式为．
20. 如图，在中，，，点、分别在线段、上运动，并保持
（1）当是等腰三角形时，求的长；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）或2或1
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，得到啊，，是等腰三角形分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案；
（2）取的中点，连接，根据等腰直角三角形的性质，得到，，进而得到，，再利用勾股定理，求出，然后证明，利用对应边成比例，即可求出．
【小问1详解】
解：在中，，，
，
由勾股定理得：，
①如图1，当时，是等腰三角形，此时，点、分别与点、重合，
；
②如图2，当时，是等腰三角形，此时，，
，，
，即是等腰三角形，
，
点是的中点，
；
③如图3，当时，是等腰三角形，
，且，
，
在和中，
，
，
，，
，
综上可知，当是等腰三角形时，的长为或2或1；
【小问2详解】
解：取的中点，连接，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
在中，，
由（1）③可知，，
又，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题关键．
21. 如图1，是平行四边形的一条对角线，且，的外接圆⊙O与边交于点E，连结．
（1）若，的面积为，求的半径．
（2）如图2，过点作于，直线与直线交于点，若时，求的值．．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，设，根据题意易得是的垂直平分线，从而可得，进而在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而利用勾股定理求出，再利用等腰三角形和平行四边形的性质可得，，，，然后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义可得，从而可得，再证明，从而利用相似三角形的性质可求出，的长，进而求出的长，再根据的面积为，列出关于的方程，进行计算可求出，的长，最后设的半径为，在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设，，则，利用平行四边形的性质可得，，，从而可得，进而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进而计算可得，再证明，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【小问1详解】
连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，
设，
，，
是的垂直平分线，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的面积为，
，
，
解得：或（舍去），
，，
设的半径为，
在中，，
，
解得：，
的半径为5；
【小问2详解】
连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
设，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
，，
，
，
，
的值为．
