2014-2015学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

2014-2015学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（文科）
　
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2013春?红岗区校级期末）复数的值是（　　）
　 A． 2i B． ﹣2i C． 2 D． ﹣2
考点： 复数代数形式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 先由完全平方和公式把等价转化为1+﹣1，由此能求出其结果．
解答： 解：=1+﹣1
==﹣2i．
故选B．
点评： 本题考查复数的代数形式，解题时要认真审题，仔细解答，注意完全平方和公式的合理运用．
　
2．（5分）（2013秋?任城区校级期末）若f（x）=2cosα﹣sinx，则f′（α）等于（　　）
　 A． ﹣sinα B． ﹣cosα C． ﹣2sinα﹣cosα D． ﹣3cosα
考点： 导数的运算．
专题： 导数的综合应用．
分析： 根据函数的导数公式，直接即可得到结论．
解答： 解：∵f（x）=2cosα﹣sinx，
∴f'（x）=﹣cosx，
即f′（α）=﹣cosα，
故选：B．
点评： 本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，注意2cosα是常数，不是余弦函数．
　
3．（5分）（2014春?和县校级期末）按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（　　）
　 A． 6 B． 21 C． 156 D． 231
考点： 程序框图．
专题： 图表型．
分析： 根据程序可知，输入x，计算出 的值，若≤100，然后再把 作为x，输入 ，再计算 的值，直到 ＞100，再输出．
解答： 解：∵x=3，
∴=6，
∵6＜100，
∴当x=6时，=21＜100，
∴当x=21时，=231＞100，停止循环
则最后输出的结果是 231，
故选D．
点评： 此题考查的知识点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．
　
4．（5分）（2014?奎文区校级模拟）在独立性检验中，统计量Χ2有两个临界值：3.841和6.635．当Χ2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当Χ2≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算Χ2=20.87．根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（　　）
　 A． 有95%的把握认为两者有关 B． 约有95%的打鼾者患心脏病
　 C． 有99%的把握认为两者有关 D． 约有99%的打鼾者患心脏病
考点： 独立性检验的应用．
专题： 阅读型．
分析： 这是一个独立性检验理论分析题，根据K2的值，同所给的临界值表中进行比较，可以得到有99%的把握认为打鼾与心脏病有关．
解答： 解：∵计算Χ2=20.87．
有20.87＞6.635，
∵当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，
故选C．
点评： 考查独立性检验的应用，是一个典型的问题，注意解题时数字运算要认真，不要出错，本题不需要运算直接考查临界值对应的概率的意义．
　
5．（5分）（2015春?菏泽期中）如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（　　）?
　 A． B． C． D．
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的图象．
专题： 导数的综合应用．
分析： 解：由图象知f（﹣1）=f（0）=f（2）=0，解出 b、c、d的值，由x1和x2是f′（x）=0的根，使用根与系数的关系得到x1+x2=，x1?x2=﹣，则由x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1?x2 代入可求得结果．
解答： 解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，﹣1+b﹣c+d=0，0+0+0+d=0，
8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2
∴f′（x）=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2． 由题意有x1和x2是函数f（x）的极值，
故有x1和x2是f′（x）=0的根，∴x1+x2=，x1?x2=﹣．
则x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1?x2=+=
故选：A．
点评： 本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数，属中档题．
　
6．（5分）（2015春?菏泽期中）有下列关系：①正方体的体积与棱长；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是（　　）
　 A． ①②③ B． ①② C． ②③ D． ③④
考点： 两个变量的线性相关．
专题： 概率与统计．
分析： 相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，①②是一种函数关系，③④中的两个变量具有相关性．
解答： 解：∵相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，
①②是一种函数关系，③④中的两个变量具有相关性，
∴具有相关关系的有：③④．
故选：D．
点评： 判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系．
　
7．（5分）（2014?奎文区校级模拟）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°．
正确顺序的序号为（　　）
　 A． ①②③ B． ③①② C． ①③② D． ②③①
考点： 反证法与放缩法．
专题： 推理和证明．
分析： 根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确．第二步得出矛盾：A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；第三步下结论：所以一个三 角形中不能有两个直角．从而得出正确选项．
解答： 解：根据反证法的证法步骤知：
假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°正确，
A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角．
故顺序的序号为③①②．
故选：B．
点评： 反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．
　
8．（5分）（2013?山东模拟）设函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 函数的单调性与导数的关系．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．
解答： 解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，
