2014-2015学年辽宁省锦州一中高二（下）期中数学试卷（理科）　（解析版）

2014-2015学年辽宁省锦州一中高二（下）期中数学试卷（理科）　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）．
1．（5分）（2015春?锦州校级期中）计算i2﹣3=（　　）
　 A． 2 B． ﹣4 C． ﹣1 D． ﹣2
考点： 虚数单位i及其性质．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 根据复数的基本运算进行求解即可．
解答： 解：i2﹣3=﹣1﹣3=﹣4，
故选：B
点评： 本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
　
2．（5分）（2015春?锦州校级期中）根据给出的数塔猜测123456×9+2等于（　　）
1×9+2=11
12×9+2=111
123×9+2=1111
1234×9+2=11111
12345×9+2=111111．
　 A． 111111 B． 1111111 C． 1111112 D． 1111110
考点： 归纳推理．
专题： 推理和证明．
分析： 根据已知的式子归纳出规律：n位数与9相乘加上2的结果是（n+1）个1，即可求出结论．
解答： 解：由题意得，1×9+2=11，12×9+2=111，123×9+2=1111，1234×9+2=11111，
12345×9+2=111111，
可得n位数与9相乘加上2的结果是（n+1）个1，
∴123456×9+2=1111111，
故选：B．
点评： 本题考查归纳推理，难点是根据已知的式子找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．
　
3．（5分）（2015春?锦州校级期中）若（m﹣1）+（3m+2）i是纯虚数，则实数m的值为（　　）
　 A． 1 B． 1或2 C． 0 D． ﹣1、1、2
考点： 复数的基本概念．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 由已知复数为纯虚数，得到实部为0，虚部不为0解得．
解答： 解：因为（m﹣1）+（3m+2）i是纯虚数，所以m﹣1=0且3m+2≠0，解得m=1；
故选A．
点评： 本题考查了复数的基本概念；如果复数为纯虚数，得到实部为0，虚部不为0．
　
4．（5分）（2015春?锦州校级期中）命题“若p3+q3=2，则p+q≤2”的结论的否定应该是（　　）
　 A． p+q=2 B． p+q≥2 C． p+q≠2 D． p+q＞2
考点： 命题的否定．
专题： 简易逻辑．
分析： 利用命题的否定，直接写出结果即可．
解答： 解：由题意可知：命题“若p3+q3=2，则p+q≤2”的结论的否定应该是：p+q＞2．
故选：D．
点评： 本题考查命题的否定，基本知识的考查．
　
5．（5分）（2015春?锦州校级期中）y=x2+2在x=1处的导数为（　　）
　 A． 2x B． 2 C． 2+△x D． 1
考点： 导数的加法与减法法则．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 根据导数的公式进行求导即可．
解答： 解：函数的导数为f′（x）=2x，
则在x=1处的导数f′（1）=2，
故选：B．
点评： 本题主要考查函数的导数的求解，比较基础．
　
6．（5分）（2015春?锦州校级期中）若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB=AC，所以在△ABC中，∠B=∠C，以上推理运用的规则是（　　）
　 A． 三段论推理 B． 假言推理 C． 关系推理 D． 完全归纳推理
考点： 演绎推理的基本方法．
专题： 推理和证明．
分析： 通过演绎推理的推理形式，直接判断即可．
解答： 解：根据三角形两边相等，则该两边所对的内角相等（大提前），
在△ABC中，AB=AC，（小提前）
所以在△ABC中，∠B=∠C（结论），
符号三断论，
故选：A．
点评： 本题考查演绎推理的三段论的判断与应用，是基本知识的考查．
　
7．（5分）（2004?黑龙江）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（　　）
　 A． y=3x﹣4 B． y=﹣3x+2 C． y=﹣4x+3 D． y=4x﹣5
考点： 导数的几何意义．
分析： 首先判断该点是否在曲线上，①若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；②若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率．
解答： 解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，
∴y′|x=1=﹣3，即切线斜率为﹣3．
∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．
故选B．
点评： 考查导数的几何意义，该题比较容易．
　
8．（5分）（2014春?东昌府区校级期末）在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（　　）
　 A． n=1成立 B． n=2成立 C． n=3成立 D． n=4成立
考点： 数学归纳法．
专题： 证明题．
分析： 数学归纳法第一步应验证n的最小值时，命题是否成立．
解答： 解：多边形的边数最少是3，即三角形，
∴第一步验证n等于3．
故选C．
点评： 本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：
设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立（奠基）；2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立
　
9．（5分）（2015春?锦州校级期中）下列结论：（1）若y=cosx，则y′=﹣sinx
（2）若y=，则y′=
（3）若f（x）=，则f′（3）=﹣
其中正确的命题的个数为（　　）
　 A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
考点： 导数的运算．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 根据导数的运算法则分别进行判断即可．
