2023—2024学年第一学期期末模块考试
高三数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号选项要求的.
1. 已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A. B.
C D.
2. 已知单位向量满足，则的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 自然数的位数为（参考数据：）（ ）
A. 607 B. 608 C. 609 D. 610
4. 已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 在一节数学研究性学习的课堂上，老师要求大家利用超级画板研究空间几何体的体积，步骤如下：第一步，绘制一个三角形；第二步，将所绘制的三角形绕着三条边各自旋转一周得到三个空间几何体；第三步，测算三个空间几何体的体积，若小明同学绕着的三条边AB，BC，AC旋转一周所得到的空间几何体的体积分别为，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知总体划分为若干层，通过分层随机抽样，其中某一层抽取的样本数据为，，…，，其平均数和方差分别为，．记总的样本平均数为，则（ ）．
A. B.
C. D.
8. 如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成： ，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则或
C. 若且，则 D. 若，则
10. 已知在棱长为2的正方体中，过棱BC，CD的中点E，F作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有（ ）
A. 截面多边形可能是五边形
B. 若截面与直线垂直，则该截而多边形正六边形
C. 若截面过中点，则该截面不可能与直线平行
D. 若截面过点，则该截面多边形的面积为
11. 已知函数，对于任意的实数a，b，下列结论一定成立的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12. 已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点．若，，构成以为公差的等差数列，则（ ）
A. 的最大值是
B 当时，
C. 当，在轴的同侧时，的最大值为
D. 当，在轴的异侧时（，与不重合），
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，且，则的最小值为__________.
14. 在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为___________.
15. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则___________.
16. 已知点是抛物线：与椭圆：的公共焦点，是椭圆的另一焦点，P是抛物线 上的动点，当取得最小值时，点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为_______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，在梯形中，为直角，，，将三角形沿折起至.
（1）若平面平面，求证：；
（2）设是的中点，若二面角为30°，求二面角的大小.
18. 的内角所对的边分别为.已知.
（1）若，求；
（2）点是外一点，平分，且，求的面积的取值范围.
19. 已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20. 曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点．
（1）求的方程；
（2）求证：内切圆的圆心在定直线上．
21. 某考生在做高考数学模拟题第12题时发现不会做．已知该题有四个选项，为多选题，至少有两项正确，至多有3个选项正确．评分标准为：全部选对得5分，部分选对得2分，选到错误选项得0分．设此题正确答案为2个选项的概率为．已知该考生随机选择若干个（至少一个）．
（1）若，该考生随机选择2个选项，求得分X的分布列及数学期望；
（2）为使他此题得分数学期望最高，请你帮他从以下三种方案中选一种，并说明理由．
方案一：随机选择一个选项；
方案二：随机选择两个选项；
方案三：随机选择三个选项．
22 已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若在处取得极值，且，求的取值范围．2023—2024学年第一学期期末模块考试
高三数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号选项要求的.
1. 已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn图逐一判断即可.
【详解】，
选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意；
选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意，
故选：B
2. 已知单位向量满足，则的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两边平方，根据向量数量积的运算即可求出夹角.
【详解】记夹角为，则，
由，即，两边平方，得，
即，即，则，
当时，，不符合题意，
所以，又，则．
故选：C．
3. 自然数的位数为（参考数据：）（ ）
A. 607 B. 608 C. 609 D. 610
【答案】C
【解析】
【分析】由题意求出的值，可将写成，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，即的位数为.
故选:C
4. 已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.
【详解】因为方程，其中，
所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程；
当时，方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；
当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；
所以真命题有3个.
故选：C.
5. 在一节数学研究性学习的课堂上，老师要求大家利用超级画板研究空间几何体的体积，步骤如下：第一步，绘制一个三角形；第二步，将所绘制的三角形绕着三条边各自旋转一周得到三个空间几何体；第三步，测算三个空间几何体的体积，若小明同学绕着的三条边AB，BC，AC旋转一周所得到的空间几何体的体积分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，结合旋转体的体积求出三边的关系，再利用余弦定理求解作答.
