2024年江西省中考数学一模备考练习卷（解析版）
单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 比大1的数是（ ）
A．1 B． C． D．1
【答案】B
【分析】直接根据有理数加法运算即可．
【详解】解：
故选：B．
2. 故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达平方米，
在世界宫殿建筑群中面最大．请将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，
这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【详解】解：将用科学记数法表示应为，故B正确．
故选：B．
3. 如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
【答案】B
【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵EC平分∠AED，
∴∠AEC=∠CED=∠1，
∵∠1=65°，
∴∠CED =∠1=65°，
∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°．
故选：B．
某校男子足球队的年龄分布如图所示，
则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（ ）
A．15.5，15.5 B．15.5，15 C．15，15.5 D．15，15
【答案】D
【详解】根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：
=15岁，
该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22人，
则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁，
故选：D．
5.已知点A（1﹣2x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：根据题意，得： ，
解不等式①，得：x＞，
解不等式②，得：x＞1，
∴不等式组的解集为x＞1，
故选：B．
6 . 二次函数的图象如图所示，
则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
直线经过第一，二，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，
∴A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，
那么小球最终停留在黑色区域的概率是______．
【答案】
【分析】先计算黑色区域的面积，根据黑色方砖占总方砖的比例可得出概念．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖有块，共有块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
8 .若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 .
【答案】且
【分析】根据根的判别式即可列不等式，计算即可解答，注意．
【详解】由题意可得：，
∴且．
故答案为：且．
9. 如图，半径为3的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，
则为 ．
【答案】
【分析】连接CD，根据90°圆周角所对的弦是圆的直径，确定CD，根据勾股定理计算DO，根据同弧上的圆周角相等，计算tan∠ODC即可
【详解】如图，连接CD，
∵∠DOC=90°，
∴CD是圆A的直径，
∵半径为3的经过原点和点，
∴CD=6，OC=2，
∴DO==，
∴tan∠ODC==,
∵∠ODC=∠OBC，
∴tan∠OBC=,
故答案为：．
10. 使分式与的值相等的x的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意得到方程，解出即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为，
即使分式与的值相等的x的值为9．
故答案为：9．
11 .某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．
图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．
小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．
【答案】210．
【分析】根据函数图象中的数据可以求得时，对应的函数解析式，从而可以求得时对应的函数值，由的的图象可以求得时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．
【详解】设当时，对应的函数解析式为，
，得，
即当时，对应的函数解析式为，
当时，，
由图象可知，去年的水价是（元/），故小雨家去年用水量为150，
需要缴费：（元），
（元），
即小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为210．
数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，
其中，且，则矩形的面积为______
【答案】80
【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，
根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，负值舍去，
∴，，
∴矩形的面积．
故答案为：80
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）计算：．
（2）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）依据题意，根据实数的性质进行化简计算即可得解．
（2）依据题意，由平行四边形的性质可得，再由正方形的性质可得，最后由等式的性质可以得解．
【详解】解：（1）原式
．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
即．
14. 解分式方程：．
【答案】
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，求出未知数的值，再进行检验，
从而确定原方程的解即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
解此方程，得，
经检验，是原分式方程的根．
方程的解为．
15 .四张卡片上分别有2022年北京冬奥会会徽、志愿者标志、吉祥物冰墩墩、雪容融图案，
它们形状、大小、背面完全一样，现把四张卡片背面朝上打乱放在桌面上.
(1)小志同学从中抽取一张是冬奥会会徽卡片是 事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；
(2)小志同学从中一次性抽取两张卡片，请你用列表法或画树状图法表示出这次抽取所有可能的结果，
并求出正好是两张吉祥物图案的概率.
