湖南省永州市2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题（解析版）

2023-2024学年湖南省永州市高二上学期期末质量监测数学试题
一、单选题
1．正项等比数列，，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
2．直线l的方程为，则l的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．在空间直角坐标系中，点，点C是点关于轴的对称点，则（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线C：上的点与焦点F的距离是2，则（ ）
A．1 B． C． D．2
6．如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．2
7．双曲线C：的左焦点为，点，直线与C的两条渐近线分别交于两点，且，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．各项均不为零的数列的前n项和为，，，，且，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面与平面平行，若平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
10．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ）
A． B． C． D．
11．在长方体中，，，点E是正方形内部或边界上异于C的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若平面，则
B．不存在点E，使得
C．若，则存在的值为
D．若直线与平面所成角的正切值为2，则点E的轨迹长度为
12．已知双曲线E：过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，设，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为定值
B．若，则
C．若，过点且斜率为的直线l与E有2个交点，则
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为
三、填空题
13．已知，，则 ．
14．已知等差数列的前项和为，且，，则 ．
15．已知点，，若在直线l：上至少存在3个不同的点P，使得为直角三角形，则实数a的取值范围为 ．
16．表示以点为中心的椭圆，如图所示，为椭圆C：的左焦点，Q为直线上的一点，P为椭圆C上的一点，以为边作正方形（F，P，A，B按逆时针排列），当P在椭圆上运动时，的最小值为 ．
四、解答题
17．的顶点是，，．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求过点A，B，C的圆方程．
18．如图，在多面体中，，，，，，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
19．已知数列是递增的等差数列，，是与的等比中项，
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
20．如图，矩形是圆柱的一个轴截面，、分别为上下底面的圆心，为的中点，，．
(1)当点为弧的中点时，求证：平面；
(2)若点为弧的靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．
21．已知正项数列前n项和为，满足，数列满足，记数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式的正整数的最大值．
22．已知点A，B关于坐标原点O对称，，圆M过点A，B且与直线相切，记圆心M的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过曲线上的动点P作圆G：的切线，，交曲线于C，D两点，对任意的动点P，都有直线与圆G相切，求t的值．
2023-2024学年湖南省永州市高二上学期期末质量监测数学试题
一、单选题
1．正项等比数列，，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质计算即可
【详解】在正项等比数列，，
所以，所以（舍去）.
故选：B.
2．直线l的方程为，则l的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，再求出倾斜角即可.
【详解】直线l：的斜率，所以直线l的倾斜角是.
故选：C
3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由椭圆的离心率和长轴长，结合可得椭圆标准方程.
【详解】由题意得，解得，所以椭圆方程为：，
故选：A.
4．在空间直角坐标系中，点，点C是点关于轴的对称点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征可求得，结合空间中两点间距离公式可求得结果.
【详解】因为点C是点关于轴的对称点，
所以，
所以.
故选：C.
5．抛物线C：上的点与焦点F的距离是2，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】由抛物线的定义，列方程求解的值.
【详解】由抛物线的方程可得准线方程为，
根据抛物线定义有，可得.
故选：D
6．如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据给定条件，取的中点，结合平行公理，利用异面直线所成角的定义，借助等腰三角形的性质求解即可.
【详解】在正三棱柱中，取中点，连接，
由点E为正方形的中心，得，而，
于是，由为棱的中点，得，
则四边形是平行四边形，有，即或其补角就是异面直线与所成的角，
显然正三棱柱所有棱长都相等，令棱长为2，
则，
等腰底边上的高，，
所以异面直线与所成角的正切值为.
故选：D
7．双曲线C：的左焦点为，点，直线与C的两条渐近线分别交于两点，且，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出直线的方程，再与渐近线联立，求得点的坐标，再根据求出点的坐标，再根据点在直线上，求得的关系式，即可得解.
【详解】双曲线C：的渐近线方程为，
因为，所以在线段上，
故为直线与的交点，为直线与的交点，
，则直线的方程为，
联立，解得，
设，
由，得，
所以，解得，即
因为点在直线上，
所以，
化简得，
所以，
所以C的渐近线方程为.
故选：B.
8．各项均不为零的数列的前n项和为，，，，且，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入关系式得到，分组求和得到表达式，利用基本不等式和二次函数性质求出最值.
