2014-2015学年山东省青岛市胶州市高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

2014-2015学年山东省青岛市胶州市高二（下）期中数学试卷（理科）
　
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（5分）（2015春?胶州市期中）甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有（　　）
　 A． 6种 B． 12种 C． 30种 D． 36种
考点： 排列、组合及简单计数问题．
专题： 计算题；排列组合．
分析： 直接利用乘法原理，可得结论．
解答： 解：∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，
∴由乘法原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3=12种．
故选：B．
点评： 本题考查排列组合知识，正确分步是解题的关键．
　
2．（5分）（2005?广东）函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（　　）
　 A． （2，+∞） B． （﹣∞，2） C． （﹣∞，0） D． （0，2）
考点： 利用导数研究函数的单调性．
专题： 计算题．
分析： 求出f′（x）令其小于0即可得到函数是减函数的区间．
解答： 解：由f′（x）=3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2
∴函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（0，2）．
故答案为D．
点评： 考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．
　
3．（5分）（2013秋?黄州区校级期末）已知函数f（x）=（x﹣3）ex，则f′（0）=（　　）
　 A． 2 B． ﹣2 C． 3 D． 4
考点： 导数的运算．
专题： 导数的综合应用．
分析： 根据函数的导数公式直接进行求导，然后即可求f'（0）的值．
解答： 解：∵f（x）=（x﹣3）ex，
∴f'（x）=ex+（x﹣3）ex=（x﹣2）ex，
∴f'（0）=（0﹣2）e0=﹣2，
故选：B．
点评： 本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则，比较基础．
　
4．（5分）（2014春?城关区校级期末）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（　　）
　 A． B． ﹣
　 C． D． ﹣
考点： 计数原理的应用．
专题： 排列组合．
分析： 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的对立事件是没有次品，
没有次品的事件有C943，得到至少有1件次品的不同取法用所有减去不合题意的．
解答： 解：在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，
共有C1003种结果，
至少有1件次品的对立事件是没有次品，
没有次品的事件有C943，
∴至少有1件次品的不同取法有C1003﹣C943，
故选：B．
点评： 本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题时可以从正面来考虑，至少有一件次品包括有一件次品，有两件次品，有三件次品，分别写出结果再相加．
　
5．（5分）（2014?金州区校级模拟）设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（　　）
　 A． 9x﹣y﹣16=0 B． 9x+y﹣16=0 C． 6x﹣y﹣12=0 D． 6x+y﹣12=0
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 先由求导公式求出f′（x），根据偶函数的性质，可得f′（﹣x）=f′（x），从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．
解答： 解：f′（x）=3x2+2ax+（a﹣3），
∵f′（x）是偶函数，
∴3（﹣x）2+2a（﹣x）+（a﹣3）=3x2+2ax+（a﹣3），
解得a=0，
∴f（x）=x3﹣3x，f′（x）=3x2﹣3，则f（2）=2，k=f′（2）=9，
即切点为（2，2），切线的斜率为9，
∴切线方程为y﹣2=9（x﹣2），即9x﹣y﹣16=0．
故选：A．
点评： 本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
　
6．（5分）（2013秋?临淄区校级期末）下列函数中x=0是极值点的函数是（　　）
　 A． f（x）=﹣x3 B． f（x）=﹣cosx C． f（x）=sinx﹣x D． f（x）=
考点： 函数在某点取得极值的条件．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 结合极值的定义，分别判断各个函数是否满足（﹣∞，0）与（0，+∞）有单调性的改变，若满足则正确，否则结论不正确．
解答： 解：A、y′=﹣3x2≤0恒成立，所以函数在R上递减，无极值点
B、y′=sinx，当﹣π＜x＜0时函数单调递增；当0＜x＜π时函数单调递减且y′|x=0=0，故B符合
C、y′=cosx﹣1≤0恒成立，所以函数在R上递减，无极值点
D、y=在（﹣∞，0）与（0，+∞）上递减，无极值点
故选B
点评： 本题主要考查了极值的定义，函数在x0处取得极值?f′（x0）=0且在的x0两侧发生单调性的改变．
　
7．（5分）（2013春?内江期末）如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x?f′（x）＜0的解集为（　　）
　 A． （﹣∞，） B． （0，） C． （，+∞） D． （﹣∞，）∪（0，）
考点： 导数的运算；函数的图象．
专题： 数形结合法．
分析： 先从原函数的极值点处得出导数的零点，再利用导函数是二次函数的特点，结合二次函数的图象，即可解出不等式x?f′（x）＜0的解集
解答： 解：由图可知：
±是函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的两个极值点，且a＞0
即±是导函数f′（x）的两个零点，
导函数的图象如图，
当x∈时，f'（x）＞0，则x＜0，故是解集的一部分；同理也是解集的一部分．
故选D．
