2023-2024学年湖南省长沙市师大附中高一上学期期末数学试题 (含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市师大附中高一上学期期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为
( )
A. B. C. D.
2.已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是
A. B. C. D.
3.下列命题为真命题的是
( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.下列命题正确的是
A. 小于的角是锐角 B. 第二象限的角一定大于第一象限的角
C. 与终边相同的最小正角是 D. 若，则是第四象限角
5.函数的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
6.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则
A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数
B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数
C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数
D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数
7.若，则
( )
A. B.
C. D.
8.设方程与的根分别为，则
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，下列说法正确的是
( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “，，”的否定是“，，”
D. 与是同一函数
10.下列不等式恒成立的是
( )
A. B.
C. D.
11.已知函数下列结论是假命题的是
A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是增函数
C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称
12.已知，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为________．
14.若函数在区间上单调递增，请写出一个满足条件的区间为__________．
15.已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
16.已知函数的定义域为，且满足则在上的整数值零点的个数为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设全集，集合，．
求；
已知集合，若，求的取值范围．
18.本小题分
已知，，且，．
求的值；
求的值；
求角的大小．
19.本小题分
已知关于的不等式．
当，时，求不等式的解集；
若不等式仅有一个解，求的最小值．
20.本小题分
已知函数且的图象过点．
求的值及的定义域；
求的单调区间；
若，比较与的大小．
21.本小题分
某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为米，轮上最低点与地面的距离为米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布个座舱，标号分别为可视为点现号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为分钟．
求号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式；
在前分钟内，求号座舱与地面的距离为米时的值；
记号座舱与号座舱高度之差的绝对值为米，若在这段时间内，恰有三次取得最大值，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数，
若函数为奇函数，求的值，并求此时函数的值域；
若存在，使，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．
直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．【解答】
解：．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的交集，并集，补集的混合运算，属于基础题．
由题意作出图，再由集合的运算逐一判断即可
【解答】
解：如图：
若集合，则，A错误；
，B错误；
不是全集，C错误；
一定是全集，D正确．
故选D
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查不等式的基本性质，属于基础题；
根据不等式的性质逐项分析即可．
【解答】
解：若 ，则，即，且，即，故，故A错误．
B.当时，，故B错误；
C.若，则，则，即，故C错误；
D.，；故D正确；
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查任意角的概念、考查象限角和终边相同的角，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于、，但的角不是锐角，故A错误；
对于、是第一象限角，是第二象限角，但，故B错误；
对于、与终边相同的角为，
当时，与终边相同的最小正角是，故C正确；
对于、若，则是第三象限角，故D错误
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性的性质，以及图像的判定方法．
分析函数的奇偶性，有，且，则为奇函数，并结合函数的解析式知：当时，即可确定大概函数图象．
【解答】
解：根据题意，设，其定义域为，，有，则为奇函数，其图象关于原点对称，排除，
当时，，，必有，排除，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查函数性质的综合应用，
根据函数的性质，逐项分析判断即可得答案．
【解答】
解：由可知图象关于对称，
又因为为偶函数，
所以，
则为周期函数且周期为，结合在区间上是减函数，
可得在上是减函数，在上是增函数，
故选B
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数与对数函数的单调性，属于中档题．