【详解】因为，
所以，将代入，
得，
所以，又，
所以, ；
故
，
又因为，
所以，由，，即，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，
所以,
又,，
所以当时，最小，
所以，
即时，有最小值．
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用递推关系得到，并利用分组求和得到关于的函数关系是本题关键.
二、多选题
9．已知平面与平面平行，若平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用空间向量的坐标分别判断与四个选项中的向量是否平行即可得解.
【详解】因为平面与平面平行，所以平面的法向量与平面的法向量平行，
对于选项A: 若，则此时，满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项A正确；
对于选项B: 若，则此时无解，不满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项B错误；
对于选项C: 若，则此时，满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项C正确；
对于选项D: 若，则此时无解，不满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项D错误.
故选：AC.
10．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用观察归纳法，结合等差数列前n项和公式求出，再逐项判断即得.
【详解】依题意，，，AD正确；
，，B错误；
，，C正确.
故选：ACD
11．在长方体中，，，点E是正方形内部或边界上异于C的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若平面，则
B．不存在点E，使得
C．若，则存在的值为
D．若直线与平面所成角的正切值为2，则点E的轨迹长度为
【答案】AD
【分析】对于A，直接由点线面的位置关系即可判断；建立适当的空间直角坐标系，对于B，若，则，结合但不同时为0，判断即可；对于C，若，则，由模长公式进行放缩即可判断；对于D，由线面角的正弦公式得点的轨迹为，结合即可判断.
【详解】对于选项A：
因为平面∥平面，
若平面，则平面，
又因为平面，且平面平面，所以，故A正确；
对于选项B：以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为，，点E是正方形内部或边界上异于C的一点，
所以，
但不同时为0，
，若，
则，解得，
所以存在点在正方形对角线上且异于C，使得，故B错误；
对于C，，
若，则，即，结合
令，
所以，
因为，
所以，，
所以若，则不存在的值为，故C错误；
对于D，，可取平面的法向量为，
若直线与平面所成角的正切值为2，
则直线与平面所成角的正弦值为，
化简并整理得，，结合
所以如图所示：
点E的轨迹长度为以为圆心为半径的四分之一圆周长，即，故D选项正确.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：对于CD，结合空间向量利用数形结合，将转换为，将直线与平面所成角的正切值为2转换为，由此即可顺利得解.
12．已知双曲线E：过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，设，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为定值
B．若，则
C．若，过点且斜率为的直线l与E有2个交点，则
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为
【答案】BD
【分析】结合双曲线的定义、圆的切线长定理求得，从而求得双曲线的方程.结合双曲线的渐近线、直线和双曲线的交点、焦点弦的最小值、三角形内切圆面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，为另外两个切点，
由切线长定理可知，，
因为在轴上，所以，
所以
，
，
双曲线E的方程为：，
对于A，因为直线l与双曲线的右支交于P、Q两点，
则当垂直于轴时，最短且最小值为，
所以的最小值不是定值，故A错误；
对于B，若，则，所以，故B正确；
对于C，若，则，双曲线的方程为，
直线的方程为，
联立，消得，
则，解得且，
所以，故C错误；
对于D，若，则，双曲线的方程为，
如图，设两内切圆圆心分别为，半径分别为，
设、、与圆分别相切于点，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，
所以是双曲线的右顶点，
轴，所以的横坐标为，
同理可求得的横坐标为，
则，
设直线的倾斜角为，且，，
在中有
，
，
设，
，
令，
由对勾函数的性质可得在区间上递减，在区间上递增，
所以函数在上递减，在上递增，
又，所以， ，
记的内切圆面积为的内切圆面积为，
故，
所以的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：在过双曲线焦点的弦中，当弦的端点分别在两支时，弦长的最小值为；当弦的端点在同一支时，弦长的最小值为.这个知识点要作为结论记下来，如果要证明，过程很复杂，小题小做，节约时间是关键.
三、填空题
13．已知，，则 ．
【答案】
【分析】利用数量积坐标运算公式求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
14．已知等差数列的前项和为，且，，则 ．
【答案】
【分析】结合题意及等差数列前项和公式列出方程，再利用等差数列的求和公式计算即可.
