江苏省南京市南京师范大学附属中学新城中学2023~2024学年八年级上学期10月月考试卷
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 观察下面的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 如图，△OAC≌△OBD．若OC＝12，OB＝7，则AD＝（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 如图，在三角形纸片ABC中，∠B＝32°，点D在BC上．沿AD将该纸片折叠，使点C落在AB边上的点E处．若∠EAC＝76°，则∠AED＝（ ）
A. 64° B. 72° C. 76° D. 78°
4. 到的三边距离相等的点是的（ ）
A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边上高的交点 D. 三边垂直平分线的交点
5. 如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（ ）
A. 三角形与三角形的周长相等 B. 且
C. D. 连接，，则，且
6. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7. 如图，给出下列四个条件，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF共有（ ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
8. 如图，在，，，平分交于H，，垂足为，若，则长为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明OC是∠AOB的角平分线的依据是 ______．(填SSS，SAS，AAS，ASA中的一种)
10. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若CD＝2，则点D到AB的距离等于__．
11. 中，，当______________ 时，是等腰三角形．
12. 一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是__．
13. 如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向的处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔的北偏东的处，则处与灯塔的距离为__________海里.
14. 如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、．已知的周长为．分别连接、、，若的周长为，则的长为______．
15. 在中，，中线，则边的取值范围是_____．
16 如图，四边形中，，于，，，则的面积是 _________．
17. 如图，在第1个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使．得到第3个按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的底角度数是________
18. 如图，正方形的面积为4，点在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一动点，则的最小值为________
三．解答题（本大题共6小题，共46分）
19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与成轴对称图形．
20. 已知：线段，．求作：，使得，高．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
21. 如图，是的平分线．垂直平分于点，于点，于点．
求证：
22. 文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：
文文：“过点作的中垂线，垂足为”；
彬彬：“作的角平分线”．
数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”
（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．
（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．
23. 已知：如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若PQ＝2，BE＝5，求PE的值．
24. 【问题情景】
小明发现：顶角为的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你完成下列问题：
（1）已知：如图，在中，，，直线平分交于点．
求证：与都是等腰三角形；
初步应用】
小明提问：直角三角形是否也具有这样的特性？
（2）已知，如图，在中，，，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形．（要求：画出两种不同分割方法，并标出相等两角的度数，无需证明）．
【灵活应用】
小明进一步思考：
（3）对于任意，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，若，，请你画出图形，并直接写出与之间的关系．江苏省南京市南京师范大学附属中学新城中学2023~2024学年八年级上学期10月月考试卷
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 观察下面的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、可以抽象成轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2. 如图，△OAC≌△OBD．若OC＝12，OB＝7，则AD＝（ ）
A 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意得到OC=5，再根据全等三角形的性质得到AD＝OD-OA＝OC-OB，则可得到答案.
【详解】因为OC＝12，OB＝7，所以BC＝OC-OB＝12-7=5；因为△OAC≌△OBD，根据全等三角形的性质可知AD＝OD-OA＝OC-OB，则AD＝BC＝5，故选择A.
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质.
3. 如图，在三角形纸片ABC中，∠B＝32°，点D在BC上．沿AD将该纸片折叠，使点C落在AB边上的点E处．若∠EAC＝76°，则∠AED＝（ ）
A. 64° B. 72° C. 76° D. 78°
【答案】B
【解析】
【分析】先由题意根据三角形内角和可得∠C＝180°-∠B-∠EAC=72°，再根据折叠的性质得到答案.
【详解】因为∠B＝32°，∠EAC＝76°，所以根据三角形内角和可知∠C＝180°-∠B-∠EAC=72°，由题意，根据折叠的性质可知∠AED＝∠C，所以∠AED＝72°，故选择B.
【点睛】本题考查三角形内角和以及折叠性质，解题的关键是掌握三角形内角和以及折叠的性质.
