2023-2024学年省十联考安徽省合肥市第一中学高二上学期期末考试数学试题(含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年省十联考安徽省合肥市第一中学高二上学期期末考试数学试题(含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 354.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-15 09:41:28 | ||
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文档简介
2023-2024学年省十联考安徽省合肥市第一中学高二上学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线，则直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.在平行六面体中，为与的交点，，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
3.已知为等差数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线上有两个点，，焦点为，若，则线段的中点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
5.已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和满足则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若圆上存在点，点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.正方体的棱长为，点在棱上，且，点是正方体下底面内含边界的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点到点的最小值是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B. 若空间中任意一点，有，则、、、四点共面
C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角
D. 若空间向量，，则在上的投影向量为
10.已知方程：，则以下说法正确的是( )
A. 若，则方程表示的曲线是椭圆，且焦点在轴上
B. 若，则方程表示的曲线是圆，其半径为
C. 若，则方程表示的曲线是双曲线，其渐近线方程为：
D. 若，则方程表示的曲线是两条直线．
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯约公元前前发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则以下说法正确的是( )
A. 直线过定点
B. 动点的轨迹方程为
C. 动点到直线的距离的最大值为
D. 若点的坐标为，则的最小值为
12.已知等比数列的前项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是( )
A.
B. 设，，则的最小值为
C. 若对任意的恒成立，则
D. 设，若数列的前项和为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线与直线，则这两条平行直线之间的距离为 ．
14.已知数列，满足，若，则数列的前项和为 ．
15.已知为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当四边形面积最小时，直线的方程为 ．
16.如图，在中，已知，其内切圆与边相切于点，且，延长到，使，连接，设以，为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以，为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，正方体的棱长是，、分别是线段、的中点．
证明：平面
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知圆心为的圆经过点，和．
求圆的方程
若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
19.本小题分
已知数列是递增的等比数列且满足，令．
求数列的通项公式
求数列的前项和．
20.本小题分
如图，，，且，是中点，沿将折起到的位置如图，使得．
求证：面面
若线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值．
21.本小题分
已知为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，．
求的通项公式
若对任意，都有成立，求的最小值．
22.本小题分
已知椭圆，离心率为，点在椭圆上。
求的方程
过作互相垂直的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，，的中点分别为，探究：与的面积之比是否为定值若是，请求出定值若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
设直线的倾斜角为，可得，即可得出．
本题考查了直线斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：设直线的倾斜角为，．则，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量的基本定理，属于基础题．
直接利用空间向量的加减运算即可求解．
【解答】
解：由题意，根据向量加法运算法则得，
3.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于基础题．
利用等差数列的性质与求和公式求解即可．
【解答】解：因为数列为等差数列，
所以，
所以，
所以．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了抛物线的定义以及几何性质，属于基础题．
利用抛物线的定义，知，结合已知条件求出中点纵坐标，即可求出线段的中点到轴的距离．
【解答】
解：由已知可得抛物线的准线方程为，
设点，的坐标分别为和，
