2023-2024学年山东省济南市莱芜区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含解析）

2023-2024学年山东省济南市莱芜区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若分式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
2.教练准备在甲，乙，丙，丁四人中选取成绩稳定的一名参加射击比赛，在相同条件下每人射击次，已知他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则应该选择参赛的运动员是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3.小明化简分式时，部分不小心滴上了墨水，请你推测，部分的式子应该是( )
A. B. C. D.
4.下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表：
时间小时
人数人
这些学生睡眠时间的众数、中位数是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向左平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
8.某工程队在某街道改造一条长米的人行步道，原计划每天改造人行步道米，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
9.在 中，，为对角线，将绕点逆时针旋转一定的角度后，得到，使点的对应点落在边上，若点的对应点落在边的延长线上，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式： ______．
12.如图，，两点的坐标分别为，，将线段平移到的位置，若，，则的值是______．
13.一个边形的内角和等于它的外角和的倍，则的值是______．
14.已知，，，四个数据的方差是，那么，，，四个数据的标准差是______．
15. ______．
16.如图，在平面直角坐标系中，是的中点，已知，，，，点是线段上的一个动点，当的长为______时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
因式分解：
18.本小题分
化简：．
19.本小题分
如图，在 中，连接，是延长线上的点，是延长线上的点，，交于点，且求证：．
20.本小题分
已知关于的分式方程．
当时，求此时方程的根；
若方程的解为负数，求的取值范围．
21.本小题分
平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为个单位长度的正方形．
若和关于原点成中心对称，画出；
将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；
直接写出点的坐标______．
22.本小题分
在大数据时代下，提升初中生的信息素养是一项实施国家信息化战略、参与国际市场人才竞争的基础性工程某校为了解本校学生信息素养情况，现从该校八年级中随机抽取名学生的比赛成绩百分制，按以下六组进行整理得分用表示，没有分以下的同学：
：，：，：，：，：，：，
下面给出了部分信息：
组的数据：，，，，，，
不完整的八年级测试成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
请补全频数分布直方图；
八年级测试成绩的中位数是______；
各组测试成绩的平均分数如下表：
组别
平均成绩
求八年级测试成绩的平均成绩．
23.本小题分
如图，已知 ，、相交于点，延长到点，使，连接．
求证：四边形是平行四边形；
连接，交于点，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
24.本小题分
为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗购买棵甲种树苗比棵乙种树苗多花费元；用元购买甲种树苗和用元购买乙种树苗的数量相同．
求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
若购买甲、乙两种树苗共棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的倍则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
25.本小题分
已知：如图，在四边形中，，平分交于点，求证：四边形为平行四边形；
若，求证：；
在的条件下，连接、，若，求的度数．
26.本小题分
如图，在等腰中，，点为内任一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，．
判断与的数量关系，并给出证明；
如图，连接，当时，求的度数；
如图，在的条件下，若为的中点，连接，，若，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据分式的分母不为列出不等式，计算即可．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，，，，
，
射击成绩最稳定的是丙，应该选择丙运动员参赛．
故选：．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
3.【答案】
【解析】解：，
，
故部分的式子应该是．
故选：．
直接利用分式的性质结合约分得出答案．
此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
5.【答案】
【解析】解：调查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是．
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、，，
，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、，，当时，四边形不是平行四边形，故选项B符合题意；
C、，
，
，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、，，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：把沿轴向左平移得到，
四边形是平行四边形，
，和的纵坐标相同，
四边形的面积为，点的坐标为，
，
，
点的坐标为．
故选：．
根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得和的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得的坐标．
本题考查了坐标与图形的变换平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：原计划每天改造人行步道米，实际施工时每天的工效比原计划增加，
实际施工时每天改造人行步道米．
根据题意得：．
故选：．
根据实际与原计划工作效率间的关系，可得出实际施工时每天改造人行步道米，利用工作时间工作总量工作效率，结合结果提前天完成这一任务，即可列出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形为平行四边形，
，
，
绕点逆时针旋转一定的角度后，得到，
，
，
．
故选：．
先根据平行四边形的性质得到，则利用邻补角得到，再根据旋转的性质得到，然后根据三角形外角性质可计算出的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．
10.【答案】
【解析】解：，，
，，
把绕点逆时针旋转得到，如图，
，，，
，，
，
点在上，
，
绕点逆时针旋转到，
点在上，
过点作于点，如图，
当点与点重合时，最短，
在中，，
，
即线段的最小值为．
故选：．