4. 到的三边距离相等的点是的（ ）
A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边上高的交点 D. 三边垂直平分线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的内心，解答本题的关键是明确角平分线的性质和三角形的内心．根据角平分线的性质，可以到的三边距离相等的点是的三条角平分线的交点，本题得以解决．
【详解】解：到的三边距离相等的点是的三条角平分线的交点，
故选：．
5. 如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（ ）
A. 三角形与三角形的周长相等 B. 且
C. D. 连接，，则，且
【答案】D
【解析】
【考点】本题主要考查轴对称的性质和三角形的内角和定理的应用，根据轴对称的性质得三角形与三角形的周长相等，且，，，结合三角形的内角和定理即可求得．
【详解】解：∵与关于直线对称，，，
三角形与三角形的周长相等，且，，，
，
，，正确，不符合题意；
但不正确，错误，符合题意．
故选：．
6. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理求出AB=，分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；即可得出结果．
【详解】解：由勾股定理得：AB=，
分三种情况：如图所示：
①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有2个；
③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）；
故选C．
7. 如图，给出下列四个条件，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有（ ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
【答案】C
【解析】
【详解】在上述四个条件中，任选三个条件共有4种不同的组合，
（1）由AB=DE，∠B=∠E，BC=EF可根据“SAS”证得：△ABC≌△DEF；（2）由∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE可根据“AAS” 证得：△ABC≌△DEF；（3）由∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F可根据“ASA”证得：△ABC≌△DEF；（4）由AB=DE，BC=EF，∠C=∠F不能证明△ABC与△DEF全等；
即4种组合中，有3种可以使△ABC≌△DEF.
故选C.
8. 如图，在，，，平分交于H，，垂足为，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，延长交的延长线于E，构建等腰，全等三角形和，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边得到：，即可得出答案．
【详解】如图，延长交的延长线于E，
∵中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握根据全等三角形的判定方法和性质定理作出辅助线是解题关键．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明OC是∠AOB的角平分线的依据是 ______．(填SSS，SAS，AAS，ASA中的一种)
【答案】SSS
【解析】
【分析】根据作图规则得到OA=OB，再由A、B分别以小于OA一半之长为半径做弧，相交于C点，得到AC=BC，则可以根据SSS得到.
【详解】用直尺和圆规作一个角的平分线，根据作图规则，先在这个角的顶点O以一定半径作弧，分别于这个角的两边交于A、B两点，所以OA=OB；再在A、B分别以小于OA一半之长为半径做弧，相交于C点，所以AC=BC；又因为OC是公共边，所以（SSS），所以∠AOC=∠BOC,则OC是∠AOB的角平分线.故答案为SSS.
【点睛】本题考查尺规作图、三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，解答本题需要掌握角的平分线作图规则，掌握三角形全等的判定方法和全等三角形的性质.
10. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若CD＝2，则点D到AB的距离等于__．
【答案】2
【解析】
【分析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出DE=CD即可．
【详解】过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．
∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适中．
11. 中，，当______________ 时，是等腰三角形．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形两底角相等的性质，解答本题的关键是注意分类讨论思想的运用．根据顶角不同分类讨论即可．
【详解】解：①当为顶角等于时，可得底角，是等腰三角形；
②当时，是等腰三角形；
③当时，则，是等腰三角形．
故答案为或或．
12. 一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是__．
【答案】17
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故答案为：17．
13. 如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向的处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔的北偏东的处，则处与灯塔的距离为__________海里.
