高二数学
注意事项：
1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.
3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
2. 设空间向量，，若，则实数k的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 10
3. 已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（ ）
A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交且不垂直
4. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（ ）
A B. C. D.
6. 有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ）
A. 240 B. 360 C. 480 D. 720
7. 若圆与圆相交，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知二面角的度数大小为，在与的交线上取线段，且分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，且，，则的长为（ ）
A. 6 B. 10 C. D.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线，点，则（ ）
A. 过点A与l平行的直线的方程为
B. 点A关于对称的点的坐标为
C. 点A到直线l距离为
D. 过点A与l垂直的直线的方程为
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（ ）
A. A与D相互独立. B. A与B相互独立
C. B与D相互独立 D. A与C相互独立
12. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（ ）
A. 的周长为6 B. A，，三点共线
C. A，两点间的最短距离为2 D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.
13. 展开式中的常数项为______．
14. 针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为，，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为______.
15. 已知抛物线，F为抛物线焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为______.
16. 在直三棱柱中，，，平面经过点A，且直线与平面所成的角为30°，过点作平面的垂线，垂足为H，则点到平面的距离为______，直线与BH所成角的范围为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17. 如图，在棱长为1的正方体中，点E是的中点
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角正弦值.
18. 如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点
（1）求C的方程；
（2）求的面积.
19. 现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个.
（1）求这个零件是次品的概率；
（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.
20. 已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为.
（1）求的离心率及其渐近线方程；
（2）设点是双曲线C右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：.
21. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面平面，，，M是棱PC上点，且，.
（1）求证：平面PAD；
（2）设二面角的大小为，若，求的值.
22. 如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段CH的垂直平分线交线段TC于点R，记动点R的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值.高二数学
注意事项：
1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.
3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】先根据组合数的性质将其化简，再运用组合数计算公式即得.
【详解】由.
故选：C项.
2. 设空间向量，，若，则实数k的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示求解．
【详解】由题意，解得．
故选：A．
3. 已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（ ）
A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交且不垂直
【答案】B
【解析】
【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．
【详解】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．
故选：B．
4. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，利用空间向量的线性运算即得.
【详解】在平行六面体中，
因为，，，点在上，且，所以.
故选：A
5. 月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据题意求得椭圆和圆的方程后，解出关键点的坐标，再求面积即可.
【详解】由题意得，半圆的方程为，在半椭圆中，则，
故半椭圆方程为，将代入半椭圆，解得，
将代入半圆，解得，故，
然，
故选：D
6. 有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ）
A. 240 B. 360 C. 480 D. 720
【答案】B
【解析】
【分析】先按人数分组，再分配到三个学校可得．
【详解】选按人数3，2，1分成3组再分配到三个学校，
不同的分法种数为．
故选：B．
7. 若圆与圆相交，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆心距离与两圆半径关系求解．
【详解】由已知，，两圆半径分别为，，
而两圆相交，则，解得．
故选：D．
8. 如图，已知二面角的度数大小为，在与的交线上取线段，且分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，且，，则的长为（ ）
A. 6 B. 10 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用，将其两边同时平方即可求，再开方即可求解.
【详解】由图得：，
又由题意知：，
所以
，
所以，
所以的长为，
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线，点，则（ ）
A. 过点A与l平行的直线的方程为
B. 点A关于对称的点的坐标为
C. 点A到直线l的距离为
D. 过点A与l垂直的直线的方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由平行垂直求出直线方程判断AD，写出对称点坐标判断B，由得点到直线距离判断C．
【详解】与直线平行的直线方程可设为，代入点坐标得，即，即平行线方程为，A正确；
关于的对称点坐标为，B错；
到直线的距离为，C正确；
与直线垂直的直线方程可设为，代入点坐标得，，直线方程即为，D正确．
故选：ACD．
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合赋值法逐项计算判断即得.
【详解】令，
对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，B错误；
对于C，由，得，因此，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC
11. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（ ）
A. A与D相互独立. B. A与B相互独立
C. B与D相互独立 D. A与C相互独立
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概念进行判定.
【详解】不放回依次取出两个，基本事件有，
共种，
事件“”；
事件“”；
事件“”；
事件“”.
事件，事件“”，
事件“”， 事件“”，
则，，，
，，，，
所以，所以A与D不相互独立；
，所以A与B相互独立；
，所以B与D相互独立；
，所以A与C相互独立；
故选：BCD
12. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（ ）
A. 的周长为6 B. A，，三点共线
C. A，两点间的最短距离为2 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据椭圆焦点三角形的周长的算法，可判断A的真假；求出切点弦的方程，判断是否过右焦点可判断B的真假；求过右焦点的弦长的最小值，判断C的真假；利用斜率与倾斜角的关系及正切的差角公式计算即可判定D项.
【详解】设椭圆长轴长，短轴长，焦距，
则由椭圆方程可知，
如图：
因为A在椭圆上，所以，，
所以的周长为，故A正确；
对B：设点坐标为，，，
由图可知，过点作椭圆的切线，切线斜率必存在.
所以过A点的切线方程可设为：，
联立方程组：，消去得：，
由得：，
整理得：，
因为：，，
所以：,
即.
所以过点A的切线为：.
又切线过点，所以
同理：.
故A，两点都在直线上，而点也在这条直线上，所以A，，三点共线，故B正确；
对C：若直线无斜率，则,
若直线有斜率，结合B项结论可设其方程为：,
联立方程组：，消去得：，
整理得：，
则，，
所以，
所以：.
综上：.故C错误；
对D：设过点的切线方程为：，
联立方程组：，消去得：，
由得：，
整理得：，
不妨设，则，
易知，
且均为锐角，故
，
所以，故D正确.
