2014-2015学年广东省潮州市高二（下）期末数学试卷（文科）　（解析版）

2014-2015学年广东省潮州市高二（下）期末数学试卷（文科）　
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2015春?潮州期末）设全集U={1，3，5，6}，集合M={1，a}，?UM={5，6}，则实数a的值为（　　）
　 A． 1 B． 3 C． 5 D． 6
考点： 补集及其运算．
专题： 集合．
分析： 由全集U及M的补集，确定出M，即可求出a的值．
解答： 解：∵全集U={1，3，5，6}，集合M={1，a}，?UM={5，6}，
∴M={1，3}，
则a=3，
故选：B．
点评： 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
　
2．（5分）（2015春?潮州期末）复数化简的结果为（　　）
　 A． ﹣1﹣i B． ﹣1+i C． 1﹣i D． 1+i
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 利用复数的运算法则化简复数．
解答： 解：复数==1﹣i；
故选：C．
点评： 本题考查了复数的除法运算；将分母实数化是关键．
　
3．（5分）（2015春?潮州期末）化简：2log2510+log250.25=（　　）
　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 4
考点： 对数的运算性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 直接利用对数的运算法则化简求解即可．
解答： 解：2log2510+log250.25=log510+log50.5=log55=1．
故选：B．
点评： 本题考查导数的运算法则的应用，考查计算能力．
　
4．（5分）（2015春?潮州期末）类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是（　　）
　 A． 连续两项的和相等的数列叫等和数列
　 B． 从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列
　 C． 从第二项起，以后每一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列
　 D． 从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列
考点： 类比推理．
专题： 新定义．
分析： 由等差数列的定义，抓住其要点：①从第二项起，②每一项与前一项的差为定值，类比将差变为和后，即可得到等和数列的定义．
解答： 解：由等差数列的定义：从第二项起，以后每一项与前一项的差都相等的数列叫等差数列
类比可得：从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列
故选D
点评： 本题以类比推理为载体考查了等差数列的概念，熟练掌握等差数列的定义要点，及类比推理的实质是解答的关键．
　
5．（5分）（2015春?潮州期末）函数f（x）=﹣x的图象关于（　　）对称．
　 A． y轴 B． x轴 C． 坐标原点 D． 直线y=x
考点： 函数的图象．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 先求出函数为奇函数，再根据奇函数的性质即可得到答案
解答： 解：因为f（x）=﹣x的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
且f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，
所以函数f（x）的图象关于坐标原点对称，
故选：C
点评： 本题考查了奇函数的性质，属于基础题
　
6．（5分）（2010?北京模拟）设f（x）=lgx+x﹣3，用二分法求方程lgx+x﹣3=0在（2，3）内近似解的过程中得f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间（　　）
　 A． （2，2.25） B． （2.25，2.5） C． （2.5，2.75） D． （2.75，3）
考点： 二分法求方程的近似解．
专题： 计算题．
分析： 由已知“方程lgx+x﹣3=0在x∈（2，3）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，即可求得结果．
解答： 解析：∵f（2.5）?f（2.75）＜0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（2.5，2.75）．
故选C．
点评： 二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：
一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，
且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．
　
7．（5分）（2015春?潮州期末）已知函数f（x）=则f（5）等于（　　）
　 A． 2 B． 3 C． 4 D． ﹣2
考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 首先由5＜6得到f（5）=f（7），再由7＞6，得到f（7）=75﹣，得到答案．
解答： 解：由已知函数f（x）=则f（5）=f（5+2）=f（7）=7﹣5=2．
故选：A．
点评： 本题考查了分段函数的函数值求法；关键是明确自变量范围，对号入座，代入对应的解析式求值．
　
8．（5分）（2015春?潮州期末）当a＞1时，函数y=a﹣x与y=logax的图象是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由已知的a＞1，得到＜1，根据指数函数和对数函数的图象选择．
解答： 解：由a＞1知，函数y=a﹣x=w为减函数，y=logax为增函数．
故选A．
点评： 本题考查了指数函数和对数函数的图象；关键是熟记指数函数和对数函数的图象和形状，明确底数与1的关系．
　
9．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（　　）
　 A． （﹣∞，2） B． （2，+∞） C． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D． （﹣2，2）
考点： 偶函数．
专题： 压轴题．
分析： 偶函数图象关于y轴对称，所以只需求出（﹣∞，0]内的范围，再根据对称性写出解集．
解答： 解：当x∈（﹣∞，0]时f（x）＜0则x∈（﹣2，0]．
又∵偶函数关于y轴对称．
∴f（x）＜0的解集为（﹣2，2），
