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全市2023~2024学年度第一学期期末教学质量监测考试
高二数学试题
特别提示：
1.本卷为数学试题单，共22个题，共4页：
2.考试采用闭卷形式、川笔在特例答题卡上答题，不能在本题单上作答：
3.答题时请仔细阅读答题卡上的注意事项，并根据本题单的编号在答题卡上找到答
题的对应位置，用规定的笔书写。
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
,项是符合题目要求的，
1.直线√5x+y-2024=0的倾斜角是
A君
B哥
C.
π
5元
D.
2.已知数列{an}满足点(n,a)在直线y=2x-1土，则a2=
A.3
B.2
C.1
D.0
3.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1，则点F到1的距离为
A.1
B.2
C.25
D.4
4.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连
串直角三角形演化而成的，其中OA=A4=A,A=…=A,A=1,如果把图2中的直
角三角形继续作下去，记OA1,OA2,…,OAn的长度构成的数列为{an},则a10=
A.
10
B.1
C.10
ICME-7
D.100
图1
图2
高二数学试题第1页共4页
5.P:a,b,c是三个不共面的单位血q:{a,b,c可为容血的一个基的，则D是g的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知双曲线C:
916
=1的左焦点为F,点P在双线C的右支上，M为线段FP
的中点，若M到坐标原点的距离为7，则1PF
A.8或20
B.20
C.6或29
D.22
7.如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在
BC上，设MN=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=
1
A.3
B.2
c
D.1
安顺
8.已知椭圆C:
京+=1(a>b>0)的上顶点为P,左焦点为F,直线PP与C的男一
x2,y2
高二
个交点为Q,若|PF=3|QF|,则C的离心率e=
A
B.3
3
c
D.②
2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.数列{a,}的通项公式为a,=
(n+D’
其前n项和为Sn,则下列说法一定正确的是
A.数列{an}是递增数列
B.数列{an}是递减数列
C.品的最小值为号
D.Sn有可能大于1
10.已知两直线：2mx+y-2m+1=0,1,2:x-my-m-2=0(m∈R),则下列说法正确
的是
A.对任意实数m,直线1,2的方向向量都不可能平行
B.存在实数m,使直线l1垂直于x轴
C.存在实数m,使直线1,2互相垂直
D.当m=0时，直线2的方向向量不存在
11.如图，在正方体ABGD-AB,CD中，点O为线段BD的中与，点P在线段CC1上，下
列说油正确的是
D
A.A1D与平面ABCD所成角为60°
B.平面ABD与平面ABD的夹角的余弦值为
3
C.当点P是线段CC,的中点时，OP⊥平面ABD
D.当点P与点C重合时，点P到平面ABD的距离最小
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高二数学参考答案
一．单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C A B B D
二．多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。）
题号 9 10 11 12
答案 BC AC BCD ABC
三．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2 2
13．3 14 x y． 10 15．（1）（2） 16． 1
9 18
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分 12 分)
解：（1）根据题意有 a2 a1 4 3 4，
因为 a2 2是 a1 和 a2 6 的等差中项
所以 2(3 4 2) 3 (3 4 6)，解得 3． …………………………5分
（2）由（1）知 an 1 3an 4 ，
所以 an 1 2 3an 6 3(an 2) ，
a 2
又 a1 2 3 2 1 0
n 1
，所以 3a （常数）n 2
所以数列{an 2}是以1为首项，以3为公比的等比数列． …………………9 分
则 a 2 3n 1，所以 a 3n 1n n 2． ………………………………10 分
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{#{QQABaQIQogAAABBAAAgCEwHKCkCQkBACCCoGhEAMIAAAyAFABAA=}#}
18．(本小题满分 12 分)
解：（1）易知圆 C 的圆心坐标为C 1 , 0 ，半径 r 2 5 ． ………………………………1 分
由直线线 l与圆 C 无公共点知，圆心C 1 , 0 到直线 l： 2x y m 2 0的距离
d | 2 m 2 | |m | r 2 5 m 10
22 2 5 或m 10． …………………5分 1
