2014-2015学年广东省汕头二中高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

2014-2015学年广东省汕头二中高二（下）期中数学试卷（文科）
　
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）（2015?昌平区三模）在复平面内，复数z=i（1﹣i）（i是虚数单位）对应的点位于（　　）
　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 复数的代数表示法及其几何意义．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 直接利用复数的除法运算把给出的复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求．
解答： 解：复数z=i（1﹣i）=1+i，
所以复数Z对应的点为（1，1），位于第一象限．
故选：A．
点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法与几何意义，是基础题．
　
2．（5分）（2010?昌平区二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|2x+1＞5}，则A∩B=（　　）
　 A． {x|﹣2＜x＜4} B． {x|x＞2} C． {x|2＜x＜4} D． {x|x＞4}
考点： 交集及其运算；一元二次不等式的解法．
分析： 先化简集合，即分别解不等式x2﹣2x﹣8＜0，2x+1＞5，再由交集定义求解．
解答： 解：根据题意知：集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}={x|﹣2＜x＜4}，B={x|2x+1＞5}={x|x＞2}
∴A∩B={x|2＜x＜4}
故选C
点评： 本题通过集合的运算来考查一元二次不等式和一元一次不等式的解法．
　
3．（5分）（2012?包头三模）已知命p：?x∈R，使得x+，命题q：?x∈R，x2+x+1＞0，下列结论正确的是（　　）
　 A． 命题“p∧q”是真命题 B． 命题“（￢p）∧q”是真命题
　 C． 命题“p∧（￢q）”是真命题 D． 命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题
考点： 复合命题的真假．
专题： 计算题．
分析： 先解出这两个命题对应的不等式，得到这两个命题都是真命题，对于这两个真命题，得到用且连接的符合命题是真命题．
解答： 解：∵命p：?x∈R，使得x+，解这个不等式的x＜0，
∴存在x∈R，使得x+，故本命题正确，
命题q：?x∈R，x2+x+1＞0，
∵x2+x+1＞0等价于
∴?x∈R，x2+x+1＞0，正确，
所给的两个命题都正确，
∴命题“p∧q”是真命题
故选A．
点评： 本题考查符合命题的真假，考查不等式的解法，考查全称命题和特称命题，是一个基础题，这种题目可以出现在大型考试的选择或填空中，是一个必得分题目．
　
4．（5分）（2014?咸阳校级模拟）设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤1}，那么“a∈M”是“a∈N”的（　　）
　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 集合的包含关系判断及应用．
专题： 计算题；转化思想．
分析： 利用集合的包含关系，判断出集合M与N的关系，利用N是M的真子集，判断两者的关系．
解答： 解：∵M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤1}，
∴N?M
∴“a∈M”是“a∈N”必要不充分条件．
故选B
点评： 本题考查利用集合的包含关系判断一个命题是另一个命题的什么条件．当A?B时，A是B的充分不必要条件．
　
5．（5分）椭圆x2+4y2=1的离心率为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 综合题．
分析： 把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2求出c的值，利用离心率公式e=，把a与c的值代入即可求出值．
解答： 解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，
则c==，所以椭圆的离心率e==．
故选A
点评： 此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道综合题．
　
6．（5分）函数f（x）=x3﹣x2+的图象大致是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 函数的图象与图象变化．
专题： 数形结合．
分析： 本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定．
解答： 解：因为f（0）=，排除C；
因为f'（x）=3x2﹣2x，解f'（x）＞0，
所以 x∈（﹣∞，0）或 x∈（，+∞）时f（x）单调递增，排除B，D．
故选A．
点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的图象等基础知识，考查了排除法，属于基础题．
　
7．（5分）（2014?余杭区校级模拟）函数在点（1，1）处的切线方程为（　　）
　 A． x﹣y﹣2=0 B． x+y﹣2=0 C． x+4y﹣5=0 D． x﹣4y+3=0
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 计算题．
分析： 欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
解答： 解：依题意得y′=，
因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，
相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，
故选B．
点评： 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
　
8．（5分）已知抛物线，则过抛物线焦点F且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为（　　）
　 A． B． C． 5 D． 4