【详解】结合题意：因为，，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
15．已知点，，若在直线l：上至少存在3个不同的点P，使得为直角三角形，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】当时，三点共线，构不成三角形，故．是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数的取值范围．
【详解】当时，三点共线，构不成三角，故，
如图所示，是直角三角形，有三种情况：
当是直角顶点时，直线上有唯一点点满足条件；
当是直角顶点时，直线上有唯一点满足条件；
当是直角顶点时，此时至少有一个点满足条件．
由直径对的圆周角是直角，知直线和以为直径的圆有公共点即可，
以为直径的圆为，圆心为，半径，
所以，解得，且，
∴实数的取值范围是．
故答案为：．
16．表示以点为中心的椭圆，如图所示，为椭圆C：的左焦点，Q为直线上的一点，P为椭圆C上的一点，以为边作正方形（F，P，A，B按逆时针排列），当P在椭圆上运动时，的最小值为 ．
【答案】
【分析】通过旋转变换得点的轨迹方程，当过点的椭圆的切线与已知直线平行时，可能取最小值，由此即可得解.
【详解】由题意将椭圆逆时针旋转得到：为动点的轨迹方程，
设与已知直线平行的直线为：，联立得，
，化简得，，
相切时满足：，
两平行直线最短距离即为所求.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：通过旋转变换得点方程，结合直线与椭圆的位置关系即可顺利得解.
四、解答题
17．的顶点是，，．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求过点A，B，C的圆方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式求出直线方程，得到答案；
（2）设出圆的一般方程，待定系数法进行求解.
【详解】（1）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，
故边上的高所在直线的方程为，即；
（2）设圆的方程为，
将，，代入得
，解得，
故圆的方程为.
18．如图，在多面体中，，，，，，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为为的中点，所以且，
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
所以点到平面的距离为.
19．已知数列是递增的等差数列，，是与的等比中项，
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）设公差为，
因为是与的等比中项，
所以，即，解得（舍去），
所以；
（2），
在，
所以
.
20．如图，矩形是圆柱的一个轴截面，、分别为上下底面的圆心，为的中点，，．
(1)当点为弧的中点时，求证：平面；
(2)若点为弧的靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）只需证明，，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）结合（1）问，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）结合题意:易知底面是以为圆心，以为直径的半圆，
因为点为弧的中点，所以，
因为矩形是圆柱的一个轴截面，
所以面,
因为面,所以,
因为,且平面，
所以平面.
（2）取弧的中点连接,由（1）问可知：平面，
且易得，,,
故以坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：
因为，，点为弧的靠近点的三等分点，
所以,
所以
因为为的中点，所以，所以,
设平面的法向量为，
则,即，令，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．已知正项数列前n项和为，满足，数列满足，记数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式的正整数的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求解即可；
（2）先利用分组求和法求出，再建立不等式，构造新的数列并判断其单调性即可得解.
【详解】（1）由，①
当时，，解得（舍去），
当时，，②
由①②得，即，
因为，所以，
当时，由，得，矛盾，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，
所以
，
，
由，得，
即，即，
令，
则
，
当时，，所以数列从第项起是递减数列，
又，
所以满足不等式的正整数的最大值为．
【点睛】思路点睛：已知数列的前项和，求通项公式的步骤：
（1）当时，；
（2）当时，根据可得出，化简得出；
（3）如果满足当时的通项公式，那么数列的通项公式为；如果不满足当时的通项公式，那么数列的通项公式要分段表示为.
22．已知点A，B关于坐标原点O对称，，圆M过点A，B且与直线相切，记圆心M的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过曲线上的动点P作圆G：的切线，，交曲线于C，D两点，对任意的动点P，都有直线与圆G相切，求t的值．
【答案】(1)；
(2)2.
【分析】（1）根据给定条件，利用圆的性质探求关系等式，再列出方程化简即得.
（2）设，切线，取求出值，再由任意点求出直线方程，并证明与圆相切即可得解.
【详解】（1）设点，由圆M过点A，B，得，又圆M与直线相切，
则，连接，而是的中点，于是，
因此，化简得，
所以曲线的方程为.
（2）由（1）设，过点作圆的切线，
令，则切线，由对称性得直线，则，解得，
下面证明在任意情况下直线必与圆相切，
由直线与圆相切，得，切线的斜率分别为，
整理得，，，
又切线与曲线相交于，，
由消去y得，
显然是方程，即的两个根，
于是，即，又是方程，
即的两个根，于是，即，
显然直线，即，
而，
即，
所直线，即，
圆心到直线的距离，
所以直线必与圆相切，即.
【点睛】关键点睛：本题从特殊情况入手，求出值，再就一般情况证明直线为圆的切线是解题的关键．
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