【详解】令的三边分别为，边上的高为，的面积为，
则以直线为轴所得旋转体体积，有，于是，
同理可得，则有，
由余弦定理得.
故选：C
6. 已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可确定的值.
【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的；
由图可知，利用整体代换可得，
所以，若为已知，则可求得.
故选：B
7. 已知总体划分为若干层，通过分层随机抽样，其中某一层抽取的样本数据为，，…，，其平均数和方差分别为，．记总的样本平均数为，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数和方差的定义可得，，
再由化简计算即可.
【详解】因为样本数据为，，…，，其平均数和方差分别为，．
所以，
，，
所以
，
故选：D.
8. 如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成： ，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出an，bn的表达式，然后进行计算即可．
【详解】由题意可知， （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标发生变化，纵坐标不变. （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加. （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又，所以 =4-
=
=
=3-
=+
=
所以选A.
【点睛】本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则或
C. 若且，则 D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数的特征、几何意义以及复数运算判断各选项即可.
【详解】对于A，若，例如：，则，故A错误；
对于B，若，则，所以或至少有一个成立，即或，故B正确；
对于C，由，则，∵，∴，故C正确；
对于D：若，则，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知在棱长为2的正方体中，过棱BC，CD的中点E，F作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有（ ）
A. 截面多边形可能是五边形
B. 若截面与直线垂直，则该截而多边形为正六边形
C. 若截面过的中点，则该截面不可能与直线平行
D. 若截面过点，则该截面多边形的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】正方体中的平行或相交关系依次作出各选项截面分析即可.
【详解】对于B项，如下图所示，在正方体中易证面,
分别取棱的中点G、H、I、J，
由中位线的性质可得平面∥平面,故面,
而六边形显然为正六边形，故B正确；
对于C项，如下图所示，连接AC、BD交于O点,记面AD1和面AB1的中心分别为G、H，
易知G、H、E、F共面（即符合要求的截面）.
连接A1O、CO交GH、EF于N、M两点，
由中位线性质可得N、M为A1O、CO的中点，
故A1C∥MN，所以A1C∥面GHEF，所以C项错误；
对于AD项，如下图所示，延长EF分别与直线AB、AD交于P、Q两点，连接A1P、A1Q交棱D1D、B1B于TS，则五边形A1SEFT为所得截面，A正确；，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数，对于任意的实数a，b，下列结论一定成立的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】构造函数利用导数研究函数的单调性一一判定即可.
【详解】，令在上单调递增，在上单调递减，故，所以在R上单调递增，且.
对于A项，有，
令，令，
在R上单调递增，而，
故在上单调递增，在上单调递减，故，
所以，故A正确；
对于B项，若，∴，则，显然B正确；
对于D项，若，
即，故D正确；
对于C，设，若，则满足
，但，故C错误.
故选：ABD.
12. 已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点．若，，构成以为公差的等差数列，则（ ）
A. 的最大值是
B. 当时，
C. 当，在轴的同侧时，的最大值为
D. 当，在轴的异侧时（，与不重合），
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题可得，根据椭圆的焦半径的取值范围可判断A，根据结合椭圆方程可求坐标，然后根据余弦定理可判断B，根据椭圆的性质结合基本不等式及斜率公式可判断CD.
【详解】因椭圆，
所以，，，
又，，构成以为公差的等差数列，则，
不妨设，由题可知，则的最大值是，故A正确；
当时，，设，
则，解得，不妨取，
设，则，解得，
所以或，
当时，又，，此时；
当时，，，
所以，，
综上，当时，，故B正确；
设椭圆的右焦点为，则，，，，，
当，在轴的同侧时，则，关于轴对称，设，则，
所以，由，
所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故C正确；
当，在轴的异侧时（，与不重合），则，关于原点对称，
设，则，由，可得，
所以，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，且，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先对已知式子变形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以
，
（当且仅当时取等号），
所以的最小值为，
故答案为：.
14. 在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为___________.
【答案】（满足或的其中一值）
【解析】
【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得解.
【详解】由题意可得，，
所以，，同理可得，
则
，
所以，或，
解得或，
故答案为：（满足或的其中一值）.
15. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则___________.