由抛物线的定义得，即，
线段中点的纵坐标为，故线段的中点到轴的距离是．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题．
由题得渐近线的倾斜角为，所以即可．
【解答】
解：因为为等边三角形，
所以渐近线的倾斜角为，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列求和公式，以及等比数列的性质，属于中档题．
根据已知结合递推关系得出，代入等比数列数列求和公式利用其性质，即可求解．
【解答】
解：因为，两式相减得：，
所以，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
又因为单调递增，所以，
综上．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．
易得出圆 关于直线 对称的圆为 ，将问题转化为 与 有交点即可求解．
解：由题知，如图所示：
因为圆 的圆心为 ，
所以 关于直线 对称的点为 ，
所以圆 关于直线 对称的圆为 ，
若要圆 上存在点 ，点 关于直线 的对称点
在圆 上，
其中圆 的圆心为 ，半径为，
则只需 与 有交点即可，
又
所以 在 外，
根据两圆有交点，则两圆心的距离大于半径等于之差的绝对值，小于等于半径之和．
可得： ，两圆分别内切与外切的时候取等号，
解得： ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，二次函数的最值，属于较难题．
解决问题的关键是作，作，即为点到直线的距离，由勾股定理得，又已知，故，即到点的距离等于到的距离，得点轨迹为抛物线，建立坐标系得抛物线的标准方程，由两点间距离以及二次函数性质求最值．
【解答】解：如图所示：
正方体中，
作，为垂足，则面，
过点作，则面，
即为点到直线的距离，
由题意可得．
又已知，
，
即到点的距离等于到的距离，
根据抛物线的定义可得，点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线，
以中点为原点，所在直线为轴，建立如图建立直角坐标系：
则点的轨迹方程为，
，设，
，
当时，．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了空间向量的投影、向量的夹角，共面、线面垂直的坐标运算，属于中档题．
由向量法判断；由空间四点共面判断；由空间向量的夹角判断；利用投影向量的概念判断．
【解答】
解：由，即，故，对．
在中，故，，，四点不共面，错
当，反向共线时也成立，但与夹角不为钝角，错：
在上的投影向量为，对
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查曲线和方程的判断，属于中档题．
根据已知条件化简选项A可得，故表示焦点在轴上的椭圆，可判断根据已知条件化简选项B可得，故C是圆，其半径为，可判断；根据已知条件化简选项C可得，曲线此时表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程也为，可判断根据已知条件化简选项D可得分情况讨论，判断．
【解答】解：对于，若，则，则即为，故表示焦点在轴上的椭圆，A错误
对于，若，则，所以即为，故C是圆，其半径为，B正确
对于，若，则不妨设，，则即为，曲线此时表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为
当，，同理可知渐近线方程也为，C正确
对于，若，则，当时，方程为表示两条直线
当时，方程为，不表示任何图形， D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题．
根据定点的求解可判定，根据等量关系列方程可求解，根据点到直线的距离即可求解，根据三点共线即可求解．
【解答】解：对，直线 ， ，
所以直线 过定点 ，A正确；
对，设 ，因为动点 满足 ，
所以 ，整理可得 ，即 ，
所以动点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
动点 的轨迹方程为圆 ，B正确；
对于，当直线 与 垂直时，动点 到直线 的距离最大，且最大值为 ，C错误；
对于，由 ，得 ，所以 ，
又因为点 在圆 内，点 在圆 外，
所以 ，当且仅当 为线段 与圆 的交点时取等号，D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查等比数列，数列的函数特征，较难．
，利用等比数列前和公式求解；借助对勾函数求解；
不等式恒成立，求最值解决；裂项相消求和．
【解答】解：由为等比数列，其前项和，则，故A不正确；
由，，令，则当，时，，
当，时则，故B不正确；
由，可得，故，
若，对恒成立，
即对恒成立，
令，则．
当时，当时，，当时，，
则，则，故C正确；
设，
则，故D正确．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了两平行直线间的距离 ，属于基础题．
利用两平行直线间的距离公式，计算得结论．
【解答】解：易知，根据两平行线间距离公式知，．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查数列的前项和，裂项相消法求和，属于基础题．
根据已知条件先求出通项公式，进而用裂项相消法求和即可．
【解答】
解：，，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，
，
数列的前项和为：
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是直线与圆的位置关系，与圆有关的最值问题，两直线的位置关系，圆与圆的位置关系，圆的标准方程，圆的一般方程，是中档题．
求得圆的圆心为，半径为，易求得 ，显然当垂直时，四边形的面积最小，得出以为圆心，半径为的圆的方程，从而即可求解直线的方程．
【【详解】圆，所以圆心为，半径，
，
所以当最小，也即垂直时，四边形面积最小，
此时直线的方程为，由解得，
即，，，
以为圆心，半径为的圆的方程为：，
即，
由．
两式相减并化简得，即直线的方程为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查椭圆和双曲线的离心率，涉及圆的切线和余弦定理的应用，属于较难题．
设，分别是，与圆的切点，由圆的切线知，，设，，求出，得，，得，结合的范围即可求解．