【点睛】难点点睛：对于B项，利用同解方程求出切点弦方程即可，而积累结论：过椭圆上一点的切线方程为，过椭圆外一点的切点弦方程为，如此可直接快速判定B项；对于C项，通过分类讨论及弦长公式计算即可，而积累结论焦点弦通径最短可快速得出结论；对于D项，根据同解方程得出两切线斜率的关系式，结合到角公式计算即可.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.
13. 展开式中的常数项为______．
【答案】160
【解析】
【分析】由题意利用二项式定理可得解.
【详解】二项式的展开式的通项公式，
令，可得，
所以展开式中的常数项为.
故答案为：160.
14. 针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为，，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为______.
【答案】##0.4
【解析】
【分析】甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，由此求得甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率.
【详解】由于两个机构互不影响，故甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，
所以甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：.
故答案为：
15. 已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为______.
【答案】8
【解析】
【分析】作邮抛物线的准线，把转化为到准线的距离，由三点共线得最小值．
【详解】由题意抛物线的准线的方程是，
过作于，则，所以
当且仅当三点共线时，取得最小值，
所以的最小值是8.
故答案为：8.
16. 在直三棱柱中，，，平面经过点A，且直线与平面所成的角为30°，过点作平面的垂线，垂足为H，则点到平面的距离为______，直线与BH所成角的范围为______.
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】利用，得出在以为直径的球面上，其时可得出到平面的距离，由直线与平面所成的角为30°，得在以为轴，顶角为的圆锥面上，从而得出的轨迹是圆，然后建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求得与所成角的余弦值，角的范围．
【详解】如图，连接，因为，，所以，
所以在以为直径的球面上，又直线与平面所成角为，而即为直线与平面所成的角，因此，因此在以为轴，顶角为的圆锥面上，
过作于点，则，其中的长即为到平面的距离．
所以在圆锥的底面圆上，为圆心，半径为，
以为轴，为轴，过与垂直的直线的为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，
，取的一个方向向量为，
，
又，所以，
所以直线与所成角的范围是，即，
故答案为：；．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17. 如图，在棱长为1的正方体中，点E是的中点
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定与性质推理即得.
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
在正方体中，四边形是其对角面，则，
平面，平面，于是平面，同理平面，
又，平面，因此平面平面，又平面，
所以平面.
【小问2详解】
以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，显然平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点
（1）求C的方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）记准线与x轴交点为K，为等腰直角三角形，得，从而求得得抛物线方程；
（2）直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得，然后求得弦长，再求得到直线的距离后可得三角形面积．
【小问1详解】
因为直线的倾斜角为，记准线与x轴交点为K，易知为等腰直角三角形，且，
所以焦点到准线的距离为2，即，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
由（1）可得，，
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即的方程为，
联立可得，
所以
所以，
又点到直线AB的距离，
所以的面积.
19. 现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个.
（1）求这个零件是次品的概率；
（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：记事件：第一台车床加工的零件，记事件：第二台车床加工的零件，
记事件：这个零件是次品，
由题意可得，，，，
由全概率公式可得：
.
【小问2详解】
解：由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为
20. 已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为.
（1）求的离心率及其渐近线方程；
（2）设点是双曲线C右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：.
【答案】（1）2；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）把、的坐标代入双曲线得方程可得答案；
（2）求出、得，再由点P的坐标满足双曲线方程代入可得答案.
【小问1详解】
由题意，把，代入双曲线得：
，解得，，，
所以双曲线的方程为，
故离心率，渐近线方程为；
【小问2详解】
由题意得，一定存在且，，，
，，
则，
又点的坐标满足，则，
故，
所以.
21. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面平面，，，M是棱PC上的点，且，.
（1）求证：平面PAD；
（2）设二面角的大小为，若，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）由余弦定理计算后由勾股定理逆定理证明，取的中点，连结，由面面垂直得线面垂直，从而得线线垂直，然后可得证题设线面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角，从而求出值．
【小问1详解】
因为，，
所以，，
中，，，由余弦定理得，
，
所以，
即，，
取的中点，连结，因为是等边三角形，所以，
又因为平面平面，
平面平面，平面PAD，
所以平面，
又因为平面，
所以.
又因为，，平面，
所以平面.
【小问2详解】
取的中点N，连结，则，所以，
以为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
，
又，设平面MBD的一个法向量为，
则即，
当时，平面平面，不合题意；
当时，令，得平面的法向量为，
易知平面的一个法向量为，
由于平面与平面所成角的余弦值为，
故有，
解得或.
22. 如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段CH的垂直平分线交线段TC于点R，记动点R的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值.
【答案】（1）
（2）为定值，，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，得，动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆；
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，由向量坐标运算表示，化简即可；
（3）设的方程是，与椭圆方程联立，由条件，可得，则或，可证直线经过定点，又因为，所以D在以线段MK为直径的圆上，可得解.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，半径，
因为线段的中垂线交线段于点，
所以，
所以，
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，，，
故曲线E的方程为.
.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，其方程为，
与y轴不相交，不合题意，舍去，
当直线的斜率存在时，设所在直线方程为，
设，，
由
消去y整理得，
恒成立，
所以，
又因为直线与y轴的交点为C，所以，
所以，，
，，
又因为，所以，同理，
所以，且，
所以，
整理后得，
所以为定值，原题得证.
小问3详解】
设，显然的斜率存在，，，
设的方程是，
由消去y得，
则，即，
由韦达定理得，
根据已知，可得，
即，
又，，
代入上式整理得，
则或，
当时，直线的方程为，
所以直线经过定点，
当时，直线的方程为，
所以直线经过定点与M重合，舍去，
故直线经过定点，
又因为，
所以D在以线段MK为直径的圆上.
所以F为线段MK的中点，即，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；
（5）代入韦达定理求解.