先计算出，，把绕点逆时针旋转得到，如图，利用旋转的性质得到，，，则点在上，所以，同时可判断点在上，过点作于点，如图，利用垂线段最短，的最小值为的长，然后计算出即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含度角的直角三角形三边的关系和垂线段最短．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了平方公式分解因式，关键是熟练掌握平方差公式：．
12.【答案】
【解析】解：平移后对应点的坐标为，
线段向右平移了个单位，
点平移后对应的点，
线段向上平移了个单位，
，，
．
故答案为：．
根据平移的性质，结合已知点，的坐标，根据平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，可得出，的值，即可得到答案．
本题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，难度适中．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，
解得：，
故答案为：．
根据多边形的内角和与外角和列得方程，解方程即可．
本题考查多边形的内角和与外角和，结合已知条件列得方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意可设原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了，则平均数变为 ，
则原来的方差，
现在的方差
，
所以标准差是．
故答案为：．
先求出，，，四个数据的方差，再根据标准差是方差的算术平方根即可求解．
本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．掌握方差的性质：当数据都加上一个数或减去一个数时，方差不变，即数据的波动情况不变是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式
本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
16.【答案】或
【解析】解：，，，，
，，，，
，
是的中点，
，
当时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况：
当点在点的左侧时，；
当点在点的右侧时，；
综上所述，当的长为或时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或．
由题意得，，，当时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，然后分两种情况，当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别求出的长即可．
本题考查了平行四边形的判定以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
18.【答案】解：原式
．
【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即．
【解析】由平行四边形的性质得，，则，再证≌，得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：当时，原方程为，
两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
是原方程的解；
两边都乘以，得，
解得，
由题意得且，
解得且，
的取值范围是且．
【解析】将代入该方程后进行求解、检验；
先解此方程得，再根据题意列不等式并求解、讨论．
此题考查了分式方程的求解能力，关键是能准确变形、求解、讨论．
21.【答案】
【解析】解：如图，和关于原点成中心对称图形，
如图，将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；
根据图形，知的坐标．
故答案为：．
根据中心对称图形的特点即可画出图形；
根据旋转的性质即可画出图形；
根据图形直接写出点的坐标即可．
此题主要考查了中心对称图形的性质和旋转的性质，掌握中心对称和旋转的性质是解本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：由题意得：，
故C组的频数为，组的频数为，
补全频数分布直方图如下：
把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的数为、，
故中位数为；
故答案为：；
分，
答：八年级测试成绩的平均成绩为分．
根据组人数及其所占百分比即可得出的值，然后求出组和组的频数即可补全频数分布直方图；
根据中位数的定义解答即可；
用加权平均数公式计算即可．
本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数、加权平均数等知识，掌握数形结合的思想解答是关键．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
解：与的数量关系为：，理由如下：
由得：四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
是的中位线，
，
，
，
．
【解析】由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
由平行四边形的性质得，，再证是的中位线，得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：设乙种树苗每棵的价格是元，则甲种树苗每棵的价格是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元；
购买甲种树苗棵、乙种树苗棵时花费最少，理由如下：
设购进甲种树苗棵，则购进乙种树苗棵，总费用为元，
由题意得：，
解得：，
，
，随着的增大而增大，
时，取最小值，
此时，，
购买甲种树苗棵、乙种树苗棵时花费最少．
【解析】设乙种树苗每棵的价格是元，则甲种树苗每棵的价格是元，根据用元购买甲种树苗和用元购买乙种树苗的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设购进甲种树苗棵，则购进乙种树苗棵，总费用为元，根据购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的倍．列出一元一次不等式，得，再求出关于的一次函数，然后由一次函数的性质即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
25.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
证明：，，
是等边三角形，
，
在平行四边形中，，
；
解：是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
．
【解析】根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，求得，得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据平行四边形的性质得到，求得；
根据等边三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
26.【答案】证明：，理由如下：
线段绕点逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
解：，
，
，
，
，
≌，
，
，
；
延长至点，使得，连接、，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】根据旋转的性质得到，，证明≌即可证明结论；
证明和，再证明即可得到结果；
延长至点，使得，连接、，证明四边形是平行四边形，进而证明≌，由即可得到结果．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定等，本题的关键是理解题意构造平行四边形从而解题．
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