2014-2015学年山西省临汾市浮山中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

2014-2015学年山西省临汾市浮山中学高二（下）期中数学试卷（理科）
一.选择题
1．（5分）（2012秋?房山区期末）设a，b∈R，a+bi=（1﹣i）（2+i）（为虚数单位），则a+b的值为（　　）
　 A． 0 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 复数相等的充要条件．
专题： 计算题．
分析： 根据两个复数代数形式的乘法法则以及两个复数相等的充要条件，求得a和b的值，即可求得a+b．
解答： 解：∵a+bi=（1﹣i）（2+i）=3﹣i，∴a=3，b=﹣1，∴a+b=2，
故选B．
点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相等的充要条件，属于基础题．
　
2．（5分）（2015春?浮山县校级期中）若复数z满足z（1+i）=2i，则复数z等于（　　）
　 A． 1+i B． 1﹣i C． 2+ D． 2
考点： 复数相等的充要条件．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 利用复数的运算法则即可得出．
解答： 解：∵复数z满足z（1+i）=2i，
∴==i+1．
故选：A．
点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
　
3．（5分）（2013春?海曙区校级期末）（A题）直线（t为参数）的倾斜角等于（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 直线的参数方程．
专题： 直线与圆．
分析： 把参数方程化为普通方程，求出直线的斜率，据倾斜角和斜率的关系求出倾斜角的大小．
解答： 解：直线的参数方程为 （t是参数），消去参数t得 x+y﹣2﹣=0，
∴斜率为k=﹣1，设直线的倾斜角为 α，tanα=﹣1，又 0≤α＜π，
∴α=，
故选A．
点评： 本题考查把参数方程化为普通方程的方法，直线的斜率和倾斜角的关系，斜率和倾斜角的求法．考查计算能力．
　
4．（5分）（2011秋?石景山区期末）在极坐标系中，圆ρ=﹣2cosθ的圆心的极坐标是（　　）
　 A． （1，） B． （1，﹣） C． （1，0） D． （1，π）
考点： 极坐标刻画点的位置．
专题： 计算题．
分析： 把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．
解答： 解：圆ρ=﹣2cosθ 即ρ2=﹣2ρcosθ，即 x2+y2+2x=0，即 （x+1）2+y2=1，表示以（﹣1，0）为圆心，半径等于1的圆．
而点（﹣1，0）的极坐标为（1，π），
故选D．
点评： 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求点的极坐标，属于基础题．
　
5．（5分）（2013春?黄冈期末）演绎推理“因为对数函数y=logax（a＞0，a≠1）是增函数，而函数y=logx是对数函数，所以y=logx是增函数”所得结论错误的原因是（　　）
　 A． 大前提错误 B． 小前提错误
　 C． 推理形式错误 D． 大前提和小前提都错误
考点： 演绎推理的意义．
专题： 推理和证明．
分析： 对于对数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，对数函数是一个减函数，对数函数y=logax（a＞0且a≠1）是增函数这个大前提是错误的．
解答： 解：∵当a＞1时，函数y=logax（a＞0且a≠1）是一个增函数，
当0＜a＜1时，此函数是一个减函数
∴y=logax（a＞0且a≠1）是增函数这个大前提是错误的，
从而导致结论错．
故选A
点评： 本题考查演绎推理的基本方法，考查对数函数的单调性，是一个基础题，解题的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的．
　
6．（5分）（2015春?浮山县校级期中）用反证法证明“若a+b+c＜3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为（　　）
　 A． 假设a，b，c至少有一个大于1 B． 假设a，b，c都大于1
　 C． 假设a，b，c至少有两个大于1 D． 假设a，b，c都不小于1
考点： 反证法与放缩法．
专题： 证明题；推理和证明．
分析： 考虑命题的反面，即可得出结论．
解答： 解：由于命题：“若a，b，c中至少有一个小于1”的反面是：“a，b，c都不小于1”，
故用反证法证明“若a+b+c＜3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为“a，b，c都不小于1”，
故选：D．
点评： 此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
　
7．（5分）（2015?赫章县校级模拟）用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（　　）
　 A． （k+1）2+2k2 B． （k+1）2+k2
　 C． （k+1）2 D．
考点： 数学归纳法．
专题： 计算题．
分析： 根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．
解答： 解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12
n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12
比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2
故选B．
点评： 本题的考点是数学归纳法，主要考查由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子，关键是理清等式左边的特点．
　
8．（5分）（2014春?咸宁期末）水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由水以恒速注入，所以根据个图形的形状变化，即可确定水高度h的变化速度，即可确定答案．
解答： 解：体积由下到上越来越小，
∴水高度h是升高的速度越来越快，
∴所对应的水高度h和时间t的函数关系图象是A；
故选：A
点评： 本题考查了利用函数图象来描述实际问题的知识．此题难度不大，解题的关键是理解题意，掌握数形结合思想的应用．
　
9．（5分）（2014?莘县校级模拟）函数的最大值为（　　）
　 A． e﹣1 B． e C． e2 D．
考点： 函数在某点取得极值的条件．
专题： 计算题．
分析： 先找出导数值等于0的点，再确定在此点的左侧及右侧导数值的符号，确定此点是函数的极大值点还是极小值点，
从而求出极值．
解答： 解：令，
当x＞e时，y′＜0；
当x＜e时，y′＞0，，
在定义域内只有一个极值，
所以，
故答案选 A．
点评： 本题考查求函数极值的方法及函数在某个点取得极值的条件．
　