∵函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，
∴f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x≤0在区间（0，4）上恒成立
当k=0时，成立
k＞0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤
k＜0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0
故k的取值范围是k≤
故选D．
点评： 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．
　
9．（5分）（2015春?菏泽期中）如图所示是y=f（x）的导数图象，则正确的判断是（　　）
①f（x）在（﹣3，1）上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；
③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x=2是f（x）的极小值点．
　 A． ①②③ B． ②③ C． ③④ D． ①③④
考点： 利用导数研究函数的单调性．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 根据图象求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，进而得到答案．
解答： 解：由图象得：f（x）在（﹣3，﹣1）递减，在（﹣1，2）递增，在（2，4）递减，（4，+∞）递增，
∴x=﹣1是f（x）的极小值点，x=2是f（x）的极大值点，
故②③正确，
故选：B．
点评： 本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，本题是一道基础题．
　
10．（5分）（2014?陕西一模）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=（　　）
　 A． B．
　 C． D．
考点： 类比推理．
专题： 探究型．
分析： 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．
解答： 解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R=
故选C．
点评： 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
　
二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中横线上）
11．（5分）（2012?伊宁县校级模拟）垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程是
　3x+y+6=0　
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 欲求切线方程，只须求出切点坐标即可，设切点为P（a，b），先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出等式求出a，b值．从而问题解决．
解答： 解：设切点为P（a，b），函数y=x3+3x2﹣5的导数为y′=3x2+6x
切线的斜率k=y′|x=a=3a2+6a=﹣3，得a=﹣1，代入到y=x3+3x2﹣5，
得b=﹣3，即P（﹣1，﹣3），y+3=﹣3（x+1），3x+y+6=0．
故答案为：3x+y+6=0．
点评： 本小题主要考查互相垂直的直线的斜率间的关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
　
12．（5分）（2015春?菏泽期中）已知x，y∈R，x+y＜2则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为　x　　y都大于1　．
考点： 数学归纳法．
专题： 推理和证明．
分析： x，y中至多有一个大于1的反面为：x，y都大于1，即可得出．
解答： 解：已知x，y∈R，x+y＜2则x，y中至多有一个大于1，
在用反证法证明时，假设应为 x，y都大于1．
故答案为：x，y都大于1．
点评： 本题考查了反证法的应用，考查了推理能力，属于中档题．
　
13．（5分）（2015?南昌校级模拟）若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是　﹣1＜m≤0　．
考点： 函数单调性的性质．
分析： 若函数变形为，只要考查函数就行了．
解答： 解：∵函数变形为，
设，只要g（x）是单调减函数即可．
画出g（x）的图象：
∵
解得﹣1＜m≤0
故填﹣1＜m≤0．
点评： 研究函数的性质是解决问题的关键，此函数的性质为解决许多问题提供了帮助．
　
14．（5分）（2008?江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为　　．
考点： 归纳推理；等比数列的前n项和．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．
解答： 解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．
前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，
即为．
点评： 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
　
15．（5分）（2014?碑林区校级模拟）已知f（x）=（2x﹣x2）ex，给出以下四个结论：
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（﹣）是极小值，f（）是极大值；
③f（x）没有最小值，也没有最大值；
④f（x）有最大值，没有最小值．
其中判断正确的是　①②④　．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： 令f（x）＞0可解x的范围；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确，④正确．从而得到答案．
解答： 解：由f（x）＞0可得（2x﹣x2）ex＞0
∵ex＞0，∴2x﹣x2＞0，∴0＜x＜2，故①正确；
f′（x）=ex（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，
由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜，
∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；单调增区间为（﹣，）．
∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故②正确．
∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立．
∴f（x）无最小值，但有最大值f（）
∴③不正确，④正确．
故答案为：①②④．
点评： 本题的考点是利用导数研究函数的极值，主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．
　
三、解答题（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
16．（12分）（2015春?菏泽期中）已知复数z=，若z2+az+b=1﹣i，
（1）求z；