解答： 解：（1）若y=cosx，则y′=﹣sinx正确，
（2）若y==，（x＞0），则y′=x===﹣，故（2）错误．
（3）若f（x）==x﹣2，则f′（x）=﹣2x2﹣1=﹣2x﹣3=﹣，则f′（3）=﹣正确．
故正确的命题的个数为2个，
故选：C
点评： 本题主要考查命题的真假判断，根据导数的运算公式是解决本题的关键．
　
10．（5分）（2015春?锦州校级期中）十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有（　　）种行车路线．
　 A． 24 B． 16 C． 12 D． 10
考点： 排列、组合及简单计数问题．
专题： 计算题．
分析： 根据题意，分析起点与终点的情况，由乘法原理，计算可得答案．
解答： 解：根据题意，起点为4种可能性，终点为3种可能性，
因此，行车路线共有C41×C31=12种，
故选C．
点评： 本题考查分步计数原理的应用，注意题意中“不允许回头”的条件．
　
11．（5分）定义运算，则符合条件的复数z为（　　）
　 A． 3﹣i B． 1+3i C． 3+i D． 1﹣3i
考点： 二阶行列式的定义；复数代数形式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可．
解答： 解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z===3﹣i．
故选A．
点评： 本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键．
　
12．（5分）（2013?广东模拟）设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）．若对于任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不能成立的是（　　）
　 A． （a*b）*a=a B． [a*（b*a）]*（a*b）=a C． b*（b*b）=b D． （a*b）*[b*（a*b）]=b
考点： 进行简单的合情推理．
专题： 压轴题；新定义．
分析： 利用排除法解决．用b代替题目给定的运算式中的a同时用a代替题目给定的运算式中的b，对选项B进行判断；用b代替题目给定的运算式中的a对选项C时行判断，用代替题目给定的运算式中的a我们对D进行判断．从而排除此三个选项，从而得出答案．
解答： 解：用b代替题目给定的运算式中的a同时用a代替题目给定的运算式中的b，
即[a*（ b*a）]*（ a*b）=b*（ a*b）=a，不难知道B是正确的；
同理，用b代替题目给定的运算式中的a又可以导出选项C的结论，
而用代替题目给定的运算式中的a我们也能得到D是正确的．
对于A：（a*b）*a=b，故不正确．
故选A．
点评： 本题主要考查了进行简单的合情推理，考查了选择题的特殊解决，属于基础题．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．（5分）（2015春?锦州校级期中）从数字1，2，3，4，5，6中取两个相加是偶数，共得　4　个偶数．
考点： 计数原理的应用．
专题： 排列组合．
分析： 由两个相加是偶数为两个数都是偶数和两个数都是奇数，分两类，第一类，两个数都是偶数，第二类，两个数都是奇数，又因为2+6=3+5，2+4=1+5，问题得以解决．
解答： 解：由两个相加是偶数为两个数都是偶数和两个数都是奇数，分两类，
第一类，两个数都是偶数，2+4=6，2+6=8，4+6=10，共得3个偶数
第二类，两个数都是奇数，1+3=4，1+5=6，3+5=8，共得3个偶数，
∵2+6=3+5，2+4=1+5，
∴从数字1，2，3，4，5，6中取两个相加是偶数，共得4个偶数，
故答案为：4．
点评： 本题考查了分类计数原理，关键是注意重复的偶数，属于基础题．
　
14．（5分）（2015春?锦州校级期中）=　　．
考点： 微积分基本定理．
专题： 导数的综合应用．
分析： 由=x2﹣x．利用微积分基本定理即可得出．
解答： 解：∵=x2﹣x．
∴原式===．
故答案为：．
点评： 本题考查了微积分基本定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．
　
15．（5分）（2015春?锦州校级期中）（6+2i）﹣（3i﹣1）=　7﹣i　．
考点： 复数代数形式的加减运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 由复数代数形式的加减运算法则化简可得．
解答： 解：（6+2i）﹣（3i﹣1）
=6+2i﹣3i+1
=7﹣i
故答案为：7﹣i
点评： 本题考查复数代数形式的加减运算，属基础题．
　
16．（5分）（2014秋?南安市校级期末）要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为　cm　．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 设出圆锥的高，求出底面半径，推出体积的表达式，利用导数求出体积的最大值时的高即可．
解答： 解析：设圆锥的高为h cm，
∴V圆锥=π（400﹣h2）×h，
∴V′（h）=π（400﹣3h2）．令V′（h）=0，
得h2=，∴h=（cm）
当0＜h＜时，V′＞0；
当＜h＜20时，V′＜0，
∴当h=时，V取最大值．
故答案为： cm．
点评： 本题考查旋转体问题，以及利用导数求函数的最值问题，考查计算能力，是中档题．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（10分）（2015春?锦州校级期中）求下列函数的导数．
（1）f（x）=+6
（2）f（x）=（5x﹣4）cosx．
考点： 导数的乘法与除法法则．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 根据导数的运算法则进行求导即可．
解答： 解：（1）．
（2）f（x）′=（（5x﹣4）cosx）′=5cosx﹣5xsinx+4sinx．
点评： 本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．
　
18．（12分）（2015春?锦州校级期中）已知Z1=2+i，Z2=，求，|Z1|，Z2．