点评： 本小题主要考查函数的图象、一元二次不等式的解法、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
　
8．（5分）（2011?福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（　　）
　 A． 2 B． 3 C． 6 D． 9
考点： 函数在某点取得极值的条件；基本不等式．
专题： 计算题．
分析： 求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．
解答： 解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，
又因为在x=1处有极值，
∴a+b=6，
∵a＞0，b＞0，
∴，
当且仅当a=b=3时取等号，
所以ab的最大值等于9．
故选：D．
点评： 本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．
　
9．（5分）（2013?西城区一模）从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有（　　）
　 A． 60种 B． 72种 C． 84种 D． 96种
考点： 排列、组合及简单计数问题．
专题： 概率与统计．
分析： 根据题意中“甲、乙只能从事后三项工作，其余三人均能从事这四项工作”这一条件，分两种情况讨论：
①甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，由分步计数原理可得每种情况的选派方案的数目，
进而由分类计数原理，即可得答案．
解答： 解：根据题意，分两种情况讨论：
①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的
三项工作，有C21?C31?A33=36种选派方案．
②、甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的
两项工作，有C32?A22?C32?A22=36种选派方案，
综上可得，共有36+36=72中不同的选派方案，
故选B．
点评： 本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，注意根据题意中“甲、乙只能从事前三项工作，
其余三人均能从事这四项工作”这一条件，进行分类讨论，属于中档题．
　
10．（5分）（2015?郴州模拟）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
　 A． （0，+∞） B． （﹣∞，0）∪（3，+∞） C． （﹣∞，0）∪（0，+∞） D． （3，+∞）
考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
专题： 导数的综合应用．
分析： 构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
解答： 解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），
则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵exf（x）＞ex+3，
∴g（x）＞3，
又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0
故选：A．
点评： 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．
　
二、填空题（共5小题，每小题5，满分25分）
11．（5分）（2013?广宁县校级模拟）函数的导数为　　．
考点： 导数的运算．
分析： 根据导数的运算法则可得答案．
解答： 解：∵∴y'==
故答案为：
点评： 本题主要考查导数的运算法则．属基础题．求导公式一定要熟练掌握．
　
12．（5分）（2015春?胶州市期中）若（2x+k）dx=2，则k的值为　1　．
考点： 定积分．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 根据积分公式直接计算即可得到结论．
解答： 解：（2x+k）dx=（x2+kx）|=1+k=2，
解得k=1，
故答案为：1
点评： 本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，比较基础．
　
13．（5分）（2013?宣武区校级模拟）6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为　576种　．
考点： 排列、组合及简单计数问题．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 6人站成一排，总的排法种数为，甲、乙、丙3个人都站在一起的排法种数为，由此能求出6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数．
解答： 解：6人站成一排，总的排法种数为，
6人站成一排，甲、乙、丙3个人都站在一起的排法种数为，
∴6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为：
=576．
故答案为：576．
点评： 本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．
　
14．（5分）（2011?钟祥市校级模拟）已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）?（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是　（﹣1，0）　．
考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 压轴题．
分析： 根据题意，由f（x）在x=a处取到极大值，分析可得有x＜a时，f′（x）＞0，x＞a时，f′（x）＜0，分3种情况讨论x＞a时与x＜a时的f′（x）的符号，综合可得答案．
解答： 解：∵f′（x）=a（x+1）（x﹣a）且f（x）在x=a处取到极大值，
则必有x＜a时，f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0，且x＞a时，f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0，
当a≥0时，不成立，
当﹣1＜a＜0时，有x＜a时，f′（x）＞0，x＞a时，f′（x）＜0，符合题意；
当a≤﹣1时，有x＜a时，f′（x）＜0，x＞a时，f′（x）＞0，f（x）在x=a处取到极小值，