【解答】
解：如图，设，分别是，与圆的切点．
由圆的切线性质知，，
设，
则，，
在中，，
则，
以，为焦点且经过点的椭圆的离心率为，
以，为焦点且经过点的双曲线的离心率为，
则，
在中，设，，，，
由余弦定理可知：，
从而得到，
．
由，
，
．
17.【答案】证明：如图，取中点，连，，则易证，
且，所以四边形是平行四边形，从而，
又面，面，所以平面．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系．
则，，，，
则，，，
设平面的法向量，
由，，解得，
所以点到平面的距离．
【解析】本题考查线面平行的证明，点面距离，属于中档题．
做辅助线，推出而，根据线面平面的判定定理求证；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据，进行求解．
18.【答案】解：设圆的标椎方程为：，
由题意得：解得：
圆的标准方程为；
由题意得：圆心到直线的距离为，
当直线垂直于轴时，方程为，满足条件
当直线斜率存在时，设直线的方程为，即．
由，解得，
所以直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或．
【解析】本题考查求圆的标准方程的方法，点到直线的距离公式的应用，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线距离是解题的关键，属于中档题．
根据题意，设圆的标准方程为，将、，三点的坐标代入，即可得到圆的标准方程．
由弦长的一半，半径，圆心到直线的距离构成直角三角形求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行讨论，由点到直线的距离即可求出直线的方程．
19.【答案】解：由等比数列的性质可得：，
，或，
又数列是递增的等比数列
，，或舍，，
；
，
，
，
可得：，
，
．
【解析】本题考查等比数列的通项公式及利用错位相减法求数列的前项和，属于基础题．
根据题意求出即可
由得出，利用错位相减法求出前项和．
20.【答案】解：因为，，，，平面，
所以平面，
又面，
所以面面．
面面，面面，
在面内过点作的垂线，可知底面，
所以可以以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系．
，，，
则平面的一个法向量是，
设，则，
，
设面的法向量为，
由，，解得，
平面与平面夹角记为，则，
即，解得．
即．
【解析】本题考查了面面垂直的判定以及平面夹角余弦值的求解，属于中档题．
先证明出平面，再由面面垂直的判定定理得出即可；
建立空间直角坐标系，设，则，根据平面与平面夹角的余弦值是，求出即可得出答案．
21.【答案】解：设数列的公差为，
由题意知：，即，解得．
；
由知，，
，；
当为偶数时，，
，
当为偶数且时，满足题意；
当为奇数时，，
，
当为奇数且时，满足题意，
综上，对任意，，都有成立的的最小值为．
【解析】本题考查了等差数列的通项公式，等差数列前项和的最值问题，题目较难．
由已知，，根据等差数列的前项和公式展开，即可得出等差数列的首项，公差，进而得出通项公式．
由知，可得，数列的通项公式，进而，分两情况讨论，为偶数，为奇数，即可求得的最小值．
22.【答案】解：由题意，，解得，．
则的方程；
与面积之比为定值，定值为，理由如下：
设直线，，，
讨论：当，且时，联立，
可得，
，则，
所以，，所以，
设，同理可得
所以，，且
所以直线，即，
所以恒过定点
当时，不妨设直线，可发现轴，且过；
当时，直线依然过，但无法形成三角形．
综上，直线恒过点．
设点，到直线的距离分别是，，．
【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点、定值问题，属于难题．
由，，求出，即可得；
设直线，联立椭圆的方程，，，进而求出直线，判断恒过定点，利用点，到直线的距离分别是，，求解．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线，则直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.在平行六面体中，为与的交点，，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
3.已知为等差数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线上有两个点，，焦点为，若，则线段的中点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
5.已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和满足则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若圆上存在点，点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.正方体的棱长为，点在棱上，且，点是正方体下底面内含边界的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点到点的最小值是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B. 若空间中任意一点，有，则、、、四点共面
C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角
D. 若空间向量，，则在上的投影向量为
10.已知方程：，则以下说法正确的是( )
A. 若，则方程表示的曲线是椭圆，且焦点在轴上
B. 若，则方程表示的曲线是圆，其半径为
C. 若，则方程表示的曲线是双曲线，其渐近线方程为：
D. 若，则方程表示的曲线是两条直线．
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯约公元前前发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则以下说法正确的是( )
A. 直线过定点
B. 动点的轨迹方程为
C. 动点到直线的距离的最大值为
D. 若点的坐标为，则的最小值为
12.已知等比数列的前项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是( )
A.