考点： 直线与圆锥曲线的关系．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而根据抛物线的定义可求弦长．
解答： 解：抛物线的焦点坐标为（0，1），
∴过抛物线焦点F且斜率为的直线l的方程为y=x+1，代入抛物线，
得x2﹣2x﹣4=0，
设两个交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）
∴x1+x2=2，∴y1+y2=3
根据抛物线的定义可知|AB|=y1++y2+=y1+y2+p=3+2=5
故选C．
点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质，关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式求得|AB|值．
　
9．（5分）已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（　　）
　 A． 16 B． 11 C． 8 D． 3
考点： 椭圆的定义．
专题： 计算题．
分析： 根据A，B两点是椭圆上的两点，写出这两点与椭圆的焦点连线的线段之和等于4倍的a，根据AB的长度写出要求的结果．
解答： 解：∵直线交椭圆于点A、B，
∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，
∴|AF1|+|BF1|=16﹣5=11，
故选B
点评： 本题考查椭圆的定义，是一个基础题，这里出现的三角形是一种特殊的三角形，叫焦三角形，它的周长是一个定值二倍的长轴长．
　
10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x＞0时有x?f′（x）+f（x）＜0，则不等式f（x）＜0的解集是（　　）
　
A．
（﹣2，0）∪（2，+∞）
B．
（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
C．
（﹣2，0）∪（0，2）
D．
（﹣2，2）∪（2，+∞）
考点： 函数的单调性与导数的关系．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 由题意构造函数g（x）=xf（x）求出g′（x），根据条件判断出g（x）的单调性和奇偶性，由f（2）=0得g（2）=0，结合g（x）单调性判断出各个区间上的符号，从而可得到
f（x）在各个区间上的符号，即可求出不等式f（x）＜0的解集．
解答： 解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=x?f′（x）+f（x），
∵当x＞0时，有x?f′（x）+f（x）＜0，则g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵函数f（x）是R上奇函数，∴函数g（x）是R上的偶函数，
则g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
又f（2）=0，则g（2）=0，
∴在（0，2）内恒有g（x）＞0；在（2，+∞）内恒有g（x）＜0，
在（﹣∞，﹣2）内恒有g（x）＜0；在（﹣2，0）内恒有g（x）＞0，
∴在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0，
在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0，
∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞），
故选：A．
点评： 本题考查导数与函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题，考查构造函数法，属于中档题．
　
二、填空题：（共3小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）（2012?江苏模拟）设复数，则a+b=　1　．
考点： 复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．
专题： 计算题．
分析： 利用两个复数代数形式的除法，把复数化为﹣+i，根据两个复数相等的充要条件，求出a和b的值，即可求得a+b
的值．
解答： 解：∵===﹣+i=a+bi，
∴a=﹣，b=，∴a+b=1，
故答案为：1．
点评： 本题考查两个复数代数形式的除法，两个复数相等的充要条件，把复数化为﹣+i，是解题的关键．
　
12．（5分）（2012春?汕头校级期中）f（x）=x3﹣3x+1在[﹣2，2]上的最大值是　3　．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值．
解答： 解：f′（x）=3x2﹣3，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，
令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，
∴函数在[﹣2，﹣1），（1，2]递增，在（﹣1，1）递减，
而f（﹣2）=﹣2，f（2）=3，f（x）极大值=f（﹣1）=3，
故函数的最大值是3，
故答案为：3．
点评： 不同考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
　
13．（5分）（2013春?芗城区校级期中）在平面几何中，有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，点A在BC边上的射影为D，有AB2=BD?BC．”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面ABC，点A在底面BCD上的射影为O，则有　S△ABC2=S△BCO?S△BCD　
考点： 类比推理．
专题： 探究型．
分析： 这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，（如图所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2=BD?BC，我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则S△ABC2=S△BCO?S△BCD
解答： 解：由已知在平面几何中，
若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，
