2023-2024学年江苏省南通市通州区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市通州区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性下列汉字是轴对称图形的是( )
A. 吉 B. 祥 C. 如 D. 意
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.“白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.计算的结果是( )
A. B. C. D.
6.已知是完全平方式，则常数的值是( )
A. B. C. D.
7.若为实数，在“”的“”中添上一种运算符号在“”“”“”“”中选择后，其运
算的结果为有理数，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
8.观察“赵爽弦图”如图，若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为，，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式( )
A. B.
C. D.
9.如图，中，，是角平分线若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.分解因式：______．
12.分式的值为，则的值是 ．
13.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
14.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______．
15.如图，点，，，在一条直线上，，，要使≌，只需添加一个条件，则这个条件可以是______．
16.已知，且，则的值是______．
17.如图，在中，边，的垂直平分线相交于点若，则 ______度
18.如图，在中，，将沿直线折叠，得，延长，相交于点若，则 ______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；填序号
等式的基本性质；分式的基本性质；乘法分配律；乘法交换律．
请选择一种解法，写出完整的解答过程．
21.本小题分
如图，点、在上，，，求证：．
22.本小题分
年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
23.本小题分
发现：已知相差为的三个连续整数，首尾两个整数的积与的和等于中间整数的平方例如，，，是相差为的三个连续整数，则______；
验证：设最小的整数为，请用含的式子验证“发现”的结论正确；
推广：相差为的三个连续整数，最小的整数为，若首尾两个整数的积与的和等于中间整数的平方，求的值．
24.本小题分
定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在中，，，求证请用两种不同的方法证明
方法迁移：如图，在边上作点，在边上作点，使得最小要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法
25.本小题分
已知，，其中．
求证；
代数式的值能否等于？若能，求出的值；若不能，说明理由；
若是整数，试求代数式的整数值．
26.本小题分
已知是等边三角形，是射线上一个动点，延长至，使连接，．
如图，若是的中点，求证；
若是边上一点不与中点重合，则中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
若是边延长线上一点，，，请直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据零指数幂的法则进行解题即可．
本题考查零指数幂，掌握任何数除去的零指数幂等于是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，，选项中的方块字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的方块字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
本题考查的是同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则，熟知运算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
5.【答案】
【解析】解：原式
，
故选：．
将写成的形式再进行计算即可．
本题考查分式的加减法，掌握其运算法则是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：是完全平方式，，
．
故选：．
利用完全平方式的意义解答即可．
本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式结构特征是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如果“”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则可以为选项D中的代数式，因此选项D不符合题意；
如果“”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则可以为选项A、中的代数式，因此选项A、选项B不符合题意；
如果“”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则可以为选项D、中的代数式，因此选项B、选项D不符合题意；
如果“”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则可以为选项A中的代数式，因此选项A不符合题意；
综上所述，的值不可能是选项C中的代数式，
故选：．
根据有理化因式的特征，二次根式的运算逐项进行判断即可．
本题考查分母有理化，掌握有理化因式的特征以及二次根式的混合运算的法则是正确判断的关键．
8.【答案】
【解析】解：标记如下：
，
．
故选：．
根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去个直角三角形的面积可得问题的答案．
此题考查的是勾股定理的证明，掌握面积差得算式是解决此题关键．
9.【答案】
【解析】解：过点作于点，
，，
，
是的平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设，则，
，
，
，
，
故选：．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后由勾股定理可得出答案．
本题考查的是角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
即，
，
．
故选：．
先把已知等式两边平方得到，所以，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
11.【答案】
【解析】解：．
直接把公因式提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
根据分式的值为零的条件得到且，易得．
【解答】
解：分式的值为，
且，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：要使式子在实数范围内有意义，必须
，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得出是解此题的关键，式子中．
14.【答案】
【解析】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点关于轴的对称点的坐标是即可得到点关于轴对称的点的坐标．
此题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：要使≌，添加一个条件，则这个条件可以是答案不唯一，理由如下：
，，
，，
在≌中，
，
≌，
添加一个条件可以是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
由全等三角形的判定，即可得到答案．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
将左边通分，得到与、的等量关系式，将这个关系式代入化简求值即可．
本题考查分式的加减法及分式的值，掌握分式加减运算法则是本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，连接，
边，的垂直平分线相交于点，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，，所以，，结合图形计算即可．
本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：作于点，则，
，，
，
由折叠得，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
作于点，由，，求得，由折叠得，，，则，所以，则，所以，由勾股定理得，，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定量、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先逐项化简，再合并同类二次根式即可；
先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项即可．
本题考查整式是混合运算，解题的关键是掌握去括号法则，合并同类项法则．
20.【答案】
【解析】解：甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：．
选择乙同学的解法．
．
甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．
本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
21.【答案】证明：，
，
即；
又，，
≌，
．
【解析】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
可通过证≌，来得出的结论．
22.【答案】 解： 设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，
则燃油车平均每公里的加油费为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为元

【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，则燃油车平均每公里的加油费为元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍列分式方程，解方程即可求解。
23.【答案】
【解析】解：由题意得，
故答案为：；
验证：设最小的整数为，
则另两个连续整数为，，
所以，
所以相差为的三个连续整数，存在首尾两个整数的积与的和等于中间整数的平方；
相差为的三个连续整数，设最小的整数为，
则另两个连续整数为，，
所以，
所以，
所以，
所以或舍去，
即的值为．
根据题意解答即可；
设最小的整数为，则另两个连续整数为，，计算首尾两个整数的积与的和，即可得出结论；
设最小的整数为，则另两个连续整数为，，根据首尾两个整数的积与的和等于中间整数的平方列出，即可求出的值．
本题考查了有理数的乘方，完全平方公式，连续整数，弄清题意是解题的关键．
24.【答案】证明：方法，
如图，延长到使，连接，则，
，
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
方法，
如图，取中点，连接，则，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
如图：此时最小．

【解析】方法，如图，延长到使，连接，则，判定是等边三角形，得到，即可证明；方法，如图，取中点，连接，则，由直角三角形斜边中线的性质推出是等边三角形，即可证明；
作关于的对称点，过作的垂线，即可求作出，两点．
本题考查含度角的直角三角形，直角三角形斜边的中线，作图复杂作图，轴对称最短路线问题，关键是通过作辅助线构造等边三角形，作直角三角形斜边的中线；作关于的对称点，过作的垂线．
25.【答案】证明：
，
，
又，
．
解：能．
，
当时，解得，
经检验，是原分式方程的解．
，
是整数，且是整数，
或或，即或或或或或，
或或或或或．
【解析】将、分别代入通分并化简，分子为完全平方差，大于或等于，分母为，大于，从而得证；
将、分别代入并计算，令其值为，解分式方程并检验即可；
将整理，当和均为整数时求出的值及对应的值即可．
分式的加减法及分式的值，掌握分式加减的运算法则是解题的关键．
26.【答案】证明：是等边三角形，
，
点是的中点，
，，
，
，
，
又，
，
，
；
解：中的结论还成立，证明如下：
如图，过点作交于，
则，，
是等边三角形
，，
，
为等边三角形，
，
，
即，
又，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，是等边三角形
，，
，
，
，
，
，
同得：，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
【解析】由等边三角形的性质得，，再证，则，然后由三角形的外角性质得，即可得出结论；
过点作交于，则，，证为等边三角形，得，再证≌，即可得出结论；
证，则，得，再由勾股定理得，同得，进而证，然后由勾股定理求出的长即可．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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