【答案】(1)随机
(2)
【分析】（1）先表示出从中抽取一张是会徽卡片的概率，再判断从中抽取一张是会徽卡片的是随机事件；
（2）画树状图表示出所有等可能的结果数，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）共有4张卡片，从中抽取一张是会徽卡片的概率是，
从中抽取一张是会徽卡片的是随机事件，
故答案为：随机；
用A表示北京冬奥会会徽，B表示志愿者徽标，C表示吉祥物冰墩墩，D表示雪容融图案，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是两张吉祥物图案的有2种，
(两张吉祥物图案)．
16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作角平分线；
（2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．
【答案】（1）作图见解析部分
（2）作图见解析部分
【解析】
【分析】（1）连接，，与交于点，作射线即可；
（2）取格点，过点和点作直线即可．
【小问1详解】
解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位，
∵线段和是矩形的两条对角线且交于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴平分，
∴射线即为所作；
【小问2详解】
如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位，
∴，，
，，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，且，
∴直线即为所作．
17 .如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，
与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点是线段的中点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出时自变量的取值范围．
【答案】(1)；
(2)6
(3)或者
【分析】（1）将代入，即可求出反比例函数解析式；根据点为的中点，
点横坐标为0，点纵坐标为0，点，求出点坐标为，再利用待定系数法即可作答；
（2）联立，求出的坐标． 再利用即可作答；
（3）根据图象，数形结合即可作答．
【详解】（1）将代入，
得：，
解得，
即反比例函数解析式为：；
∵点为的中点，点横坐标为0，点纵坐标为0，点，
∴点坐标为，
将、代入一次函数，
得：，
解得：，
即一次函数解析式为：；
（2）∵，
∴，
联立，
解得，，
即的坐标．
又∵，
则的面积是，
即所求面积为6；
（3）时自变量的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，如图，
结合图象可得：或者．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.根据市场需求，某书城准备购进甲、乙两种青少年喜欢的读本进行销售，它们的进价和售价如下表．
读本 进价（元/本） 售价（元/本）
甲 30 45
乙 20 30
现计划用不超过1850元购进这两种读本共80本，并将这80本读本全部售完，
设购进甲种读本x本，这两种读本的总利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式．
(2)该书城如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)y＝5x+800；
(2)甲种读本购进25本，乙种读本进55本才能获得最大利润，最大利润为1025元．
【分析】（1）设甲种读本购进x本，则乙种读本进（80﹣x）本，即可求出总利润y的表达式，
（2）根据购进这80本读本的费用不得超过1850元，列出不等式，求x的范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解设购进甲种读本x本，则乙种读本（80﹣x）本，总利润为y元，
y＝（45﹣30）x+（30﹣20）（80﹣x），
即y＝5x+800；
（2）∵计划用不超过1850元购进这两种读本共80本，
∴30x+20（80﹣x）≤1850，
解得x≤25，
∵k＝5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝25时，y有最大值，y最大＝5×25+800＝1025（元），
80﹣25＝55（本），
答：甲种读本购进25本，乙种读本进55本才能获得最大利润，最大利润为1025元．
19 .如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm，∠E=60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）的长度为；（2）的长度为18.9cm
【分析】（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°=，求出CD的长．
（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO=AO，再代入数计算即可得到答案．
【详解】解：（1）在中，，
答：的长度为；
（2）设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO=（+x）厘米，AO=（154+x）厘米，
∵∠A=30°，
∴CO=AO，
+x=（154+x），
解得：x=154-78≈154-135.096≈18.9cm．
答：的长度为18.9cm．
20. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线；
（2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径，即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，，
∵在中，，
∴，
解得，
即的半径为3．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 目前人们的支付方式日益增多，主要有：
A．微信 B．支付宝 C．信用卡 D．现金
某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)本次一共调查了 名消费者；
(2)补全条形统计图，在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 ；
(3)该超市本周内约有2000名消费者，估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和．
【答案】(1)200
(2)图形见解析；36
(3)1480
【分析】（1）用B的人数除以所占百分比就能求出一共调查的消费者人数；
（2）消费者人数乘以A所占的百分比，求出A的人数；消费者总人数减去A，B，C的人数，就得到D的人数；周角乘以D占的比例就得到D种支付方式所对应的圆心角；
（3）用总人数乘以对应的百分比求解即可．
【详解】（1）解：本次调查的总人数为（名），
故答案为：200；
（2）解：A支付方式的人数为（名），
D支付方式的人数为（名），
补全图形如下：
在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 ，
故答案为：36；
（3）解： （名），
答：估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和为1480名．
22 . 综合与探究
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长．
【答案】(1)
(2)．证明见解析
(3)．
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）通过证明，利用相似三角形的性质，即可求解；