则AB2=BD?BC，
我们可以类比这一性质，推理出：
若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，
则S△ABC2=S△BCO?S△BCD．
故答案为S△ABC2=S△BCO?S△BCD
点评： 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
　
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）【几何证明选讲选做题】
14．（5分）（2012春?汕头校级期中）如图，PT为圆O的切线，T为切点，PT=，圆O的面积为2π，则PA=　3　．
考点： 与圆有关的比例线段．
专题： 选作题；推理和证明．
分析： 连接OT，由于T是切点，故∠OTP=90°，圆的面积是2π，得R=，根据PT=，可得PO=2，即可求出PA．
解答： 解：连接OT，由于T是切点，故∠OTP=90°，
圆的面积是2π，得R=．
∵PT=，∴PO=2，
∴PA=3．
故答案为：3．
点评： 本题考查直线与圆的位置关系，圆的半径易求，求解本题的关键是求出PO．
　
【坐标系与参数方程选做题】
15．（2012春?汕头校级期中）在极坐标系中，曲线ρ=3的普通方程为为　x2+y2=9　．
考点： 简单曲线的极坐标方程．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： 利用即可得出．
解答： 解：曲线ρ=3的普通方程为，即x2+y2=9．
故答案为：x2+y2=9．
点评： 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题．
　
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．温馨提示：考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分）
16．（12分）（2014春?秀屿区校级期中）若复数z=（m﹣1）+（m+1）i（m∈R）
（1）若z在复平面内对应的点z在第二象限内，求m的取值范围．
（2）若z为纯虚数时，求．
考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
专题： 计算题．
分析： （1）由实部小于0，虚部大于0联立不等式组求解实数m的取值范围；
（2）由实部等于0且虚部不等于0求解m的值，代入z后进一步代入，然后利用复数的除法运算求解．
解答： 解：（1）由复数z=（m﹣1）+（m+1）i（m∈R），
若z在复平面内对应的点z在第二象限内，则，解得：﹣1＜m＜1；
（2）若z为纯虚数，则，即m=1，∴z=2i．
∴=．
点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
　
17．（12分）（2014秋?南安市校级期末）某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽取20名学生，其中8名女生中有3名报考理科，男生中有2名报考文科．
（1）是根据以上信息，写出2×2列联表；
（2）用假设检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？
参考公式K2=
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
…
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
…
考点： 线性回归方程．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： （1）根据抽取20名学生，其中8名女生中有3名报考理科，男生中有2名报考文科，即可得到列联表；
（2）根据所给的表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，得到有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关．
解答： 解：（1）2×2列联表
男生 女生 总计
报考理科 10 3 13
报考文科 2 5 7
总计 12 8 20
（2）假设H0：报考文理科与性别无关．
则K2的估计值K2=≈4.432．
因为p（K2＞3.84）=0.05，
所以我们有95%把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关．
点评： 本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力．
　
18．（14分）（2013秋?青州市校级期末）已知椭圆E的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点（1，）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程
（2）若椭圆E上存在一点 P，使∠F1PF2=30°，求△PF1F2的面积．
考点： 椭圆的标准方程；椭圆的定义；椭圆的简单性质．
专题： 计算题．
分析： （1）首先设出椭圆的标准方程 ，然后根据题意，求出a、b满足的2个关系式，解方程即可．
（2）由点P在椭圆上，知|PF1|+|PF2|=2a=4．由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=（2c）2=4，由此得（2+）|PF1|?|PF2|=12从而得到 =|PF1|?|PF2|sin30°=6﹣3．
解答： 解：（1）设椭圆E的方程为 （a＞b＞0）．
∵c=1，
∴a2﹣b2=1①，
∵点（1，）在椭圆E上，
∴②，
由①、②得：a2=4，b2=3，
∴椭圆E的方程为：．
（2）由题意知，a=2，b=、∴c=1
又∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=4、①
由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=（2c）2=4②
把①两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|?|PF2|=16，③
③﹣②得（2+）|PF1|?|PF2|=12，
∴|PF1|?|PF2|=12（2﹣），
∴=|PF1|?|PF2|sin30°=6﹣3、