考点： 复数代数形式的混合运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 根据共轭复数的定义和复数模的公式求出、|Z1|，由复数代数形式的乘除运算化简Z2．
解答： 解：由题意知，Z1=2+i，
∴=2﹣i，，
=．
点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数和复数相等的定义，以及化简、计算能力．
　
19．（12分）（2015春?锦州校级期中）某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
考点： 计数原理的应用．
专题： 计算题．
分析： （1）任选一个人去献血，在O型血中选1人有28种不同的选法，从A型血中有7种不同的选法，从B型血的人中有9种不同的选法，从AB型血中选1人有3种不同的选法．根据分类计数原理得到结果．
（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，在这四种不同的血型中分别有28，7，9，3种结果，用分步计数原理得到结果．
解答： 解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血中选1人有7种不同的选法，
从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
（1）任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，
这件“任选1人去献血”的事情都可以完成，
∴用分类计数原理．有28+7+9+3=47种不同选法．
（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，
这种“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理．
有28×7×9×3=5292种不同选法．
点评： 本题考查分类计数原理和分步计数原理，把这两个原理进行比较，同学们要认真体会这两种原理的使用条件．
　
20．（12分）（2012?重庆）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
专题： 综合题．
分析： （Ⅰ） 求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，（x＞0），=，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值．
解答： 解：（Ⅰ） 求导函数可得
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
∴f′（1）=0，∴，
∴a=﹣1；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，（x＞0）
=
令f′（x）=0，可得x=1或x=（舍去）
∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3．
点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性与极值，正确求导是关键．
　
21．（12分）（2015春?锦州校级期中）考察下列各式
2=2×1
3×4=4×1×3
4×5×6=8×1×3×5
5×6×7×8=16×1×3×5×7
你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？
考点： 归纳推理．
专题： 推理和证明．
分析： 根据所给的等式归纳出左边、右边的规律，按照此规律猜想出一般性的结论，再利用数学归纳法进行证明即可．
解答： 解：由题意得，2=2×1，3×4=4×1×3，4×5×6=8×1×3×5，
5×6×7×8=16×1×3×5×7，…
猜想：（n+1）（n+2）（n+3）…2n=2n×1×3×5…（2n﹣1），
下面利用数学归纳法进行证明，
证明：（1）当n=1时，显然成立；
（2）假设当n=k时等式成立，即（k+1）（k+2）（k+3）…2k=2k×1×3×5…（2k﹣1），
那么当n=k+1时，（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）…2（k+1）
=
=
=2k+1×1×3×5…[2（k+1）﹣1]
所以当n=k+1时等式成立．
根据（1）（2）可知对任意正整数等式均成立．
点评： 本题考查了归纳推理，以及数学归纳法证明与正整数有关的结论，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题．
　
22．（12分）（2012?商丘三模）已知函数f（x）=﹣2x2+lnx．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
专题： 计算题．
分析： （I）先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x的值，再根据导函数的正负判断函数的单调性，进而确定极值．
（II）已知函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，即f′（x）≥0在区间[1，2]上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
解答： 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=3x﹣2x2+lnx，定义域为（0，+∞）．…（1分）
（x＞0），…（3分）
当x∈（0，1），f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；．
当x∈（1，+∞），f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，…（5分）
∴f（x）有极大值f（1）=1，无极小值．…（6分）
（Ⅱ），…（7分）
∵函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，
∴x∈[1，2]时，恒成立．
即 在[1，2]恒成立，…（9分）
令，因函数h（x）在[1，2]上单调递增，
所以，即，…（11分）
解得，即a的取值范围是．…（12分）
点评： 本题考查利用导数研究函数的极值和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．