故选D．
点评： 本题考查了偶函数的图象特征．在解决函数性质问题时要善于使用数形结合的思想．
　
10．（5分）（2015春?潮州期末）如图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将在三角剖分成4个三角开（如图2），再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图3），…，依此类推，设第n个图中原三角形被剖分成an个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为（　　）；a100=（　　）
　 A． ，300 B． ，300 C． ，298 D． ，298
考点： 归纳推理．
专题： 推理和证明．
分析： 根据图形依次求出三角形个数和最小三角形的边长，根据等差、等比数列的特点进行归纳，再利用等差、等比数列的通项公式进行求解．
解答： 解：由题意得，图（1）、图（2）、图（3）中三角形被分割成1个，4个，7个；
∴三角形个数依次成等差数列，首项为1，公差为3，
∵图（1）、图（2）、图（3）中最小三角形的边长是1、、；
∴最小三角形的边长依次成等比数列，首项为1，公比为，
∴第4个图中最小三角形的边长为1×=，
a100=1+（100﹣1）×3=298，
故选：D．
点评： 本题考查了归纳推理，等差、等比数列的通项公式，考查图形变化的一般规律问题，通过观察掌握其内在规律，考查学生观察、分析、归纳能力，属基础题．
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2015春?潮州期末）比较两个数的大小，则　＜　（填＞，＜或=）．
考点： 指数函数单调性的应用．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用指数函数的单调性进行判断．
解答： 解：因为，
设函数，则函数为单调递增函数，所以f（2.6）＞f（1.8），
即＜，
故答案为：＜．
点评： 本题主要考查了指数幂的化简以及指数函数的单调性的应用，构造指数函数是解决本题的关键．
　
12．（5分）（2015春?潮州期末）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是　5　．
考点： 程序框图．
专题： 算法和程序框图．
分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算i值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
解答： 解：当n=12，i=1时，n为偶数，不满足“n为奇数”的条件，则n==6，i=2，不满足退出循环的条件；
当n=6，i=2时，n为偶数，不满足“n为奇数”的条件，则n==3，i=3，不满足退出循环的条件；
当n=3，i=3时，n为奇数，满足“n为奇数”的条件，则n=3n+1=10，i=4，不满足退出循环的条件；
当n=10，i=4时，n为偶数，不满足“n为奇数”的条件，则n==5，i=5，满足退出循环的条件；
故输出的i值为5．
故答案为：5
点评： 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．
　
13．（5分）（2015春?潮州期末）函数y=的定义域为　（1，2）　．
考点： 函数的定义域及其求法．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
解答： 解：要使函数有意义，则，
即，
解得1＜x＜2，
即函数的定义域为（1，2），
故答案为：（1，2）
点评： 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
　
14．（5分）（2014?漳州校级模拟）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；
②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题是　②③　．（写出所有真命题的编号）
考点： 抽象函数及其应用．
专题： 压轴题；新定义．
分析： 根据单函数的定义f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，可知函数f（x）则对于任意b∈B，它至多有一个原象，而①④f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，可知它不是单函数，②③都是，可得结果．
解答： 解：∵若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数
∴①函数f（x）=x2不是单函数，
∵f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，
∴函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；
②∵函数f（x）=2x（x∈R）是增函数，
∴f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，
即②正确；
③∵f（x）为单函数，对于任意b∈B，
若?x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）=b，
则x1=x2，与x1≠x2矛盾
∴③正确；
④例如①函数f（x）=x2在（0，+∞）上是增函数，而它不是单函数；故④不正确．
故答案为：②③．
点评： 此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力．
　
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）（2015春?潮州期末）已知复数z1满足（z1﹣2）i=1+i，
（1）求z1；
（2）若复数z2的虚部为2，且z1?z2是实数，求复数z2．
考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
专题： 计算题．
分析： （1）复数方程两边同乘复数i，然后化简即可求z1；
（2）复数z2的虚部为2，设出复数z2利用z1?z2是实数，复数的实部为0，即可求复数z2．
解答： 解：（1）复数z1满足（z1﹣2）i=1+i，所以z1﹣2=﹣i（1+i）=1﹣i
∴Z1=3﹣i…（6分）
（2）设z2=a+2i，所以z1?z2=（3﹣i）（a+2i）=3a+2+（6﹣a）i，
它是实数，所以a=6；
所以Z2=6+2i…（12分）
点评： 本题是基础题，考查复数的基本概念，复数的基本运算，考查计算能力，高考常考题型．
　
16．（12分）（2015春?潮州期末）若函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）递增，求实数a的取值范围．