点评： 本题应用了求椭圆标准方程的常规做法：待定系数法，熟练掌握椭圆的几何性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧；对于解三角形，利用边和角求得问题的答案．
　
19．（14分）（2012春?汕头校级期中）已知函数f（x）=lnx+﹣3x
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
专题： 导数的综合应用．
分析： （1）由求导公式求出f′（x），再求出f（1）和f′（1），由导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程并化为一般式；
（2）先求出函数的定义域，再由f′（x）=0求出函数的临界点，利用二次函数的性质求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求出函数的单调区间和极值．
解答： 解：（1）由题意得，，且，
∴切线的斜率k=f′（1）=﹣1，
∴在（1，f（1））处切线方程：，即2x+y+3=0；
（2）函数的定义域（0，+∞），
由得，x2﹣3x+1=0，
解得，
当时，f′（x）＞0，
当时，f′（x）＜0，
∴函数的单调递增区间为，，
函数的单调递减区间为，
∴当时，f（x）取得极大值，
当时，f（x）取得极小值．
点评： 本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性、极值问题，考查化简、计算能力，属于中档题．
　
20．（14分）椭圆的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为45°的直线l过点F．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为F1，问抛物线y2=4x上是否存在一点M，使得M与F1关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；抛物线的简单性质．
专题： 综合题．
分析： （Ⅰ）确定抛物线y2=4x的焦点与准线方程为x=﹣1，利用椭圆焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，建立方程，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）根据倾斜角为45°的直线l过点F，可得直线l的方程，由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为F1（﹣1，0），利用M（x0，y0）与F1关于直线l对称，可得M的坐标，由此可得结论．
解答： 解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，（2分）
∴a2﹣b2=1 ①（3分）
又椭圆截抛物线的准线x=﹣1所得弦长为，∴得上交点为，
∴ ②（4分）
由①代入②得2b4﹣b2﹣1=0，解得b2=1或（舍去），
从而a2=b2+1=2
∴该椭圆的方程为 （6分）
（Ⅱ）∵倾斜角为45°的直线l过点F，
∴直线l的方程为y=x﹣1，（7分）
由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为F1（﹣1，0），设M（x0，y0）与F1关于直线l对称，（8分）
则得 （10分）
解得，即M（1，﹣2）
又M（1，﹣2）满足y2=4x，故点M在抛物线上． （11分）
所以抛物线y2=4x上存在一点M（1，﹣2），使得M与F1关于直线l对称．（12分）
点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查点关于线的对称问题，解题的关键是利用抛物线及弦长建立方程，属于中档题．
　
21．（14分）（2011春?德化县校级期末）已知函数f（x）=在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）实数m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
（3）是否存在这样的实数m，同时满足：①m≤1；②当x∈（﹣∞，m]时，f（x）≥m恒成立．若存在，请求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
专题： 综合题．
分析： （1）由f（x）=，知．由函数f（x）在x=1处取得极值2，得由此能求出．
（2）由．列表讨论得到的单调增区间为[﹣1，1]．由此能求出函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增时实数m的条件．
（3）当m≤﹣1时，由（2）得f（x）在（﹣∞，m]单调递减，要使f（x）≥m恒成立，必须；当﹣1＜m＜1时，由（2）得f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，m]单调递增，
要使f（x）≥m恒成立，必须f（x）min=f（﹣1）=﹣2≥m．由此能求出满足条件的m的取值范围．
解答： 解：（1）已知函数f（x）=，
∴．…（2分）
又函数f（x）在x=1处取得极值2，
∴，
即，
∴．…（4分）
（2）由．…（5分）
x （﹣∞，﹣1） ﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）
f'（x） ﹣ 0 + 0 ﹣
f（x） 单调递减 极小值﹣2 单调递增 极大值2 单调递减
所以的单调增区间为[﹣1，1]．…（7分）
若（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间，
则有，
解得﹣1＜m≤0．
即m∈（﹣1，0]时，（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间．…（9分）
（3）分两种情况讨论如下：
①当m≤﹣1时，由（2）得f（x）在（﹣∞，m]单调递减，
要使f（x）≥m恒成立，
必须，…（10分）
因为m≤﹣1，
∴…（12分）
②当﹣1＜m＜1时，
由（2）得f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，m]单调递增，
要使f（x）≥m恒成立，
必须f（x）min=f（﹣1）=﹣2≥m，
故此时不存在这样的m值．
综合①②得：满足条件的m的取值范围是． …（14分）
点评： 本题考查函数解析式的求法，导数的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性，难度大，易出错．