2023-2024学年度江西省萍乡市第一学期期末考试数学试卷(含解析）

2023-2024学年度江西省萍乡市第一学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则的值可能为( )
A. ， B. C. ，， D. ，
2.下列说法正确的是( )
A. 若是奇函数，则
B. 若为常数是幂函数，则不等式的解集为
C. 函数在上是减函数
D. 与为同一函数
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则
4.太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊净水器处理成饮用水循环使用净化过程中，每过滤一次可减少水中杂质，要使水中杂质减少到原来的以下，至少需要过滤的次数为参考数据：( )
A. 次 B. 次 C. 次 D. 次
5.已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若采用三局二胜制，则乙最终获胜的概率为( )
A. B. C. D.
7.若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为( )
A. B.
C. D.
8.已知，，且满足，则的值为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 命题“有一个奇数不能被整除”的否定是“有一个奇数能被整除”
B. “菱形是正方形”是全称命题
C. 式子化简后为
D. “”是“，有为真命题”的充分不必要条件
10.已知定义在的函数满足，且在区间上单调递减，若，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的对称中心为
C. 在区间上单调递减
D. 满足的的取值范围是
11.已知样本甲：，，，，与样本乙：，，，满足关系，则下列结论错误的是( )
A. 样本乙的极差等于样本甲的极差
B. 若某个为样本甲的中位数，则是样本乙的中位数
C. 样本乙的众数小于样本甲的众数
D. 若某个为样本甲的平均数，则是样本乙的平均数
12.已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某班拟从名男学生和名女学生中随机选派名学生去参加一项活动，则恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率是 ．
14.在一次篮球比赛中，某球队共进行了场比赛，得分分别，，，，，，，，，则这组数据的分位数为 ．
15.已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值为 ．
16.记表示不超过的最大整数，例如，已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，集合，．
若，求
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
判断函数在区间上的单调性，并用定义证明
用二分法求方程在区间上的一个近似解精确度为．
19.本小题分
已知函数，且，从下面两个条件中选择一个进行解答．
的反函数经过点的解集为
求实数的值
若，，求的最值及对应的值．
20.本小题分
从某学校名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为．
求第七组的频率
估计该校名男生身高的中位数
从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，，记为事件，求．
21.本小题分
已知，函数，．
若，求不等式的解集
求不等式的解集
，不等式恒成立，求的取值范围．
22.本小题分
近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱某平台从年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加已知从到年，每年年末该平台的会员人数如下表所示注：第年数据为截止到年月底的数据．
建立平台第年
会员人数千人
请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立年后会员人数千人，求出你所选择模型的解析式，并预测年年末的会员人数
且且
为了更好的维护管理平台，该平台规定第年的会员人数上限为千人，请根据中得到的函数模型，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．
根据题意即可得到答案．
【解答】解：，可令，故
若，即，故或，当时不符合题意，故的值可能为，．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，幂函数，利用单调性解不等式，及判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
对各选项逐一进行分析判断即可．
【解答】
解：对于，若在时没有定义，则结论不成立，故A错误；
对于，因为是幂函数，所以，即，
所以，在上单调递减，
所以，解得：，故解集为，故B正确；
对于，对于函数，单调区间不能用并，故C错误；
对于，两函数定义域不同，故D错误．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题．
根据不等式性质证明C正确，举反例说明，，D错误．
【解答】
解：对于：取，，则 ， ，故A错误
对于：取，，则无意义，故B错误；
对于：因为，，所以，即，
因为，，所以，故C正确；
对于：取，则，故D错误．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用指数函数模型解决实际问题，属于基础题．
根据题意建立指数函数关系，然后进行求解即可．
【解答】
解：假设至少需要过滤的次数为，设原始为，则，解得：，故至少需要过滤的次数为次．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性和单调性的运用，涉及指数函数与对数函数的性质，属于中档题．
根据奇偶性得到函数在上单调递增，结合指数、对数函数的性质推出，再结合单调性和奇偶性比较大小即可．
【解答】
解：因为函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，
则函数在上单调递增，
因为，，
则，
可得，
即．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，属于基础题．
最终乙胜是指乙连胜两局或前两局乙一胜一负第三局乙胜，由此能求出结果．
【解答】解：甲、乙两人进行三局二胜制象棋比赛，
每局甲取胜的概率为，乙取胜的概率为，
最终乙胜甲记作事件，
则．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求函数解析式，函数平移，函数的图像，属于中档题．
由求出的解析式，再由函数平移得到平移后的函数解析式，通过解析式画出函数图像再作判断即可．
【解答】
由题意，，即，解得，故
由于平移使得变换成点，故将向右平移个单位，向下平移个单位，从而平移后的函数解析式为
故，根据解析式可以得到，的函数图像为选项．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了幂函数单调性的应用，解题的关键是由已知方程组合理的构造函数，属于中档题．
等式整理成，表达式．构造函数，判断单调性与奇偶性找，的关系．