综合可得：1＜a＜0，
故答案为（﹣1，0）．
点评： 掌握函数的极值与导数的关系．
　
15．（5分）（2011秋?南京期末）设函数f（x）在其定义域D上的导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈D都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）．给出下列四个函数：
①f（x）=x3﹣x2+x+1；
②f（x）=lnx+；
③f（x）=（x2﹣4x+5）ex；
④f（x）=，
其中具有性质P（2）的函数是　①②③　．（写出所有满足条件的函数的序号）
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 导数的综合应用．
分析： 因为a=2，所以先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后将其配凑成f′（x）=h（x）（x2﹣2x+1）这种形式，分别求出h（x），然后确定h（x）是否满足对任意的x∈D都有h（x）＞0．
解答： 解：①f'（x）=x2﹣2x+1，若f′（x）=h（x）（x2﹣2x+1），即x2﹣2x+1=h（x）（x2﹣2x+1），
所以h（x）=1＞0，满足条件，所以①具有性质P（2）．
②函数f（x）=lnx+的定义域为（0，+∞）．，
所以，当x∈（0，+∞）时，h（x）＞0，所以②具有性质P（2）．
③f'（x）=（2x﹣4）ex+（x2﹣4x+5）ex=（x2﹣2x+1）ex，所以h（x）=ex，因为h（x）＞0，所以③具有性质P（2）．
④，若，
则，因为h（1）=0，所以不满足对任意的x∈D都有h（x）＞0，所以④不具有性质P（2）．
故答案为：①②③．
点评： 本题的考点是导数的运算以及通过条件求h（x），本题的关键是通过关系式确定函数h（x）的表达式，然后判断条件是否成立．运算量较大．
　
三、解答题（共6小题，满分75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
16．（12分）（2015春?胶州市期中）设函数f（x）=2x3+ax2+bx+1的图象在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为12x+y﹣2=0．
（1）求实数a、b的值；
（2）求函数f（x）的极值．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）求出导函数，然后利用切线方程，得到方程组，即可求解a，b．
（Ⅱ）求出极值点，通过列表判断函数的导函数符号，判断函数的单调性，然后求解极值．
解答： （本题满分12分）
解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+2ax+b…（1分）
因为f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为12x+y﹣2=0
所以f'（﹣1）=﹣12，f（﹣1）=14…（2分）
所以…（4分）
即：
所以…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=2x3+3x2﹣12x+1，
所以f'（x）=6x2+6x﹣12
令f'（x）=6x2+6x﹣12=0，解得：x1=﹣2，x2=1…（8分）
x （﹣∞，﹣2） ﹣2 （﹣2，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 ﹣1 0 +
f（x） ↑ 21 ↓ ﹣6 ↑
…（10分）
所以函数f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=21，
在x=1处取得极小值f（1）=﹣6．…（12分）
点评： 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及切线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．
　
17．（12分）（2011?安徽模拟）已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求b的值；
（2）求a的取值范围．
考点： 函数的单调性与导数的关系．
专题： 计算题．
分析： （1）根据函数的单调性判断出x=0是函数的一个极值点，求出函数的导函数，令f′（0）=0，求出b的值．
（2）将b的值代入f（x），将x=1代入f（x）的解析式令其值为0，得到a，c的关系，求出导函数，令导函数为0，得到函数的两个极值点，据函数的三个根，令求出a的范围．
解答： 解：（1）∵f（x）=﹣x3+ax2+bx+c
∴f'（x）=﹣3x2+2ax+b．
因为f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
所以当x=0时，f（x）取到极小值，即f'（0）=0
∴b=0．
（2）由（1）知，f（x）=﹣x3+ax2+c
∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，
∴c=1﹣a
∵f'（x）=﹣3x2+2ax=0的两个根分别为．
又∵f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴，
即．
点评： 函数在极值点处的导数值为0，导函数大于0对应函数的单调递增区间；导函数小于0对应函数的单调递减区间．
　
18．（12分）（2015春?胶州市期中）已知（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112．
（1）求m，n的值；
（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；
（3）求的展开式中含x2项的系数．
考点： 二项式定理的应用；二项式系数的性质．
专题： 计算题．
分析： （1）由题意可得 2n=256，由此解得n=8．再根据含x项的系数为 ，求得m的值．
（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为 ，再根据 二项式系数的性质求得结果．
（3），可得含x2的系数为，运算求得结果．
解答： 解：（1）由题意可得 2n=256，解得n=8．…（3分）
含x项的系数为 ，…（5分）
解得m=2，或m=﹣2（舍去）．
故m，n的值分别为2，8．…（6分）
（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为 ． …（9分）
（3），…（11分）
所以含x2的系数为．…（15分）