B. 设，，则的最小值为
C. 若对任意的恒成立，则
D. 设，若数列的前项和为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线与直线，则这两条平行直线之间的距离为 ．
14.已知数列，满足，若，则数列的前项和为 ．
15.已知为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当四边形面积最小时，直线的方程为 ．
16.如图，在中，已知，其内切圆与边相切于点，且，延长到，使，连接，设以，为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以，为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，正方体的棱长是，、分别是线段、的中点．
证明：平面
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知圆心为的圆经过点，和．
求圆的方程
若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
19.本小题分
已知数列是递增的等比数列且满足，令．
求数列的通项公式
求数列的前项和．
20.本小题分
如图，，，且，是中点，沿将折起到的位置如图，使得．
求证：面面
若线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值．
21.本小题分
已知为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，．
求的通项公式
若对任意，都有成立，求的最小值．
22.本小题分
已知椭圆，离心率为，点在椭圆上。
求的方程
过作互相垂直的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，，的中点分别为，探究：与的面积之比是否为定值若是，请求出定值若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
设直线的倾斜角为，可得，即可得出．
本题考查了直线斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：设直线的倾斜角为，．则，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量的基本定理，属于基础题．
直接利用空间向量的加减运算即可求解．
【解答】
解：由题意，根据向量加法运算法则得，
3.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于基础题．
利用等差数列的性质与求和公式求解即可．
【解答】解：因为数列为等差数列，
所以，
所以，
所以．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了抛物线的定义以及几何性质，属于基础题．
利用抛物线的定义，知，结合已知条件求出中点纵坐标，即可求出线段的中点到轴的距离．
【解答】
解：由已知可得抛物线的准线方程为，
设点，的坐标分别为和，
由抛物线的定义得，即，
线段中点的纵坐标为，故线段的中点到轴的距离是．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题．
由题得渐近线的倾斜角为，所以即可．
【解答】
解：因为为等边三角形，
所以渐近线的倾斜角为，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列求和公式，以及等比数列的性质，属于中档题．
根据已知结合递推关系得出，代入等比数列数列求和公式利用其性质，即可求解．
【解答】
解：因为，两式相减得：，
所以，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
又因为单调递增，所以，
综上．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．
易得出圆 关于直线 对称的圆为 ，将问题转化为 与 有交点即可求解．
解：由题知，如图所示：
因为圆 的圆心为 ，
所以 关于直线 对称的点为 ，
所以圆 关于直线 对称的圆为 ，
若要圆 上存在点 ，点 关于直线 的对称点
在圆 上，
其中圆 的圆心为 ，半径为，
则只需 与 有交点即可，
又
所以 在 外，
根据两圆有交点，则两圆心的距离大于半径等于之差的绝对值，小于等于半径之和．
可得： ，两圆分别内切与外切的时候取等号，
解得： ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，二次函数的最值，属于较难题．
解决问题的关键是作，作，即为点到直线的距离，由勾股定理得，又已知，故，即到点的距离等于到的距离，得点轨迹为抛物线，建立坐标系得抛物线的标准方程，由两点间距离以及二次函数性质求最值．
【解答】解：如图所示：
正方体中，
作，为垂足，则面，
过点作，则面，
即为点到直线的距离，
由题意可得．
又已知，
，
即到点的距离等于到的距离，
根据抛物线的定义可得，点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线，
以中点为原点，所在直线为轴，建立如图建立直角坐标系：
则点的轨迹方程为，
，设，
，
当时，．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了空间向量的投影、向量的夹角，共面、线面垂直的坐标运算，属于中档题．
由向量法判断；由空间四点共面判断；由空间向量的夹角判断；利用投影向量的概念判断．
【解答】
解：由，即，故，对．
在中，故，，，四点不共面，错
当，反向共线时也成立，但与夹角不为钝角，错：
在上的投影向量为，对
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查曲线和方程的判断，属于中档题．
根据已知条件化简选项A可得，故表示焦点在轴上的椭圆，可判断根据已知条件化简选项B可得，故C是圆，其半径为，可判断；根据已知条件化简选项C可得，曲线此时表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程也为，可判断根据已知条件化简选项D可得分情况讨论，判断．
【解答】解：对于，若，则，则即为，故表示焦点在轴上的椭圆，A错误
对于，若，则，所以即为，故C是圆，其半径为，B正确
对于，若，则不妨设，，则即为，曲线此时表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为
当，，同理可知渐近线方程也为，C正确
对于，若，则，当时，方程为表示两条直线
当时，方程为，不表示任何图形， D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题．
