2023—2024学年（上）高一年级期末考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知某校高三有900名学生，为了解该年级学生的健康情况，从中随机抽取100人进行调查，抽取的100人中有55名男生和45名女生，则样本容量是（ ）
A. 45 B. 55 C. 100 D. 900
4. 数据2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 7.5
5. 声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. ，，，，，是半径为1的圆的六等分点，从中任选2点连接起来，则所得线段长度小于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据，由生成一组新数据，，…，，则（ ）
A. 新数据的平均数一定比原数据的平均数大
B. 新数据的中位数一定比原数据的中位数大
C. 新数据的标准差一定比原数据的标准差大
D. 新数据的极差一定比原数据的极差大
10. 已知为实数，则下列结论中正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（ ）
A. “摸到2个红球”与“摸到2个白球”互斥事件
B. “至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件
C. “摸出的球颜色相同”的概率为
D. “摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立
12. 已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A. B.
C. 奇函数 D. 在上具有单调性
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 样本数据1，2，3，3，6的方差______.
14. 已知且，则__________.
15. 小王计划下周一、周二、周三去北京出差，查天气预报得知北京这三天下雨的概率分别为0.8，0.5，0.6，假设每天是否下雨相互独立，则北京这3天至少有一天不下雨的概率为______.
16. 已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为__________.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
18. 已知函数且的图象过坐标原点.
（1）求值；
（2）设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值.
19. 某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.
20. 已知函数.
（1）设函数，实数满足，求；
（2）若在时恒成立，求的取值范围.
21. 甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设甲、乙的射击相互独立.
（1）求在一轮比赛中，两人均击中目标概率；
（2）求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率；
（3）若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就结束，且乙比甲多击中目标1次的概率.
22. 已知函数且的图象过点.
（1）求不等式的解集；
（2）已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值.2023—2024学年（上）高一年级期末考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义求解．
【详解】由已知，
故选：B．
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由量词命题的否定判断即可．
【详解】特称命题的否定是全称命题，
是：，
故选：B．
3. 已知某校高三有900名学生，为了解该年级学生的健康情况，从中随机抽取100人进行调查，抽取的100人中有55名男生和45名女生，则样本容量是（ ）
A. 45 B. 55 C. 100 D. 900
【答案】C
【解析】
【分析】根据样本容量的定义得到答案.
【详解】因为抽取100人进行调查，所以样本容量是100.
故选：C
4. 数据2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 7.5
【答案】D
【解析】
【分析】根据百分位数的定义进行求解.
【详解】，从小到大第6个数据为7，第7个数据为8，
故分位数为.
故选：D
5. 声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可计算出、，而后代入计算即可得.
【详解】由题意可得，故，
则当时，有，
解得.
故选：B.
6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的性质求解．
【详解】由题意，解得．
故选：C．
7. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数性质可将转化为，由函数单调性计算即可得.
【详解】，
则，
由，故，
故，
又，随增大而增大，
故上单调递减，又，
故可转化为，
则有，即，即，故.
故选：D.
8. ，，，，，是半径为1的圆的六等分点，从中任选2点连接起来，则所得线段长度小于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆内接正六边形的性质，结合古典概型运算公式进行求解即可.
【详解】任意连接6个点中的2个可得到15条线段，
其中长度为2的线段有，，，共3条，其余线段长度为1或，
所以所得线段长度小于2的概率为.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据，由生成一组新数据，，…，，则（ ）
A. 新数据的平均数一定比原数据的平均数大
B. 新数据的中位数一定比原数据的中位数大
C. 新数据的标准差一定比原数据的标准差大
D. 新数据的极差一定比原数据的极差大
【答案】CD
【解析】
【分析】AB选项，可举出反例；CD选项，得到新数据的标准差和极差都是原数据的2倍，且这两个量都大于0，从而CD正确.
【详解】对于A，设的平均数为，即，
则新数据，，…，的平均数为，
故，
当时，，故A错误，
对于B，设的中位数为，由于单调递增，
则新数据，，…，的中位数为，
当时，，故B错误；
对于C，设的标准差为，则，
故新数据，，…，的平均数，
故新数据的方差为，
故新数据的标准差为，
由于，故，C正确；
对于D，设的极差为，由于单调递增，
故新数据极差为，由于，故新数据的极差比原数据的大，D正确.
故选：CD
10. 已知为实数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】选项AC，可由不等式的性质证明；选项BD，用特值排除法可得
【详解】选项A，因为，若，
当时，，不满足条件，
所以，故，即A正确；
选项B，当时，若，仍有，
不满足条件，故B错误；
选项C，若，则由反比例函数在单调递减，
则，则，则，故C正确；
选项D，当，则，，
不满足，故D错误.
故选：AC.
11. 一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（ ）
A. “摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件
B. “至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件
C. “摸出的球颜色相同”的概率为
D. “摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A和B利用互斥事件和对立事件的概念判断即可，对于C利用古典概型计算公式计算即可，对于D需要判断是否满足独立性事件同时发生的条件，即是否满足.
【详解】2个红球为，3个白球为，则任意摸出2个球有，共10种，
“摸到2个红球”有，“摸到2个白球”有，“至少摸到1个红球”有，
“摸出的球颜色相同”有，“摸出的球中有白球” 有，“摸出的球颜色不相同”有，
A：“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；
B：“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故B正确；
C：给每个球编号，不同的摸球结果有10种，“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为，故C正确；
D：设“摸出的球中有红球”，“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知
，，，显然，故，不相互独立，故D错误.
故选：ABC
12. 已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A B.
C. 为奇函数 D. 在上具有单调性
【答案】ABC
【解析】
【分析】运用赋值法结合函数性质逐个判断即可得.