点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题．
　
19．（12分）（2014?商丘三模）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
考点： 函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．
专题： 计算题．
分析： （1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．
解答： 解：（1）f'（x）=﹣（x＞0）
依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．
则a≤=在x＞0恒成立，
即a≤[﹣1]min x＞0
当x=1时，﹣1取最小值﹣1
∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1]
（2）a=﹣，f（x）=﹣x+b∴
设g（x）=则g'（x）=列表：
X （0，1） 1 （1，2） 2 （2，4）
g′（x） + 0 ﹣ 0 +
g（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，
又g（4）=2ln2﹣b﹣2
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
则 ，得ln2﹣2＜b≤﹣．
点评： 本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
　
20．（13分）（2015春?胶州市期中）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 导数的概念及应用．
分析： （1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；
（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max=g（e）=e+1．
利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．
解答： 解：（1）∵，g（x）=x+lnx，
∴，其定义域为（0，+∞），
∴．
∵x=1是函数h（x）的极值点，
∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．
∵a＞0，∴．
经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，
∴；
（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于
对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．
当x∈[1，e]时，．
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．
∴[g（x）]max=g（e）=e+1．
∵，且x∈[1，e]，a＞0．
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，
∴函数在[1，e]上是增函数，
∴．
由1+a2≥e+1，得a≥，
又0＜a＜1，∴a不合题意；
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则，
若a＜x≤e，则．
∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[f（x）]min=f（a）=2a．
由2a≥e+1，得a≥，
又1≤a≤e，∴≤a≤e；
③当a＞e且x∈[1，e]时，，
∴函数在[1，e]上是减函数．
∴．
由≥e+1，得a≥，
又a＞e，∴a＞e；
综上所述：a的取值范围为．
点评： 本题是一道关于导数的综合题，考查极值、最值等基本知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
　
21．（14分）（2014春?东港区校级期末）已知函数f（x）=x2﹣3x+（a﹣1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）﹣g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；
（Ⅱ）当a=3时，求函数h（x）的单调区间及极值；
（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，函数h（x）满足＞﹣1，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算；函数在某点取得极值的条件．
专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： （I）由f（x）=x2﹣3x+（a﹣1）lnx，知=x+﹣3，x＞0，由此能求出导函数f′（x）的最小值．
（II）当a=3时，h（x）=，=，由此列表讨论能求出函数h（x）的单调区间及极值．
（III）由题意，h（x）=，（a＞1）．设x1＜x2，由＞﹣1，得h（x1）+x1＜h（x2）+x2，构造函数F（x）h（x）+x=，由此能求出实数a的取值范围．
解答： 解：（I）∵f（x）=x2﹣3x+（a﹣1）lnx，
∴=x+﹣3，x＞0，
∵a＞1，∴a﹣1＞0，
又∵x＞0，∴x+﹣3≥2﹣3，
当且仅当x=时，取等号，其最小值为．
（II）当a=3时，h（x）=，
=，
x，h′（x），h（x）的变化如下表：
x （0，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）
h′（x） + 0 ﹣ 0 +
h（x） ↑ ﹣ ↓ 2ln2﹣4 ↑
所以，函数h（x）的单调增区间是（0，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）．…（7分）
函数h（x）在x=1处取得极大值﹣，在x=2处取得极小值2ln2﹣4．…（8分）
（III）由题意，h（x）=，（a＞1）．
不妨设x1＜x2，则由＞﹣1，
得h（x1）+x1＜h（x2）+x2，
令F（x）h（x）+x=，
则函数F（x）在（0，+∞）单调递增，
=在（0，+∞）恒成立，
∵G（0）=a﹣1＞0，，
∴只需△=（a﹣1）2﹣4（a﹣1）≤0，
解得1＜a＜5，
∴实数a的取值范围是（1，5）．
点评： 本题考查函数的最小值的求法，考查函数的单调区间和极值，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．