2014-2015学年山东省潍坊市五县高二（下）期中数学试卷（理科）　（解析版）

2014-2015学年山东省潍坊市五县高二（下）期中数学试卷（理科）　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的，请将正确的选项涂写在答题卡上．
1．（5分）（2015春?潍坊期中）若f（x）=sin﹣cosx，则f′（a）等于（　　）
　 A． sinα B． cosα C． sin+cosα D． cos+sinα
考点： 导数的运算．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 利用三角函数的导数公式；将导函数中的x用α代替，求出导函数值．
解答： 解：∵f（x）=sin﹣cosx，
∴f′（x）=sinx
∴f′（α）=sinα
故选：A．
点评： 本题考查基本初等函数的导数公式：特别要注意：（cosx）′=﹣sinx，属于基础题．
　
2．（5分）（2015春?潍坊期中）5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有（　　）
　 A． A种 B． 45种 C． 54种 D． C种
考点： 计数原理的应用．
专题： 排列组合．
分析： 由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表选4个即可满足．
解答： 解：由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表选4个即可满足，故有C54种，
故选：D
点评： 本题考查简单计数原理的应用，注意理解题意，考查分析问题解决问题的能力
　
3．（5分）（2015春?潍坊期中）双曲线y=在点（2，）的切线方程是（　　）
　 A． x+y=0 B． x﹣y=0 C． x+y+1=0 D． x+y﹣1=0
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 计算题；导数的概念及应用．
分析： 先求曲线的导数，因为函数在切点处的导数就是切线的斜率，求出斜率，再用点斜式写出切线方程，再化简即可．
解答： 解：y=的导数为y′=﹣，
∴曲线y=在点（2，）处的切线斜率为﹣
切线方程是y﹣=﹣（x﹣2），
化简得，x+y﹣1=0
故选：D．
点评： 本题主要考查了函数的导数与切线斜率的关系，属于导数的应用．
　
4．（5分）（2014?大连学业考试）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则a等于（　　）
　 A． 5.1 B． 5.2 C． 5.25 D． 5.4
考点： 回归分析的初步应用．
专题： 计算题．
分析： 首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
解答： 解：∵=2.5
=3.5
线性回归方程是，
∴a==3.5+0.7×2.5=3.5+1.75=5.25
故选C．
点评： 本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．
　
5．（5分）（2015春?潍坊期中）设随机变量ξ服从正态分布N（4，5），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则实数a等于（　　）
　 A． B． C． 5 D． 3
考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=4对称，得到两个概率相等的区间关于x=4对称，得到关于a的方程，解方程即可．
解答： 解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，5），
∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），
∴2a﹣3与a+2关于x=4对称，
∴2a﹣3+a+2=8，
∴3a=9，
∴a=3，
故选：D．
点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=4对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题．
　
6．（5分）（2015春?潍坊期中）某班组织文艺晚会，准备从A，B等7个节目中选出3个节目演出，要求：A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（　　）
　 A． 84 B． 72 C． 76 D． 80
考点： 计数原理的应用．
专题： 排列组合．
分析： 分两类：第一类，A，B只有一个选中，第二类：A，B同时选中，利用加法原理即可得出结论．
解答： 解：分两类：第一类，A，B只有一个选中，则不同演出顺序有C21?C52?A33=60种情况；
第二类：A，B同时选中，则不同演出顺序有种C51?A22=20
故不同演出顺序的和数为60+20=80，
故选：D．
点评： 本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键，属于基础题．
　
7．（5分）（2015春?潍坊期中）某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ等于（　　）
　 A． B． C． D． 1
考点： 离散型随机变量的期望与方差．
专题： 概率与统计．
分析： 用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，求出期望．
解答： 解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，
当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生
∴
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴
点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点
　
8．（5分）（2015春?潍坊期中）由“0”、“1”、“2”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P（A|B）=（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 条件概率与独立事件．
专题： 概率与统计．
分析： 直接利用条件概率的计算公式求解即可．
解答： 解：∵P（B）==，P（AB）==，
∴P（A|B）==，
故选：B．
点评： 题考查了条件概率与独立事件，解答的关键是对条件概率计算公式的理解，是基础题．
　
9．（5分）（2015春?潍坊期中）若?=?（n∈N），且（2﹣x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan等于（　　）
　 A． 81 B． 27 C． 243 D． 729
考点： 二项式定理的应用．
专题： 计算题．