【解答】
解：，即，
即，同理，
又因为，，所以，，
构造函数 ，，
所以，，即，
又因为 ，
即，所以 是定义在上的奇函数．
所以式变为：，
即，
又 在上单调递增，
所以，，即．
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
【分析】本题考查了存在量词命题的否定，全称量词命题，充分必要充要条件的判断，属于中档题．
对于和直接进行判断即可；对于，化简求值即可判断；对于，求出真命题时的取值范围，即可判断．
【解答】
【解答】解：对于，命题“有一个奇数不能被整除”的否定是“任何一个奇数都能被整除”，故A错误；对于，“菱形是正方形”是全称命题，故B正确；对于，由可得，，则，所以，故C正确；对于，“，有为真命题”，则，即，故“”是“，有为真命题”的必要不充分条件，故D错误．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数的单调性和对称性，属于较难题。
利用函数的单调性和对称性，逐一判断即可。
【解答】
解：，的对称中心为，，
故A不正确，B正确
在区间上单调递增，且的对称中心为，
在区间上单调递减，故C正确
由题意知，当时，当时，
当时，当时，．
又，或或，故D正确．
故选BCD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平均数、中位数、众数、极差的知识，属于中档题．
是关于的减函数，所以若某个为样本甲的中位数，则是样本乙的中位数，但是样本乙的极差不一定等于样本甲的极差，样本乙的众数不一定小于样本甲的众数；若某个为样本甲的平均数，但不一定是样本乙的平均数．
【解答】解：由题意知，样本乙的极差不等于样本甲的极差，故 A中说法错误
，关于递减，若为样本甲的中位数，则也为样本乙的中位数，故B中说法正确
样本乙的众数不一定小于样本甲的众数，故C中说法错误
若某个为样本甲的平均数，则不一定是样本乙的平均数，故D中说法错误．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点问题，考查了运算能力，属于中档题．
设函数的零点为，则，可得，由题得到方程无解或者与方程的解相同，从而求出即可．
【解答】
解：设函数的零点为，
则，又，即，可得，
则，
，
因为函数与函数的零点相同，
所以方程无解或者与方程的解相同，
则或，
可得，
则．
则的取值可能是，，不可能为，．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，属于基础题．
基本事件总数为，恰有一名女学生和一名男学生去参加活动包含的基本事件总数为，由此能求出概率．
【解答】
解：设男生为，，女生为，则总的基本事件为，，共个，恰有一名女学生和一名男学生去参加活动包含的基本事件为，共个，
则恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了百分位数，属于基础题．
利用百分位数的定义求解即可．
【解答】
解：该球队得分分别为，，，，，，，，，
又，
所以这组数据的第百分位数为第个数，即．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于基础题由题意得到，再由基本不等式得到，可得结果．
【解答】
解：由于一元二次不等式的解集是，
可知，所以，可得，为正数，
两式相除得到，即，
所以，
当且仅当即，时取等号，
故的最小值为，
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点及求分段函数的函数值，属于中档题．
根据题意得到有个零点方程有个不同的实数根，画出图象分析即可得答案．
【解答】
解：有个零点方程有个不同的实数根，
即的图象与函数的图象有个交点，
分析可知当，显然不成立，所以．
作出函数与的图象如图．
两函数图象在轴的左侧只有个交点，故在轴右边有个交点，
则
解得
17.【答案】解：当时，集合，可得或，
所以
由题知，集合是集合的真子集，
当时，，即，符合题意，
当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解
综上，实数的取值范围为．
【解析】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为集合关系是解决本题的关键，是基础题．
根据集合的基本运算进行求解即可；
根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．
18.【答案】解：在单调递增证明如下：
任取，，不妨设，
，
因为，所以，，，所以，
即，所以在上单调递增
函数在区间上是连续且单调的，
其在区间上的零点即为方程在区间上的解，
已知，，在区间上利用二分法列表如下：
区间 中点 中点函数值 区间长度
此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为，
故区间即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，
比如是方程在上的一个近似解．
【解析】本题考查利用定义证明函数的单调性及利用二分法求方程的近似解，属于基础题．
根据函数单调性的定义进行证明即可；
利用二分法积型求解即可．
19.【答案】解：若选：由题意可得函数，且的反函数为：，
，可得；
若选：由题意得，的解集是，
因为，所以，即
由知，则，
令，，所以，
则，
当，即时，；当，即时，；
综上，当时，；当时，．
【解析】本题考查了对数函数的性质、反函数、二次函数的性质，属于中档题．根据所选的条件，利用指数和对数的性质解方程求参数即可；
由得，换元法有，则，结合二次函数性质求最值，并确定对应的值．
20.【答案】解：第六组的频率为，
故第七组的频率为
解：由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于
设这所学校的名男生的身高中位数为，则
由于得
所以这所学校的名男生的身高的中位数为 ．
解：第六组的人数为，设为，
第八组的人数为，设为，
则从中随机抽取两名男生有共有种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为共种情况．
所以．
【解析】本题主要考查频率分布直方图，考查古典概率，属于中档题．
由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率．
21.【答案】解：令，，
即，解得或，
所以或，
解得
依题意得，，即，
当时，当时，的解集为空集当时，
依题意得，因为，所以，
又，，当且仅当时，取得等号，
所以，即．
【解析】本题考查了一元二次不等式的解集，基本不等式求最值，属于基础题．
利用换元法求解即可；
，即，再对进行讨论即可得到答案；
依题意得，根据基本不等式即可求解．
22.【答案】解：由数据可知，函数是一个增函数，且增长越来越快，故选择模型，
由表格中的数据可得，，，解得，，，
故函数模型的解析式为，
当时，预测年年末的会员人数为千人
由题知，对，都有，令，则，令
，则不等式右边等价于函数，
因为函数在区间上单调递增，
所以，
故，即的最小值为．
【解析】本题考查函数模型的应用，涉及二次函数的性质，不等式恒成立问题，属于中档题．
根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；
根据中结论可得，采用换元法，结合二次函数的性质可求得的最小值．
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