10．（5分）（2015春?浮山县校级期中）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（2﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）
　 A． 函数f（x）有极大值f（1）和极小值f（﹣1）
　 B． 函数f（x）有极大值f（1）和极小值f（2）
　 C． 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）
　 D． 函数f（x）有极大值f（﹣1）和极小值f（2）
考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 先判断出各个区间上的导数的符号，再判断出函数的单调区间，从而求出极值．
解答： 解：①x＜﹣1时，2﹣x＞0，y＜0，∴f′（x）＜0，
②﹣1＜x＜1时，2﹣x＞0，y＞0，∴f′（x）＞0，
③1＜x＜2时，2﹣x＞0，y＜0，∴f′（x）＜0，
④x＞2时，2﹣x＜0，y＞0，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，2）上递减，在（﹣1，1），（2，+∞）递增，
∴f（﹣1）是极小值，f（1）是极大值；
故选：A．
点评： 本题考察了函数的单调性，求函数的极值问题，是一道基础题．
　
11．（5分）（2015春?浮山县校级期中）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x+3的最小距离为（　　）
　 A． 1 B． C． D．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的概念及应用；直线与圆．
分析： 设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x+3的最小距离．
解答： 解：过点P作y=x+3的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，
设P（x0，x02﹣lnx0）则有：
k=y′|x=x0=2x0﹣．
∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．
∴P（1，1），
∴d==．
故选：C．
点评： 本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，属于中档题．
　
12．（5分）（2015春?浮山县校级期中）四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1、2、3、4号位置上（如图），第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔的位置对应的是（　　）
　 A． 编号1 （开始） B． 编号2 （第1次） C． 编号3 （第2次） D． 编号4（第3次）
考点： 归纳推理．
专题： 推理和证明．
分析： 由题意和图设每次变换后的小兔座位编号为an，原来的座位编号为a0=2，由图依次求出数列的前6项，找出数列的周期，根据周期性求出a2014．
解答： 解：由图得，小兔原来的座位编号为a0=2，
设每次变换后的小兔座位编号为an，
则a1=4，a2=3，a3=1，依此类推得a4=2，a5=4，a6=3，…，
∴此数列的项周期性出现，且周期是4，即an+4=an，
∴a2014=a4×503+2=a2=3，
故选：C．
点评： 本题是数列与实际问题结合的题，比较新颖，考查了归纳推理和数列周期性的应用．
　
二.填空题
13．（5分）（2015春?浮山县校级期中）若函数f（x）=x3+x2+mx+1在R上无极值点，则实数m的取值范围是　[，+∞）　．
考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 导数的综合应用．
分析： 求出函数的导函数，由函数f（x）=x3+x2+mx+1在R上无极值点，说明函数f（x）在R上是单调函数，有△≤0，求出m的取值范围．
解答： 解：f′（x）=3x2+2x+m，
∵函数f（x）=x3+x2+mx+1在R上无极值点，
∴f（x）在R上单调，
∴△=4﹣12m≤0，解得m≥，
故答案为：[，+∞）．
点评： 本题考查的是利用导数判断函数的单调性，求参数问题，运用等价转化思想，属于基础题．
　
14．（5分）（2014秋?许昌月考）dx=　π　．
考点： 定积分．
专题： 导数的综合应用．
分析： 利用微积分基本定理的几何意义即可得出．
解答： 解：令y=，画出图象：
由微积分基本定理的几何意义可得：=π．
故答案为π．
点评： 熟练掌握微积分基本定理的几何意义是解题的关键．
　
15．（5分）（2013春?红塔区校级期末）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是　　．
考点： 类比推理．
专题： 计算题；推理和证明．
分析： 从平面图形到空间图形，同时模型不变．
解答： 解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：．
故答案为：．
点评： 本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力．解题的关键是掌握好类比推理的定义．
　
16．（5分）（2012?洛阳模拟）曲线处的切线方程为　x+y﹣2=0　．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 计算题；导数的概念及应用．
分析： 由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程．
解答： 解：∵y=，
∴，
∴曲线处的切线方程的斜率k=y′|x=0=﹣1，
∴曲线处的切线方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0．
故答案为：x+y﹣2=0．
点评： 本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．
　
三.解答题
17．（10分）（2015春?浮山县校级期中）求证：（1）a2+b2+c2≥ab+ac+bc；
（2）+＞2+．
考点： 不等式的证明．
专题： 证明题；分析法；综合法．
分析： （1）利用基本不等式，即可证得a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
（2）寻找使不等式成立的充分条件即可．
解答： 证明：（1）∵a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
（2）要证明+＞2+，
只要证明（+）2＞（2+）2，
只要证明2＞2，
显然成立，
∴+＞2+．
点评： 本题考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件．
　
18．（12分）（2014春?咸阳期末）设函数f（x）=x3﹣x2﹣2x﹣．
（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；
（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