【答案】80
【解析】
【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．
【详解】MN=2×40=80（海里），
∵∠M=70°，∠N=40°，
∴∠NPM=180°-∠M-∠N=180°-70°-40°=70°，
∴∠NPM=∠M，
∴NP=MN=80（海里）．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．
14. 如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、．已知的周长为．分别连接、、，若的周长为，则的长为______．
【答案】7
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，OA＝OB＝OC，EA＝EC，从而可得求出BC＝13cm，然后根据△OBC的周长为27cm，即可求出OB的长，即可解答．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
是的垂直平分线，
，，
，
周长为，
，
，
，
的周长为，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15. 在中，，中线，则边的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，延长至E，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围．
【详解】如图，延长至E，使，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
16. 如图，四边形中，，于，，，则的面积是 _________．
【答案】12.5
【解析】
【分析】作，然后根据题目中的条件和图形，可以证明，从而可以得到和的关系，然后根据三角形的面积计算公式即可解答本题．
【详解】解：作于点，则，
，
，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
的面积为：．
故答案为：12.5
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
17. 如图，在第1个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使．得到第3个按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的底角度数是________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，图形规律探究；先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数．
【详解】解：在中，，，
，
，是的外角，
；
同理可得，，
第个三角形中以为顶点的底角度数是．
18. 如图，正方形的面积为4，点在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一动点，则的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是正方形的性质和轴对称最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．由于点与关于对称，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是等边的边，，由正方形的面积为4，可求出的长，从而得出结果．
【详解】解：设与交于点，连接，．
点与关于对称，
，
最小．
正方形的面积为4，
，
又是等边三角形，
．
∴的最小值为2．
故答案为：2
三．解答题（本大题共6小题，共46分）
19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与成轴对称图形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查的是利用轴对称设计图案，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以称找出不同的对称轴，再思考如何画对称图形．
【详解】解：画图如下：
．
20 已知：线段，．求作：，使得，高．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
在直线上取一点，作，在射线上截取，以A为圆心，为半径画弧交于，，即可得．
【详解】解：在直线上取一点，作，在射线上截取，以A为圆心，为半径画弧交于，，
如图，即为所求．
21. 如图，是的平分线．垂直平分于点，于点，于点．
求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，连接和，根据垂直平分线的性质得，结合角平分线的性质，可证明，即可证明结论．
【详解】证明：连接和，如图，
垂直平分，
，
平分，，，
，，
和中，
，
，
．
22. 文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：
文文：“过点作的中垂线，垂足为”；
彬彬：“作的角平分线”．
数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”
（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．
（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．
【答案】解：（1）只要合理即可．
（2）证明：作的角平分线，则，
又，，
，．
【解析】
【详解】（1）只可以说过点A作BC的垂线AD或取BC的中点D，连结AD
（2）利用辅助线找出全等三角形的条件即可
23. 已知：如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若PQ＝2，BE＝5，求PE的值．
【答案】（1）见解析；（2）PE=1．
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠BAE=∠C=60°，证明△ABE≌△CAD
（2）根据直角三角形的性质得到BP=2PQ，再根据题意BP=2PQ =4，则PE =1.
【详解】(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
(2) ∵△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAQ，
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90° ∠BPQ=90° 60°=30°，
∴BP=2PQ.
∵PQ＝2，BE＝5，
则BP=2PQ =4，PE = BE- PB＝5-4=1.
【点睛】本题考查全等三角形的判定(SAS)与性质、等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定(SAS)与性质、等边三角形的性质.
24. 【问题情景】
小明发现：顶角为的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你完成下列问题：
（1）已知：如图，在中，，，直线平分交于点．
求证：与都是等腰三角形；
【初步应用】
小明提问：直角三角形是否也具有这样的特性？
（2）已知，如图，在中，，，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形．（要求：画出两种不同的分割方法，并标出相等两角的度数，无需证明）．
【灵活应用】
小明进一步思考：
（3）对于任意，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，若，，请你画出图形，并直接写出与之间的关系．
【答案】（）见解析；（）见解析；（）或或或，为小于的任意锐角．
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的判定即可求解；
（2）根据题意画图即可；
（3）分若是顶角，则；若是底角，第一种情况：当时，第二种情况，当时讨论即可；
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定及分类讨论思想．
【详解】（1）证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴与都是等腰三角形；
（2）解：如图所示：
（3）解：设，，过点的直线交边于，
在中，若是顶角，
如图，则，，
而，此时只能有，即，
即，即；
∴；
若是底角，
第一种情况：如图，当时，则，
中，，，
由，得，此时有，即，
∴；
由，得，此时，即，
∴，
由，得，此时，
∴，为小于的任意锐角．
第二种情况，如图，当时，，，此时只能有．
从而，这与题设是最小角矛盾．
∴当是底角时，不成立．
综上，与之间的关系：或或或，为小于的任意锐角．