考点： 函数单调性的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用定义法结合分式函数的性质进行求解即可．
解答： 解：任取x1，x2∈（﹣2，+∞），且x1＜x2，…（2分）
则f（x1）﹣f（x2）=﹣=．…（5分）
∵函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．…（7分）
∵x2﹣x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0，
∴1﹣2a＜0，故a＞．…（10分）
即实数a的取值范围是（，+∞）．…（12分）
点评： 本题主要考查函数单调性的应用，利用分式函数的性质以及函数单调性的定义是解决本题的关键．
　
17．（14分）（2012?福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y（件）
90
84
83
80
75
68
（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；
（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）
考点： 回归分析的初步应用；线性回归方程．
专题： 计算题．
分析： （I）计算平均数，利用b=﹣20，a=﹣b，即可求得回归直线方程；
（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．
解答： 解：（I），=
∵b=﹣20，a=﹣b，
∴a=80+20×8.5=250
∴回归直线方程=﹣20x+250；
（II）设工厂获得的利润为L元，则L=x（﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）=﹣20
∴该产品的单价应定为元，工厂获得的利润最大．
点评： 本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题．
　
18．（14分）（2015春?潮州期末）在数列{an}中，a1=2，an+1=，n=1，2，3，…．
（1）计算a2，a3，a4的值，根据计算结果，猜想{an}通项公式；
（2）记bn=anan+1，其中，an是（1）的中猜想的结论，求证：b1+b2+…+bn＜1．
考点： 数列递推式；归纳推理．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： （1）通过a1=2、an+1=，直接代入计算即可；
（2）通过，分离分母可得bn=﹣，并项相加计算即可．
解答： （1）解：∵a1=2，an+1=，
∴a2===，
a3===，
a4===，
猜想：；
（2）证明：∵，
∴
=，
∴=，
∵n∈N*，∴，即，
∴b1+b2+…+bn＜1．
点评： 本题是一道关于数列的综合题，考查求数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
　
19．（14分）（2015春?潮州期末）某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
合计
学习积极性高
25
学习积极性一般
25
合计
24
26
50
其中：“积极参加班级工作且学习积极性高的学生”的频率为0.36．
（1）补全表中数据，并求“不太主动参加班级的学生”的频率；
（2）试运用独立性检验的思想方法分析：能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为，学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？
参考公式：K2=，（其中n=a+b+c+d）
临界值表：
P（K2≥K0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
考点： 独立性检验的应用．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： （1）利用积极参加班级工作且学习积极性高的学生的频率为0.36，补全表中数据，根据古典概型的概率公式计算概率即可；
（2）计算观测值x2的值，对照表中数据得出统计结论．
解答： 解：（1）
积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计
学习积极性高 18 7 25
学习积极性一般 6 19 25
合计 24 26 50
不太主动参加班级工作的学生有26人，总人数为50人．频率为．…（6分）
（2）假设学习积极性与对待班级工作的态度无关，由表中数据可得…（12分）
∴能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系． …（14分）
点评： 本题考查了古典概型的应用问题，也考查了两个变量线性相关的应用问题，是基础题目．
　
20．（14分）（2015春?潮州期末）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x﹣x2．
（1）求x＞0时，f（x）的解析式；
（2）问是否存在这样的正实数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[4a﹣2，6b﹣6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．
考点： 函数奇偶性的性质；函数的值域．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而﹣x＜0，从而f（﹣x）=﹣x﹣x2=﹣f（x），解出f（x）即可得出x＞0时的f（x）的解析式；
（2）由上面x＞0时，f（x）=x2+x，从而可判断此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，从而可根据题意有，这样解出a，b，并满足a＜b，即可找出所有的a，b值．
解答： 解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，于是f（﹣x）=﹣x﹣x2；
又f（x）为奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x）；
即x＞0时，f（x）=x+x2；
（2）假设存在这样的数a，b；
∵a＞0，且f（x）=x+x2在x＞0时为增函数；
∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（a），f（b）]=[4a﹣2，6b﹣6]；
∴；
解得；
即，或，或，或；
∵a＜b；
∴a，b的取值为，或，或．
点评： 考查奇函数的定义，二次函数的单调性，以及增函数在闭区间上的值域求法，注意条件a＜b．