故实数m的取值范围是m 10或m 10． ……………………………6 分
（2）由题意知，半径CA，CB互相垂直，△ ABC为等腰直角三角形．…………7分
|m |
又圆心C 1 , 0 到直线 l：2x y m 2 0的距离为 d ，
5
|m |
所以 r 2d ，即 2 2 5 ，解得：m 5 2 ． ……………………12 分5
19．(本小题满分 12 分)
解：（1）设点 P的坐标 P x , y ，由题设及抛物线的定义可知，
点 P的轨迹为以 F 2 , 0 焦点，准线方程为 x 2 0抛物线，
2
故点 P的轨迹C的方程为： y 8x． ………………………………4分
（2 2）由（1）得，曲线C的方程为： y 8x．
由题设可知，直线 l的斜率必不为0 ，故设 l： x my 8，
x my 8 2
由 得： y 8my 64 0． ………………………………7分
y
2 8x
设 A x1 , y1 ， B x2 , y2 ，则 y1y2 64，
2 2 2
x x y 1 y2 y y 1 2 1 2 64 ． ………………………………10 分8 8 64
所以，OA OB x 1x2 y 1y2 64 64 0 ，故OA OB． ……………………12 分
高二数学答案 第 2 页 共 4 页
{#{QQABaQIQogAAABBAAAgCEwHKCkCQkBACCCoGhEAMIAAAyAFABAA=}#}
20．(本小题满分 12 分)
解：（1）如图，以 A为原点，以 AC , AB, AA1分别为 x, y, z轴建立
z
空间直角坐标系 Axyz．
则 A(0, 0, 0)， A1(0, 0, 3) ，C(2, 0, 0) ， P( 2, 2, 3)
3
当 E 是线段 BB1的中点时， E(0, 2, )2
AE (0, 2, 3
y
) ， A1C (2, 0, 3)2
9 x
0 0
则 cos AE, A1C
9 13
2
9 654 4 9
4
AE AC 9 13所以异面直线 与 1 所成角的余弦值为 ．………………………………6分65
（2）设 BE h (0≤h≤3)
设平面 A1CP的法向量为 n (x, y, z)
又 A1C (2, 0, 3) ， A1P ( 2, 2, 0)， AE (0, 2, h)
A1C n 2x 3z 0
所以 ，令 x 3，得 n (3, 3, 2)
A1P n 2x 2y 0
若 AE 平面 A1CP，则 AE n 0 3 2 ( 3) 2h 0 ，解答 h 3．
所以在线段 BB1上存在点 E，使得 AE 平面 A1CP，此时 BE 3．………12 分
21．(本小题满分 12 分)
S 2n nn 1
解（1）因为 2 ，
所以 S 2n 1 n 1n 1 1 (n≥ 2, n N*) . ……………………………1 分2
n
所以 an Sn Sn 1 (2
n 1) (2n 1 n 1 1 1) 2n 1 (n≥ 2, n N*) ．…3分
2 2 2
a S 2 1 1 1又 1 1 也满足上式2 2
所以数列{an }的通项公式为 an 2
n 1 1 (n N*) ．……………………………5分
2
（2）由（1）知 n 2an 1 n 2n 1 1 n2n………………………7分
所以 Tn 1 2 2 2
2 3 23 ... n 2n
2T 2 3 4n 1 2 2 2 3 2 ... n 2
n 1．……………………………9分
,作差，Tn 2 2
2 23 ... 2n n2n 1 (n 1)2n 1 2…………………………12 分
22．(本小题满分 12 分)
高二数学答案 第 3 页 共 4 页
{#{QQABaQIQogAAABBAAAgCEwHKCkCQkBACCCoGhEAMIAAAyAFABAA=}#}
解：（1）由题设得， a 2b，
4 1
又椭圆C经过点D 2 , 1 ，所以 2 1，a b2
a2 4b2
由 4 1 解得： 2 ， 2 ．
2 2 1
a 8 b 2
a b
x2 y2
故椭圆C的方程为： 1． ………………………………5 分
8 2
2 2
（2）设 P x0 , y0 x0 0 , y0 0 x0 y，则 0 1，即 x2 2
8 2 0
4y0 8．
又 A 2 2, 0 ，B 0, 2 ，
y0 2 2yPA 0所以直线 的方程为 lPA： y x 2 2 ，令 ，得 y ，x0 2 2 x 0 M x0 2 2
2 2y 2x 2 2y 4
从而 | BM | 2 yM 2 0 0 0 ；………………7分x0 2 2 x0 2 2
l y 2 2x直线 PB的方程为 PB ： y 0 x 2 ，令 y 0
0
，得 xN ，x0 y0 2
| AN | 2 2 x 2 2 2x0 2x0 2 2y0 4从而 N ．………………9 分y0 2 y0 2
因为 AN BM ，所以四边形 ABNM S 1的面积 | AN | | BM | ，
2
1
2
2x0 2 2y0 4 1 2x2 2
即 S 0 8y0 8x0 y0 8 2x0 16 2y0 16
2 x0 2 2 y 2 20 x0 y0 2x0 2 2y0 4
1 8x
0
y0 8 2x0 16 2y0 32 4．
2 x0 y0 2x0 2 2y0 4
故四边形 ABNM 的面积为定值 4 ．………………………………12 分
高二数学答案 第 4 页 共 4 页
{#{QQABaQIQogAAABBAAAgCEwHKCkCQkBACCCoGhEAMIAAAyAFABAA=}#}