根据定点的求解可判定，根据等量关系列方程可求解，根据点到直线的距离即可求解，根据三点共线即可求解．
【解答】解：对，直线 ， ，
所以直线 过定点 ，A正确；
对，设 ，因为动点 满足 ，
所以 ，整理可得 ，即 ，
所以动点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
动点 的轨迹方程为圆 ，B正确；
对于，当直线 与 垂直时，动点 到直线 的距离最大，且最大值为 ，C错误；
对于，由 ，得 ，所以 ，
又因为点 在圆 内，点 在圆 外，
所以 ，当且仅当 为线段 与圆 的交点时取等号，D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查等比数列，数列的函数特征，较难．
，利用等比数列前和公式求解；借助对勾函数求解；
不等式恒成立，求最值解决；裂项相消求和．
【解答】解：由为等比数列，其前项和，则，故A不正确；
由，，令，则当，时，，
当，时则，故B不正确；
由，可得，故，
若，对恒成立，
即对恒成立，
令，则．
当时，当时，，当时，，
则，则，故C正确；
设，
则，故D正确．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了两平行直线间的距离 ，属于基础题．
利用两平行直线间的距离公式，计算得结论．
【解答】解：易知，根据两平行线间距离公式知，．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查数列的前项和，裂项相消法求和，属于基础题．
根据已知条件先求出通项公式，进而用裂项相消法求和即可．
【解答】
解：，，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，
，
数列的前项和为：
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是直线与圆的位置关系，与圆有关的最值问题，两直线的位置关系，圆与圆的位置关系，圆的标准方程，圆的一般方程，是中档题．
求得圆的圆心为，半径为，易求得 ，显然当垂直时，四边形的面积最小，得出以为圆心，半径为的圆的方程，从而即可求解直线的方程．
【【详解】圆，所以圆心为，半径，
，
所以当最小，也即垂直时，四边形面积最小，
此时直线的方程为，由解得，
即，，，
以为圆心，半径为的圆的方程为：，
即，
由．
两式相减并化简得，即直线的方程为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查椭圆和双曲线的离心率，涉及圆的切线和余弦定理的应用，属于较难题．
设，分别是，与圆的切点，由圆的切线知，，设，，求出，得，，得，结合的范围即可求解．
【解答】
解：如图，设，分别是，与圆的切点．
由圆的切线性质知，，
设，
则，，
在中，，
则，
以，为焦点且经过点的椭圆的离心率为，
以，为焦点且经过点的双曲线的离心率为，
则，
在中，设，，，，
由余弦定理可知：，
从而得到，
．
由，
，
．
17.【答案】证明：如图，取中点，连，，则易证，
且，所以四边形是平行四边形，从而，
又面，面，所以平面．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系．
则，，，，
则，，，
设平面的法向量，
由，，解得，
所以点到平面的距离．
【解析】本题考查线面平行的证明，点面距离，属于中档题．
做辅助线，推出而，根据线面平面的判定定理求证；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据，进行求解．
18.【答案】解：设圆的标椎方程为：，
由题意得：解得：
圆的标准方程为；
由题意得：圆心到直线的距离为，
当直线垂直于轴时，方程为，满足条件
当直线斜率存在时，设直线的方程为，即．
由，解得，
所以直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或．
【解析】本题考查求圆的标准方程的方法，点到直线的距离公式的应用，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线距离是解题的关键，属于中档题．
根据题意，设圆的标准方程为，将、，三点的坐标代入，即可得到圆的标准方程．
由弦长的一半，半径，圆心到直线的距离构成直角三角形求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行讨论，由点到直线的距离即可求出直线的方程．
19.【答案】解：由等比数列的性质可得：，
，或，
又数列是递增的等比数列
，，或舍，，
；
，
，
，
可得：，
，
．
【解析】本题考查等比数列的通项公式及利用错位相减法求数列的前项和，属于基础题．
根据题意求出即可
由得出，利用错位相减法求出前项和．
20.【答案】解：因为，，，，平面，
所以平面，
又面，
所以面面．
面面，面面，
在面内过点作的垂线，可知底面，
所以可以以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系．
，，，
则平面的一个法向量是，
设，则，
，
设面的法向量为，
由，，解得，
平面与平面夹角记为，则，
即，解得．
即．
【解析】本题考查了面面垂直的判定以及平面夹角余弦值的求解，属于中档题．
先证明出平面，再由面面垂直的判定定理得出即可；
建立空间直角坐标系，设，则，根据平面与平面夹角的余弦值是，求出即可得出答案．
21.【答案】解：设数列的公差为，
由题意知：，即，解得．
；
由知，，
，；
当为偶数时，，
，
当为偶数且时，满足题意；
当为奇数时，，
，
当为奇数且时，满足题意，
综上，对任意，，都有成立的的最小值为．
【解析】本题考查了等差数列的通项公式，等差数列前项和的最值问题，题目较难．
由已知，，根据等差数列的前项和公式展开，即可得出等差数列的首项，公差，进而得出通项公式．
由知，可得，数列的通项公式，进而，分两情况讨论，为偶数，为奇数，即可求得的最小值．
22.【答案】解：由题意，，解得，．
则的方程；
与面积之比为定值，定值为，理由如下：
设直线，，，
讨论：当，且时，联立，
可得，
，则，
所以，，所以，
设，同理可得
所以，，且
所以直线，即，
所以恒过定点
当时，不妨设直线，可发现轴，且过；
当时，直线依然过，但无法形成三角形．
综上，直线恒过点．
设点，到直线的距离分别是，，．
【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点、定值问题，属于难题．
由，，求出，即可得；
设直线，联立椭圆的方程，，，进而求出直线，判断恒过定点，利用点，到直线的距离分别是，，求解．
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