数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程 课件（共19张ppt）

(共19张PPT)
圆的方程
环节二 圆的一般方程
引入新课
问题1
答案：
答案:
在前一阶段的学习中，我们学习了直线的方程，直线方程有哪些形式呢？
特殊化
直线的
斜截式方程
直线的
截距式方程
直线的
一般式方程
特殊化
直线的
两点式方程
转化
确定直线的几何
要素：两点
确定直线的几何
要素：点、方向
直线的倾斜
角和斜率
直线的
点斜式方程
转化
两直线的
位置关系
追问
答案:
圆的方程是否也有一般式呢？
引入新课
（AB不同时为0）
√
？
探究新知
问题2
答案:
方程 是否表示圆呢？
将圆的标准方程展开后得到的二元二次方程 可以表示圆，换言之，即可以通过配方变回标准方程的可以表示圆．可见任何一个圆的方程都可以用 表示．
探究新知
追问1
答案:
不一定，例如方程 不表示圆．
反过来，方程 一定表示圆吗？
探究新知
追问2
答案:
如果这类方程表示圆，其系数满足什么条件？
（1）当 时，方程 表示以
为圆心， 为半径的圆；
（2）当 时，方程 只有实数解
它表示一个点 ；
探究新知
追问2
答案:
如果这类方程表示圆，其系数满足什么条件？
（3）当 时，方程 没有实数解，它不表示任何图形．
因此当 时，方程 表示一个圆，把
方程 叫做圆的一般方程．
探究新知
追问3
答案:
对于一般的二元二次方程 能够表示圆吗
根据圆的一般方程的特点，必须有 ， ，　　　　　　　．
探究新知
问题3
答案:
圆的一般方程有何特点 圆的一般方程和圆的标准方程有何联系
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
圆心
半径
特征
突出其“形”的几何特征
突出其“数”的方程特征
知识应用
例1
解：设圆的方程是 ．①
求过三点 的圆的方程，并求这个圆的圆心
坐标和半径．
因为 三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于 　　　的一个三元一次方程组
知识应用
例1
解：解这个方程组，得
求过三点 的圆的方程，并求这个圆的圆心
坐标和半径．
所以所求圆的方程是
所求圆的圆心坐标是 ，半径 ．
追问1
答案:
知识应用
与上节课中的例2的方法比较，有什么体会呢？
本题解答过程中，先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然
是待定系数法来解．这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法
相比，运算就显得容易一些． 容易的原因是得到的方程没有二次项，是一
个三元一次方程组． 而用圆的标准方程求解，得到的是三元二次方程组，
需要消去二次项，一般来说，解一次方程比解二次方程要容易．
追问2
答案:
知识应用
求圆的方程常用待定系数法，你能归纳其大致的步骤吗？
第一步：根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程；
第二步：根据条件列出关于a，b，c或D，E，F的方程组；
第三步：解出a，b，c或D，E，F ，得到圆的标准方程或
圆的一般方程．
知识应用
例2
解：
已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
设点M的坐标是（x，y），点A的坐标是 ．
由于点B的坐标是（4，3），且M是线段AB的中点，
所以 ．
于是有 ①
知识应用
例2
解：
已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
因为点A在圆 上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，
即
把①代入②，得 ，
②
整理，得
这就是点M的轨迹方程，它表示以 为圆心，半径为1的圆．
追问
答案:
求解轨迹方程的一般方法是什么？
知识应用
直接法：利用几何关系，直接列式求出.
相关点法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，
找到关系式，列式求出．
课堂小结
问题4
圆的一般方程是什么？圆的一般方程与标准方程相比，突出了什么
样的特征？
答案:
当 时， 叫做圆的一般程． 圆的一般方程突出了“数”的特征，而标准方程则突出了“形”的特征．
课堂小结
问题5
答案:
求圆方程时，要根据题目条件，选取合适的方程形式进行求解，
一般用待定系数法、几何法求解、相关点法．
在求圆方程时，一般都有哪些策略和方法？
再 见