分析： 通过c202n+6=c20n+2（n∈N?），求出n的值，利用赋值法x=﹣1，代入（2﹣x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，化简求出a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan的值．
解答： 解：由c202n+6=c20n+2得n=4，
取x=﹣1得a0﹣a1+a2﹣+（﹣1）nan=34=81．
故选A．
点评： 本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
　
10．（5分）（2011春?泰安期末）甲乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制．现在的情形是甲胜3局，乙胜2局．若两人胜每局的概率相同，则甲获得冠军的概率为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 相互独立事件的概率乘法公式；概率的基本性质；等可能事件的概率．
专题： 计算题．
分析： 甲胜第六场的概率为 ，此时就没有必要打第七场了，甲在第六场失败但在第七场获胜的概率为 ，把这两个概率值相加，即得甲获得冠军的概率．
解答： 解：甲获得冠军时，只要在未来的2场比赛中至少胜一场即可．
由于两人胜每局的概率相同，故甲胜每一场的概率都是．
甲胜第六场的概率为 ，此时就没有必要打第七场了．
甲在第六场失败，但在第七场获胜的概率为 =，
故甲获得冠军的概率等于甲胜第六场的概率，加上甲在第六场失败但在第七场获胜的概率，即为 +=．
故选A．
点评： 本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
　
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填写在试题的横线上．
11．（5分）（2015春?潍坊期中）函数f（x）=e﹣x+lnx的导数为　e﹣x+　．
考点： 导数的运算．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 根据导数的基本公式和复合函数的求导公式即可求出．
解答： 解：∵f（x）=e﹣x+lnx，
∴f′（x）=（e﹣x+）′+（lnx）′=﹣e﹣x+，
故答案为：﹣e﹣x+．
点评： 本题考查了导数的基本公式和复合函数的求导公式，属于基础题．
　
12．（5分）（2015春?潍坊期中）已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于　　．
考点： 二项分布与n次独立重复试验的模型．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．
解答： 解：ξ服从二项分布B～（n，p）
由Eξ=7=np，Dξ=6=np（1﹣p），
可得p=，n=49．
故答案为：．
点评： 本题主要考查二项分布的期望与方差的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．
　
13．（5分）（2015?青羊区校级模拟）x（x﹣）7的展开式中，x2的系数是　﹣280　．（用数字作答）
考点： 二项式定理的应用．
专题： 二项式定理．
分析： 求出（x﹣）7的展开式，可得x（x﹣）7的展开式中x2的系数．
解答： 解：∵x（x﹣）7 =x[x7﹣14x5+84x3﹣280x+560x﹣1﹣672x﹣3+448x﹣5﹣128x﹣7]，
展开式中，x2的系数是﹣280，
故答案为：﹣280．
点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．
　
14．（5分）（2014秋?荆门期末）现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的着色方法有　180　．
考点： 计数原理的应用．
专题： 排列组合．
分析： 根据题意，从区域Ⅰ开始，依次分析区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的着色方法的数目，可得区域Ⅰ有5种选法，区域Ⅱ有4种选法，区域Ⅲ有3种选法，区域Ⅳ有3种选法，进而由分步计数原理计算可得答案．
解答： 解：根据题意，对于区域Ⅰ，有5种颜色可选，即有5种情况，
对于区域Ⅱ，与区域Ⅰ相邻，有4种颜色可选，即有4种情况，
对于区域Ⅲ，与区域Ⅰ、Ⅱ相邻，有3种颜色可选，即有3种情况，
对于区域Ⅳ，与区域Ⅱ、Ⅲ相邻，有3种颜色可选，即有3种情况，
则不同的着色方案有5×4×3×3=180种；
故答案为：180
点评： 本题考查分步计数原理的运用，是涂色问题；注意解题时认真审题，理解“有公共边的两块不能用同一种颜色”的含义．
　
15．（5分）（2015春?潍坊期中）如图，用A、B、C、D表示四类不同的元件连接成系统M．当元件A、B至少有一个正常工作且元件C、D至少有一个正常工作时，系统M正常工作．已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为：0.3、0.6、0.5、0.8，元件连接成的系统M正常工作的概率P（M）=　0.648　．
考点： 相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．
专题： 概率与统计．
分析： 根据对立事件概率间的关系，分别求出前一个系统AB正常的概率、后一个系统CD正常的概率，再相乘，即得所求．
解答： 解：前一个系统AB正常的概率为1﹣0.7×0.4=0.72，后一个系统CD正常的概率为1﹣0.5×0.2=0.9，
故这2个系统都正常的概率为 0.72×0.9=0.648，
故答案为：0.648．
点评： 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
　
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2015春?潍坊期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个满足下列条件的整数？
（Ⅰ）可以组成多少个无重复数字的四位数？
（Ⅱ）可组成多少个恰有两个相同数字的四位数？
考点： 计数原理的应用．
专题： 排列组合．
分析： （ I）本题是一个分步计数问题，组成四位数，首位不能是0，首位有5种选法，再从剩余的5个数中选3个数，根据分步计数原理得到结果；
（ II）求可组成多少个恰有两个相同数字的四位数，需要分类讨论：重复的数是0；重复的数不是0，进而进行求解．
解答： 解：（I）首位不能为0，有5种选法；再从其余的五个数字中任选三个排在其余三个位置，有A53=60种方法；
由分步乘法计数原理得可以组成的四位数有5×60=300个．
（II）分两种情况进行讨论：
第一种：数字0重复：C32A52=60，
第二种：其它数字重复：
①有0时：C32C21A31C32=180个，②有0时：C53C31A22C42=360个，
所以，共有60+180+360=600（个）．
点评： 本题考查了排列组合中的数字问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，注意数字0的双重限制，属于中档题．
　