专题： 综合题；导数的概念及应用．
分析： （1）求导数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）恒成立问题可转化成f（x）max＜m即可．
解答： 解：（1）f′（x）=3x2﹣x﹣2=0，得x=1，﹣．
在（﹣∞，﹣）和[1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在（﹣，1）上f′（x）＜0，f（x）为减函数．
所以所求f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣]和[1，+∞），单调减区间为[﹣，1]．
（2）由（1）知，当x∈[﹣1，﹣]时，f′（x）＞0，[﹣，1]时，f′（x）＜0
∴f（x）≤f（﹣）=．
∵当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜m恒成立，
∴m＞．
点评： 本题以函数为载体，考查函数的单调性，同时考查了恒成立问题的处理，注意利用好导数工具．
　
19．（12分）（2015?邢台四模）选修4﹣4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并指出C是什么曲线；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值．
考点： 直线的参数方程；直线与圆相交的性质；简单曲线的极坐标方程．
专题： 计算题；直线与圆．
分析： （Ⅰ）由ρ=4cosθ可得ρ2=4ρcosθ，故曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，它是以（2，0）为圆心，半径为2的圆．
（Ⅱ）把参数方程代入x2+y2=4x整理得，利用根与系数的关系求得，根据 求得结果．
解答： 解：（Ⅰ）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，（2分）
由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x得：x2+y2=4x，
所以曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，…（4分）
它是以（2，0）为圆心，半径为2的圆．…（5分）
（Ⅱ）把代入x2+y2=4x整理得，…（7分）
设其两根分别为t1、t2，则，…（8分）
∴．…（10分）
点评： 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，参数的几何意义，属于基础题．
　
20．（12分）（2012春?西城区期末）在数列{an}中，a1=1，an+1=，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
考点： 数学归纳法；数列递推式．
专题： 计算题；证明题．
分析： （Ⅰ）由a1=1，an+1=，即可求得a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想an=；分二步证明即可：①当n=1时，去证明等式成立；②假设n=k时，等式成立，去推证n=k+1时，等式也成立即可．
解答： 解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=，
∴a2==；
a3===，a4==；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：an=．
证明：①当n=1时，a1=1，等式成立；
②假设n=k时，ak=，
则当n=k+1时，ak+1====，
即n=k+1时，等式也成立．
综上所述，对任意自然数n∈N*，an=．
点评： 本题考查数列递推式，着重考查数学归纳法的应用，猜得an=是关键，考查运算与推理证明的能力，属于中档题．
　
21．（12分）（2013秋?濠江区校级期末）某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x＜9）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．
（1）将一星期的商品销售利润y表示成x的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．
专题： 应用题；导数的概念及应用．
分析： （1）依题意，设m=kx2，由已知有5=k?12，可求得k值，根据单件利润×销售量可得函数式；
（2）利用导数即可求得函数的最大值，注意函数定义域；
解答： 解：（1）依题意，设m=kx2，由已知有5=k?12，从而k=5，
∴m=5x2，
∴y=（14﹣x﹣5）（75+5x2）=﹣5x3+45x2﹣75x+675（0≤x＜9）；
（2）∵y′=﹣15x2+90x﹣75=﹣15（x﹣1）（x﹣5），
由y′＞0，得 1＜x＜5，由y′＜0，得 0≤x＜1或5＜x＜9，
可知函数y在[0，1）上递减，在（1，5）递增，在（5，9）上递减，
从而函数y取得最大值的可能位置为x=0或是x=5，
∵y（0）=675，y（5）=800，
∴当x=5时，ymax=800，
答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．
点评： 本题考查利用导数求函数的最值、实际问题中函数模型的构建问题，考查学生利用数学知识分析解决实际问题的能力．
　
22．（12分）（2015春?浮山县校级期中）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）
①当b=﹣1时，求f（x）的极值．
②若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．
③试判断f（x）在定义域上的单调性．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
专题： 导数的综合应用．
分析： ①将b=﹣1代入函数f（x）的表达式，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
②先求出函数f（x）的导数，问题转化为从而3b≤﹣5x+2，恒成立，从而求出b的范围；
③先求出函数的导数，通过讨论b的范围，从而求出函数的单调性．
解答： 解：①当b=﹣1时，定义域为．
当x∈（﹣∞，0）时f′（x）＜0，当，f′（x）＞0时，
所以，当x=0时取得极小值f（0）=﹣1，无极大值．
②，当时＜0，
故5x+3b﹣2≤0，从而3b≤﹣5x+2，恒成立，
设g（x）=﹣5x+2，，即3b≤g（），解得b≤；
③，定义域为，
当b=时，在上单调递减；
当b≤时，f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，在内单调递增；
当时，f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，在内单调递增，在 内单调递减；
当时，f（x） 在内单调递减，在内单调递增；在内单调递减．
点评： 本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，考查函数恒成立问题，分类讨论思想，是一道中档题．