【答案】
【解析】
分析】由题意，计算条件概率，利用全概率公式，求得答案.
【详解】由题意，，，
则；
，，
则；
故答案为：.
16. 已知点是抛物线：与椭圆：的公共焦点，是椭圆的另一焦点，P是抛物线 上的动点，当取得最小值时，点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】
【详解】分析：由题意可知与抛物线相切时，取得最小值，求出此时点的坐标，代入椭圆方程求出的值，即可求解其离心率．
详解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
过向抛物线的准线作垂线，则，所以,
显然当直线与抛物线相切时，最小，即取得最小值，
设直线的方程为，代入可得，
令，可得，
不妨设在第一象限，则，所以，即，
因为在椭圆上，且为椭圆的焦点，
所以，解得或（舍去），
所以，所以离心率为．
点睛：本题考查了抛物线的定义及几何性质的应用，以及椭圆的离心率的求解，其中根据抛物线的定义与几何性质，得到关于的方程组是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，在梯形中，为直角，，，将三角形沿折起至.
（1）若平面平面，求证：；
（2）设是的中点，若二面角为30°，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；
（2）120°.
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形性质、余弦定理及勾股定理可得，法一：由面面垂直的性质有CD⊥平面PBD，再由线面垂直的性质和判定可得PB⊥面PCD，最后由线面垂直的性质证结论；法二：取BD中点Q，连接CQ、PQ，易得PQ⊥BD，再由面面垂直、线面垂直的性质可得PQ⊥CQ，进而应用勾股定理即可证结论.
（2）法一：设、分别是、的中点，连接、，易知是二面角的平面角，在面上过作并构建直角坐标系，设，根据已知确定相关点坐标，进而求面、面的法向量，根据已知二面角的大小及空间向量夹角的坐标表示求参数即可；法二：由PQ⊥BD，取BC中点F，连接QF，易得∠PQF为二面角P-BD-C的平面角，连接PF交BE于M，连接QM，再由线面垂直的性质有BD⊥QM，则∠MQF为二面角E-BD-C的平面角，最后由及三角形面积公式求∠MQF.
【小问1详解】
由题设知：△PBD为等腰直角三角形且PB⊥PD，PB=PD=，则BD=4，
又∠DBC=45°，BC=，在△BCD中由余弦定理得：CD=4，
所以，即，
法一：又面PBD⊥面BCD，面PBD面BCD=BD，面，
所以CD⊥平面PBD，面PBD，则CD⊥PB，又，
所以PB⊥面PCD，面PCD，则PB⊥PC.
法二：取BD中点Q，连接CQ，
在Rt△CDQ中,
连接PQ，则PQ=2且PQ⊥BD，
又面PBD⊥面BCD，面PBD面BCD=BD，面PBD，
所以PQ⊥面BCD，面BCD，则PQ⊥CQ，
在Rt△PQC中，又，
所以，在△PBC中，即PB⊥PC.
【小问2详解】
法一：设、分别是、的中点，连接、，则，，
又，则面，
所以是二面角的平面角.
在面上过作，
如图以为原点，直线为x轴，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，设，，
则，，故，．
设面的法向量为，则，取，得．
显然平面的一个法向量为
因为，二面角为，则，
整理得，解得，所以，
所以，二面角的大小为.
法二：由（1）法二：PQ⊥BD，取BC中点F，连接QF，则QF∥CD且QF=CD=2，
所以QF⊥BD，又，则面，则∠PQF为二面角P-BD-C的平面角，
连接PF交BE于M，连接QM，且QM平面PQF，
所以BD⊥QM，则∠MQF为二面角E-BD-C的平面角，且∠MQF=30°，
易知：M是△PBC的重心，则，即，
所以∠PQM=90°，故∠PQF=120°，即二面角P-BD-C的大小是120°.
18. 的内角所对的边分别为.已知.
（1）若，求；
（2）点是外一点，平分，且，求的面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出即可；
（2）由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式结合导数求出范围
【小问1详解】
由正弦定理可知，
所以，
所以，
由余弦定理，
因为的内角，所以，
又，所以.