【详解】对A：令，则有，即，故A正确；
对B：、，则有，即，
由、，故，即，故B正确；
对C：令，则有，即，
即，又函数的定义域为，则函数的定义域为，
故函数为奇函数，故C正确；
对D：令，则有，即，
即有，则当时，有，即，
故在上不具有单调性，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 样本数据1，2，3，3，6的方差______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据方差的定义求解即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
14. 已知且，则__________.
【答案】9
【解析】
【分析】结合对数运算性质计算即可得.
【详解】由，则，
即有，故，则或，
又，故.
故答案为：9.
15. 小王计划下周一、周二、周三去北京出差，查天气预报得知北京这三天下雨的概率分别为0.8，0.5，0.6，假设每天是否下雨相互独立，则北京这3天至少有一天不下雨的概率为______.
【答案】0.76##
【解析】
【分析】根据对立事件的概率求法以及独立事件概率乘法公式运算求解.
【详解】北京这3天至少有一天不下雨的概率为.
故答案为：0.76.
16. 已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为__________.
【答案】##05
【解析】
【分析】由与的图象关于直线对称，得出函数与的图象在时有交点，在时有解，令（），由单调性求出的范围或最大值即可得．
【详解】与的图象关于直线对称，因此函数的图象上存在关于直线的对称点，
则函数与的图象在时有交点，
即在时有解，在时有解，
令（），设，则，
，，∴，
从而，∴在上是增函数，
由题意，所以的最大值是．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：两个函数的图象关于直线对称，则它们互为反函数，而函数图象上存在两个点关于直线对称可以转化为反函数（需有反函数的部分）的图象与函数图象（函数的另一部分）有公共点，从而转化为方程有解．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）解出集合后，结合集合运算性质运算即可得；
（2）由可得，结合子集性质计算即可得.
【小问1详解】
由，解得，
所以，
所以或；
【小问2详解】
由，得，
于是，
解得，
所以的取值范围为.
18. 已知函数且的图象过坐标原点.
（1）求的值；
（2）设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值.
【答案】（1）
（2）或3
【解析】
【分析】（1）利用的图象过坐标原点得到关于的方程，解之即可得解；
（2）利用指数函数的单调性，分类讨论的取值范围，从而得到关于的方程，解之即可得解.
【小问1详解】
因为的图象过坐标原点，
所以，解得.
【小问2详解】
若，则在上单调递减，
所以，所以，即，
解得或（舍去）；
若，则在上单调递增，
所以，所以，即，
解得或（舍去）；
综上，的值为或3.
19. 某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用频率之和为1，列式求解，利用平均数的计算公式求解即可；
（2）根据分层抽样确定第六组和第七组分别抽取的人数，利用古典概型的概率公式计算.
【小问1详解】
，解得，
这次竞赛成绩平均数的估计值为.
【小问2详解】
不低于85分的三组频率之比为，用分层随机抽样的方法抽取12人，应从第六组和第七组分别抽取4人和2人，
设第六组的4人为，，，，第七组的2人为甲、乙，
于是从这6人中任选2人的所有情况为：甲乙，甲，甲，甲，甲，乙，乙，乙，乙，，，，，，，共15种，
其中甲、乙至少有1人被选中的有9种，
所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为.
20. 已知函数.
（1）设函数，实数满足，求；
（2）若在时恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性进行求解；
（2）分类讨论，分别求出在上的最小值，从而得出结论，注意利用勾形函数的性质得出单调性．
【小问1详解】
因为的定义域为，关于原点对称，
且，
则是上的奇函数，从而，
因为，所以，得，
所以.
【小问2详解】
若，则在上单调递增，
因为在时恒成立，所以，解得，所以.
若，由可得，当且仅当，即时等号成立，
则在上单调递减，在上单调递增.
若，则，解得，与矛盾；
若，则，解得，所以.
综上所述，的取值范围是.
21. 甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设甲、乙的射击相互独立.
（1）求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率；
（2）求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率；
（3）若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就结束，且乙比甲多击中目标1次的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解；
（2）根据题意，分为甲击中2次，乙击中1次和甲击中1次，乙击中2次，两种情况，分别求得相应的概率，结合互斥事件的概率公式，即可求解；
（3）根据题意，分为乙击中3次，甲击中2次和乙击中2次，甲击中1次，结合概率的乘法公式，即可求解.
【小问1详解】
根据相互独立事件的概率公式，可得两人均击中目标的概率为.
【小问2详解】
甲击中2次，乙击中1次的概率为，
甲击中1次，乙击中2次的概率为，
故在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率为.
【小问3详解】
由题意知，第三轮和第四轮甲均未击中目标，乙均击中目标，
若乙击中3次，甲击中2次，则前两轮乙击中1次，甲击中2次，概率为，
若乙击中2次，甲击中1次，则前两轮甲击中1次，乙均未击中，概率为
，
故所求概率为.
22. 已知函数且的图象过点.
（1）求不等式的解集；
（2）已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）6.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出值及函数，再解对数不等式即得.
（2）利用函数的单调性脱去法则并变形，转化为一元二次不等式恒成立求解即得.
【小问1详解】
依题意，，解得，则，
，
不等式，即，解得，
则有，即，
所以原不等式的解集为.
【小问2详解】
当时，，又在上单调递增，
则当时，不等式恒成立，等价于恒成立，
即恒成立，当时，，得，
设函数，其图象开口向上，对称轴方程为，
而，即，
又对任意恒成立，则，
于是在上的最小值为，
原问题转化为：存在，使得，即，
由于，则，要使成立，只需，
解得，又，所以的最小值为6.
【点睛】结论点睛：函数定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则.
