2023-2024学年山东省菏泽市高一上学期期末教学质量检测数学试题(含解析）

2023-2024学年山东省菏泽市高一上学期期末教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.要得到函数的图象，需要把图象上所有点( )
A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 D. 纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
3.已知，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
4.集合，，，则集合中的元素个数为( )
A. B. C. D.
5.，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.已知，都是锐角，，，则( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远已知，，则下列不等式一定成立的有( )
A. B. C. D.
10.已知为第一象限角，，则下列各式正确的有( )
A. B. C. D.
11.已知指数函数，，，且，，且，则下列结论正确的有( )
A. ，
B. 若，则一定有
C. 若，则
D. 若，，则的最大值为
12.已知函数对任意实数，都满足，且，以下结论正确的有( )
A.
B. 是偶函数
C. 是奇函数
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
14.已知，当时，取得最大值，则 ．
15.已知，则 ．
16.若，，，均为正实数，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列各式的值：
．
18.本小题分
已知，且，求下列各式的值：
19.本小题分
已知
写出函数的单调区间
当函数有两个零点时，求的取值范围
求的解析式．
20.本小题分
如图，任意角的终边与以为圆心为半径的圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为，记的面积为规定当点落在坐标轴上时，．
求的解析式
求取最大值时的值
求的单调递减区间．
21.本小题分
已知函数，的部分图象如图所示．
求的解析式
求在上的最大值和最小值
若在区间上恰有两个零点，，求
22.本小题分
已知．
当时，时，求的取值范围
对任意，且，有，求的取值范围
，的最小值为，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数诱导公式，属基础题．
利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解．
【解答】
解：由题意 ，
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图象变换，解题的关键是掌握住图象变换的规则，属于基础题．
为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变．
【解答】
解：由函数图象变换的规则函数的图象，
可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短为原来的， 纵坐标不变得到，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式以及不等式的性质的应用，考查计算能力．属于基础题．
直接利用基本不等式以及不等式的性质推出结果即可．
【解答】
解：，可得，可得，
并且，可得，
，
可得：．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查交集运算和集合中的元素个数问题，属于基础题．
先求出，即可得其元素个数．
【解答】
解：由题意，得，
则集合中的元素个数为．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题．
根据及充分、必要条件的定义即可判断．
【解答】
解：因为
所以是的充要条件
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了两角差的正弦公式，以及同角三角函数值的应用由条件求得，，关键是把，运用公式代入即可．
【解答】
解：都是锐角，
，
， ，
，
，
，
，
，
．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的对称性及其应用，利用函数的单调性比较大小的方法，属于基础题．
先利用函数的对称性，得函数的单调性，再利用函数的对称性，将自变量的值化到同一单调区间上，利用单调性比较大小即可
【解答】
解：函数定义在上，它的图象关于直线对称，且时函数为单调递增函数，
时函数为单调递减函数，且
，
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角基本关系和两角和的正切公式，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用同角基本关系求出， ，两角和的正切公式即可求解．
【解答】
解： ，
，
又，
，
．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于、因为，，则，故A正确；
对于、因为，，则，故B正确；
对于、因为，，则，则，故C错误；
对于、因为，，则，，则，故D正确
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
由题意，利用同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式，得出结论．
【解答】
解：为第一象限角，，
平方可得， ，
再根据，可得，，
故，， ，
，
故A、C正确；，D错误，
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数和对数函数，属于中档题．
利用，列出方程组，然后解之即可，利用特殊值判断即可，利用对数运算判断即可，利用复合函数判断即可．
【解答】
解：由题意得，，结合，，且，，
解得，，，所以，，所以A正确；
当，，，，
所以B错误；
由题意得，，且，
设，则
，
所以C正确；
由题意得，，
因为，所以，
所以的最大值为，
所以D错误．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查抽象函数的奇偶性等，属于中档题．
利用赋值法求出、、、，并判断出函数为偶函数，且周期为即可．
【解答】
解：令，则，
又，解得，，
令，，则，
又，，解得，所以A正确；
令，，则，
所以，所以为偶函数，
所以关于对称，则，
所以，即
所以是偶函数，故B正确，C错误；
因为，所以，
所以函数的一个周期为，
所以，
所以，
令，，则，
解得，，
所以
，故D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
根据对数函数的定义与性质，利用判别式求出的取值范围．
本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
【解答】
解：函数的定义域为，
关于的不等式恒成立，
应满足，
解得，
综上，实数的取值范围是．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的化简求解，三角函数最值的理解与应用，辅助角公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
先利用辅助角公式将函数变形，确定取最值的条件，即，，，然后求出．
【解答】
解：函数，其中，
若时，取得最大值，
则，
即，，
所以．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数与对数运算，属于基础题．
求出，，，，代入，利用对数运算即可求解．
【解答】
解：因为，
所以，，，，
因此
．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于一般题．
从最后两项开始，反复使用基本不等式即可求解．
【解答】
解：由题意，得
，
当且仅当时，取等号，
则的最小值为
17.【答案】解：原式；
原式
．
【解析】本题考查指数运算，对数运算，属于基础题．
利用指数运算法则求解即可；
利用对数运算法则计算可得．
18.【答案】解：已知，且，所以
原式；
原式
．
【解析】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，属于基础题．
由条件求得，再进行化简可得结果；
利用三角恒等变换化简计算即可．
19.【答案】解：函数的单调递增区间为，
当函数有两个零点时，即有两根由
在区间，递增，所以，有一解，即
，有一解，即即
所以当函数有两个零点时
时，，又
所以即
【解析】本题考查分段函数，函数的单调性，函数的零点，属于中档题．
根据解析式直接写出单调区间；
由题得到，有一解，即，即可求解；
根据题意直接求解解析式．
20.【答案】解：由三角函数的定义知，
所以
由知，当时，最大，
此时，，即，，
最大时，，
由知，的周期，
当时，在上为增函数，
在上为减函数．
的单调递减区间为，
【解析】本题考查正弦型函数的最值，单调区间，属于基础题．
利用三角函数的定义，结合三角形面积公式即可求解；
发现时，最大，即可求解；
得到函数周期，在求解单调区间．
21.【答案】由图像知
，，
，，
，即，
所以的最大值为，最小值为．
，
当时，
令
所以，
因为在区间上恰有两个零点，，所以，即，
所以，由得，，
所以．
所以．
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、正弦型函数的图象变换，属于中档题．
根据图像周期对称等性质求解即可；
代入求值域即可；
先求出，然后利用在区间上恰有两个零点，求解即可．
22.【答案】解：由题意得，
解得或，
所以或；
由，时恒成立，
所以，令则或．
由．
所以．
．
所以，
当时，在单调递增，所以此时无最值
当时，由，．
所以在上单调递增，上单调递减，
所以．
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
综上，
所以最大值为．
【解析】本题主要考查不等式与复合函数最值、单调性问题，属于较难题．
把代入求解即可；
根据在任意，且恒成立代入函数换元求解即可
先求出绝对值函数然后分类讨论单调性即可．
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