17．（12分）（2015春?潍坊期中）已知曲线f（x）=x3+ax+b在点（2，﹣6）处的切线方程是13x﹣y﹣32=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=﹣x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的概念及应用；直线与圆．
分析： （I）求出函数的导数，由切线方程，可得f′（2）=12+a=13，f（2）=8+2a+b=﹣6，解方程可得a，b的值；
（II）设切点的坐标为（x0，y0），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标和切线方程．
解答： 解：（I）∵f（x）=x3+ax+b的导数f′（x）=3x2+a，
由题意可得f′（2）=12+a=13，f（2）=8+2a+b=﹣6，
解得a=1，b=﹣16；
（II）∵切线与直线y=﹣+3垂直，
∴切线的斜率k=4．
设切点的坐标为（x0，y0），
则f′（x0）=3x02+1=4，
∴x0=±1，
由f（x）=x3+x﹣16，可得y0=1+1﹣16=﹣14，或﹣1﹣1﹣16=﹣18．
则切线方程为y=4（x﹣1）﹣14或y=4（x+1）﹣18．
即y=4x﹣18或y=4x﹣14．
点评： 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，确定切点是解题的关键．
　
18．（12分）（2015春?潍坊期中）为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
休闲方式
性别
看电视
看书
合计
男
10
50
60
女
10
10
20
合计
20
60
80
（Ⅰ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00﹣22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？
（Ⅱ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X．求X的数学期望和方差．
P（X2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附：X2=．
考点： 独立性检验的应用．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： （Ⅰ）根据样本提供的2×2列联表，得当H0成立时，K2≥6.635的概率约为0.01，由此能推导出有99%的把握认为“在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别有关系．
（Ⅱ）由题意得：X～B（3，），由此能求出X的数学期望和方差．
解答： 解：（I）根据样本提供的2×2列联表得：X2=≈8.889＞6.635；
所以有99%的把握认为“在20：00﹣22：00时间段居民的休闲方式与性别有关．
（Ⅱ）由题意得：X～B（3，），所以E（X）=3×=，D（X）=3××=．
点评： 本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．
　
19．（12分）（2015春?潍坊期中）在二项式（x﹣）n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（Ⅰ）求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（Ⅱ）设（x﹣）n展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求p+q．
考点： 二项式定理的应用；二项式系数的性质．
专题： 综合题；二项式定理．
分析： 先求出n，可得通项公式．
（I）因为n=8，所有展开式共有9项，所以第5项的二项式系数最大；
（II）令8﹣=0得r=6，所以常数项是T7=，即p=．令x=1，可得展开式中所有项的系数和，即可得出结论．
解答： 解：前三项系数的绝对值分别是1，，．
由题设可知：2×=1+，
整理得：n2﹣9n+8=9，解得n=8或n=1（舍去）．
通项公式是Tr+1=C8r（﹣）r．
（I）因为n=8，所有展开式共有9项，所以第5项的二项式系数最大，
展开式中二项式系数最大的项的系数是C84（﹣）4=．
（II）令8﹣=0得r=6，所以常数项是T7=，即p=．
令x=1，展开式中所有项的系数和为（）8=，即q=．
所以，p+q=．
点评： 本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定展开式的通项是关键．
　
20．（13分）（2014?江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
专题： 概率与统计．
分析： （1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；
（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．
解答： 解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况
∴取出的2个球颜色相同的概率P=．
（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=
于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，
X的概率分布列为
X 2 3 4
P
故X数学期望E（X）=．
点评： 本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题．
　
21．（14分）（2015?大庆校级模拟）在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．
考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．
（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．
解答： 解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，
事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，
P（A）==，P（B）==，
媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：
P（A）=P（A）（1﹣P（B））==．
（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，
P（X=1）=P（A）+P（）+P（）
=+（1﹣）×=，
P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1﹣）×=，
P（X=3）=P（ABC）==，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
EX==．
点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．