【小问2详解】
由正弦定理，
，
又平分，所以，
因为四边形的内角和为，且，易知，
所以
，①
设，则①，
令，则
，
因为在中，所以，所以，
所以时恒成立，
且，时，，时，
则，所以.
19. 已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用与的关系，得到，再利用隔项等差数列的性质，分别求出为奇数与为偶数时的通项，进而可得答案.
（2）利用倒序相加，求得，整理得，进而利用裂项求和法，得到
【小问1详解】
时，，，两式相减，可得，由题意得，可得，则有
当为奇数时，为等差数列，，
当为偶数时，为等差数列，，
【小问2详解】
，
，利用倒序相加，可得
，
解得，
，
20. 曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点．
（1）求的方程；
（2）求证：内切圆的圆心在定直线上．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设点，根据条件建立等式，化简即可；
（2）设出直线和点，将代入C，消元后根据根与系数的关系得到两根间的关系，设出直线AF与BF的斜率然后求和，化为两根关系结合根与系数的关系化简，进而得到答案.
【详解】（1）设，由题意：，
化简得：，即C的方程为：.
（2）设直线，，将代入C得：，
∴
设直线AF与BF的斜率分别为，则
.
∴，则，∴直线平分，而三角形内心在的角平分线上，∴内切圆的圆心在定直线上.
【点睛】本题可以事先将直线分别取几个特殊的位置，进而判断圆心的位置，得到结论后发现只需要证明AF与BF的斜率满足即可，进而将代入C用根与系数的关系解决.
21. 某考生在做高考数学模拟题第12题时发现不会做．已知该题有四个选项，为多选题，至少有两项正确，至多有3个选项正确．评分标准为：全部选对得5分，部分选对得2分，选到错误选项得0分．设此题正确答案为2个选项的概率为．已知该考生随机选择若干个（至少一个）．
（1）若，该考生随机选择2个选项，求得分X的分布列及数学期望；
（2）为使他此题得分数学期望最高，请你帮他从以下三种方案中选一种，并说明理由．
方案一：随机选择一个选项；
方案二：随机选择两个选项；
方案三：随机选择三个选项．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）选择方案一，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式分别求得得分为0分，2分，5分的事件的概率，进而求得分布列及数学期望；
（2）根据全概率公式分别计算三种方案的对应的得分的概率，进而求得对应的数学期望，再利用作差法比较即可求解.
【小问1详解】
设多选题正确答案是“选两项”为事件，正确答案是“选三项”为事件，
则．
考生得0分，2分，5分为事件，，，，．
当时，，则
正确答案是“选两项”时，考生选2项，全对得5分，有选错得0分；
正确答案是“选三项”时，考生选2项，选出了2个正确选项得2分，有选错得0分．
因为，
所以
．
因为，
所以
，
．
所以，得分X的分布列为：
X 0 2 5
P
得分X的数学期望．
【小问2详解】
（2）方案一：随机选择一个选项
正确答案是“选两项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分；
正确答案是“选三项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分．
因为，
所以．
因为，
所以
所以，随机选择一个选项得分的数学期望．
方案二：随机选择两个选项；
，
，
．
所以，随机选择两个选项得分的数学期望．
方案三：随机选择三个选项．
正确答案是“选两项”时，考生选3项，得0分；
正确答案是“选三项”时，考生选3项，选对得5分，有选错得0分．
，
，
所以，随机选择三个选项得分的数学期望．
因为，
．
所以选择方案一．
22. 已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若在处取得极值，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出、，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）求出，求得，由可得出，构造函数，其中，利用导数分析函数在上单调递增，由可得出，进而可解得正实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，
所以，，
所以切线方程为；
（2），
设，则.
因，由，可得，此时；
由，可得，此时.
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
所以，，则且有，可得，
，解得.
所以，
且，所以，，
因为，所以，即，
即，整理得，
设，其中，
则，
，则，所以，即当时，.
所以，函数在上单调递增，
，由，可得，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下：
（1）求函数的定义域；
（2）求导；
（3）解方程，当；
（4）列表，分析函数的单调性，求极值：
①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值.