（2）求实数a，b的值．
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： （1）对已知z化简解得；
（2）利用复数相等，得到关于a，b 的方程解之．
解答： 解：（1）z===1+i；
（2）因为z2+az+b=1﹣i，所以（1+i）2+a（1+i）+b=1﹣i，即（a+b）+（2+a）i=1﹣i，
解得．
点评： 本题考查了复数的运算以及复数相等求参数，属于基础题．
　
17．（12分）（2015春?菏泽期中）某人酷爱买彩票，一次他购买了1000注的彩票，共有50注中奖，于是他回到家对彩票的号码进行了分析，分析后又去买了1500注的彩票，有75注中奖．请分析他对号码的研究是否对中奖产生了大的影响．
考点： 独立性检验的应用．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 列出对应的2×2列联表，计算观测值，与临界值比较，即可得出结论．
解答： 解：根据题意可知购买1000注的彩票，中奖50注，未中奖的有950注；购买1500注彩票，中奖75注，未中奖的有1425注．
列出对应的2×2列联表如下：
中奖注数 未中奖注数 总计
未分析 50 950 1000
分析后 75 1425 1500
总计 125 2375 2500
假设H0：对彩票号码的研究与中奖无关．
由表中数据，得K2的观测值为=0．
因为0＜2.706，所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关．
点评： 本题考查独立性检验，考查学生利用数学知识解决实际问题，利用公式计算观测值是关键．
　
18．（12分）（2015春?菏泽期中）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图；
（2）求回归直线方程；
（3）试预测广告支出为10百万元时，销售额多大？
（注：b=，a=．
考点： 线性回归方程．
专题： 应用题；概率与统计．
分析： （1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．
（2）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．
（3）将x=10代入回归直线方程求出y的值即为当广告费支出10（百万元）时的销售额的估计值．
解答： 解：（1）根据表中所列数据可得散点图如图：
（2）=5，=50，=145，=13500，xiyi=1380，
∴b==6.5，a=50﹣6.5×5=17.5，
∴y=6.5x+17.5；
（3）x=10时，y=6.5×10+17.5=82.5（百万元）．
点评： 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．
　
19．（12分）（2015春?菏泽期中）已知正数a，b，c，d满足a+b=c+d，且a＜c≤d＜b，求证：．
考点： 综合法与分析法(选修）．
专题： 证明题．
分析： 只需证明，只需证明ab＜cd，只需证明 b（a﹣c）＜c（d﹣b），只需证明（a﹣c）（b﹣c）＜0． 由于 a﹣c＜0，故只需证明b﹣c＞0，而b﹣c＞0显然成立．
解答： 证明：要证明，只需证明，
需证明．∵a+b=c+d，故只需证明ab＜cd，
需证明ab﹣bc＜cd﹣bc，只需证明 b（a﹣c）＜c（d﹣b）．∵a+b=c+d，即（a﹣c）=（d﹣b），
只需证明（a﹣c）（b﹣c）＜0．∵a﹣c＜0，需证明b﹣c＞0，
而b﹣c＞0显然成立，∴．证毕．
点评： 本题考查用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，是解题的关键．
　
20．（13分）（2014秋?鲤城区校级期末）已知函数f（x）=2x3﹣3x2+3．
（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的综合应用．
分析： （1）将x=2分别代入原函数解析式和导函数解析式，求出切点坐标和切线斜率，由点斜式可得曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则﹣m值在函数两个极值之间，利用导数法求出函数的两个极值，可得答案．
解答： 解：（1）当x=2时，f（2）=7
故切点坐标为（2，7）
又∵f′（x）=6x2﹣6x．
∴f′（2）=12
即切线的斜率k=12
故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣7=12（x﹣2）
即12x﹣y﹣17=0
（2）令f′（x）=6x2﹣6x=0，解得x=0或x=1
当x＜0，或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
故当x=0时，函数f（x）取极大值3，
当x=1时，函数f（x）取极小值2，
若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则2＜﹣m＜3，即﹣3＜m＜﹣2
故实数m的取值范围为（﹣3，﹣2）
点评： 本题考查的知识点是利用导数求曲线上过某点的切线方程，函数的极值，函数的零点，熟练掌握利用导数求切点斜率及极值是解答的关键．
　
21．（14分）（2015春?胶州市期中）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 导数的概念及应用．
分析： （1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；
（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max=g（e）=e+1．
利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．
解答： 解：（1）∵，g（x）=x+lnx，
∴，其定义域为（0，+∞），
∴．
∵x=1是函数h（x）的极值点，
∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．
∵a＞0，∴．
经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，
∴；
（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于
对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．
当x∈[1，e]时，．
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．
∴[g（x）]max=g（e）=e+1．
∵，且x∈[1，e]，a＞0．
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，
∴函数在[1，e]上是增函数，
∴．
由1+a2≥e+1，得a≥，
又0＜a＜1，∴a不合题意；
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则，
若a＜x≤e，则．
∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[f（x）]min=f（a）=2a．
由2a≥e+1，得a≥，
又1≤a≤e，∴≤a≤e；
③当a＞e且x∈[1，e]时，，
∴函数在[1，e]上是减函数．
∴．
由≥e+1，得a≥，
又a＞e，∴a＞e；
综上所述：a的取值范围为．
点评： 本题是一道关于导数的综合题，考查极值、最值等基本知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．