（3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设与相交于点，如图，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：．
证明：∵，
∴．
在矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点．
∴四边形是矩形．
∵，，
∴．
∴．
由（2）知，
∴．
在中，，
∵
∴，
∴，
即，
解得．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图，抛物线与x轴交于A（2，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）D(1，2)；（3）存在，或．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）求点的坐标，根据待定系数法求出的解析式，设点D的横坐标为m，则点D(，)，则点F（，），则，根据二次函数性质求解即可；
（3）点D(，)()，则，，以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，分两种情况：①当时两三角形相似；②当时两三角形相似，求解即可．
【详解】解：（1）因为过点A（2，0）、B（-1，0），
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）对于，令，则，故点C(0，2)，
设直线AC的解析式为，由直线过点A、C的坐标得，
解得
直线AC的表达式为：，
设点D的横坐标为m，则点D(，)，则点F（，），
则，
∵，故DF有最大值，
此时，点D(1，2)；
（3）存在，理由：
点D(，)()，则，，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
①当时两三角形相似，即
则解得：或（舍去）
经检验，是原分式方程的解，
②当时两三角形相似，即
则解得：或（舍去）
经检验，是分式方程的解，
故或．2024年江西省中考数学一模备考练习卷
单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 比大1的数是（ ）
A．1 B． C． D．1
2. 故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达平方米，
在世界宫殿建筑群中面最大．请将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3. 如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
某校男子足球队的年龄分布如图所示，
则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（ ）
A．15.5，15.5 B．15.5，15 C．15，15.5 D．15，15
5.已知点A（1﹣2x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6 . 二次函数的图象如图所示，
则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
B． C． D．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，
那么小球最终停留在黑色区域的概率是______．
8 .若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 .
9. 如图，半径为3的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，
则为 ．
10. 使分式与的值相等的x的值为 ．
11 .某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．
图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．
小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．
数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，
其中，且，则矩形的面积为______
解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
（1）计算：．
（2）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形求证：．
14. 解分式方程：．
15 .四张卡片上分别有2022年北京冬奥会会徽、志愿者标志、吉祥物冰墩墩、雪容融图案，
它们形状、大小、背面完全一样，现把四张卡片背面朝上打乱放在桌面上.
(1)小志同学从中抽取一张是冬奥会会徽卡片是 事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；
(2)小志同学从中一次性抽取两张卡片，请你用列表法或画树状图法表示出这次抽取所有可能的结果，
并求出正好是两张吉祥物图案的概率.
16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作角平分线；
（2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．
17 .如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，
与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点是线段的中点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出时自变量的取值范围．
解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.根据市场需求，某书城准备购进甲、乙两种青少年喜欢的读本进行销售，它们的进价和售价如下表．
读本 进价（元/本） 售价（元/本）
甲 30 45
乙 20 30
现计划用不超过1850元购进这两种读本共80本，并将这80本读本全部售完，
设购进甲种读本x本，这两种读本的总利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式．
(2)该书城如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
19 .如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm，∠E=60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
20. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，求的半径．
解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 目前人们的支付方式日益增多，主要有：
A．微信 B．支付宝 C．信用卡 D．现金
某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)本次一共调查了 名消费者；
(2)补全条形统计图，在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 ；
(3)该超市本周内约有2000名消费者，估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和．
22 . 综合与探究
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长．
解答题（本大题共12分）
23. 如图，抛物线与x轴交于A（2，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C，
连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？
若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