利用指数函数的单调性得到函数的单调性，从而得到和的大小，根据对数函数的性质即可得到答案．
【解答】
解：由已知可得，
设，
，在上均为增函数．
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
则，所以 ．
由，无法确定与的大小关系，
故的正负无法确定，
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指对数方程及指数函数与对数函数的图象，属于中档题．
由方程可得，又由图象可得，即可得答案．
【解答】
解：如图，由，可得，当时，，，
，则．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，同一函数，充分必要条件的判断，属于基础题．
根据函数知识与充分必要条件的定义等知识逐项判断即可．
【解答】
解：对于，由可推出，但由推不出，故A正确
对于，由可推出，但由推不出，故B错误
对于，根据全称命题的否定可知，“，，”的否定是“，，”，故C正确
对于，的定义域为，的定义域为故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，属于基础题．
根据基本不等式知识逐项分析即可．
【解答】
解：对于，，
当且仅当，即时等号成立，所以该选项正确
对于，，
当且仅当，即时，等号成立，所以该选项正确
对于，若，则与都小于，所以该选项错误
对于，因为且对勾函数在上单调递增，
故，所以，所以该选项错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题以命题的真假判断为载体，主要考查了余弦函数的周期，对称性及单调性等性质的应用，属于中档题．
先对已知函数进行化简，然后结合余弦函对称性，周期及单调性分别对选项进行判断．
【解答】
解：因为
，
，，
对，函数的最小正周期为，故A正确
对，因为，，所以在上是减函数，故B错误
对，，函数不关与点对称，故C错误
对于，与关于直线对称，但当时函数无意义，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质，以及指数式与对数式的互化，同时考查了作差法比较大小，属于基础题．
先将指数式转化成对数式表示出、，然后利用作差法比较大小以及不等式的性质进行判定．
【解答】
解：，，
，，
则，故，选项A正确；
，，则，，所以，选项B正确；
因为，，则，，此时，
所以，故选项C不正确；
因为，所以，则，故选项D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，得出结论．
【解答】
解：将函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，
再将所得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，
若为奇函数，则，，所以，，
所以的最小值为，
故答案为：．
14.【答案】 答案不唯一．
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，判断复合函数单调性，属于一般题．
令，根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合指数函数的单调性和复合函数单调性的判定方法，即可求解．
【解答】
解：由函数，
令，可得函数在上单调递减，在上单调递增，
又由函数在定义域上为单调递减函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
则函数的一个单调递增区间为．
故答案为：答案不唯一．
15.【答案】
【解析】【分析】
主要考查了函数的性质与图象，诱导公式等，属于中档题．
根据的长度求出函数图象过点，求，利用诱导公式得到答案．
【解答】
解： 设相邻的两个交点，的横坐标为，，则
又，，
，，，故
函数图象过点，，故．
由图象可知，所以，
时不满足条件，时满足条件，这时．
．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性，函数的零点，属于中档题．
对函数分段讨论，结合其周期，即可求解．
【解答】
解：当时，，，此时没有零点
当时，，即，
则，即，则，即时，为
的周期
，
故在上有个整数零点．
17.【答案】解：，
或，
．
，
当时，，即时，满足题意
当时，即时，，或，
又，
综上：
【解析】本题考查集合的补集，含参数的集合运算，属于基础题．
先分别求得集合，集合，再求交集即可；
求得，再分当时，当时两种情况讨论．
18.【答案】解：因为 ，所以 又 ，所以 ，
所以 而 ，所以 ，
所以 ．
由 且 ，得 ，
所以
．
又 ，所以 ．
由知 ，所以 ，
所以
又 ，
所以 ，所以 ．

【解析】【分析】本题考查同角三角函数关系式，考查角的变换，考查凑角公式，考查二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，属于中档题．
由于 ，由同角三角函数关系式求得；
由，计算有关值，代值求得；
由，计算有关值，代值求得．
19.【答案】解：当，时，不等式可化为，即，
整理得，解得，即不等式的解集为；
若不等式仅有一个解，则，
即，，由，两边除以得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
【解析】根据题意，把，代入，解不等式即可；
根据条件利用根的判别式列式，化简可得，且，再利用基本不等式算出的最小值．
本题主要考查一元二次方程根的判别式、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
20.【答案】【解答】解：由已知，得，由，得，
所以的定义域为；
因为，
在上的单调增区间为，单调递减区间为，
又因为是减函数，所以在上的单调增区间为，单调递减区间为；
由得，，且，
则，
又，，
所以，由知在区间上单调递减，故．
【解析】【分析】本题考查了对数型函数的定义域，复合函数的单调性，利用对数函数的图象与性质比较大小，属于中档题．
由题意得，，得出，再由对数函数得出其定义域；
根据复合函数的单调性可得单调区间；
由，可得，，先得出，再根据中结论，即可比较．
21.【答案】解：设号座舱与地面的距离 与时间 的函数关系的解析式为 ， ， ，
则 ， ，
所以 ，
依题意 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，故 ，
令 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
或，
解得或，
或时，号座舱与地面的距离为米．
依题意 ， ，
所以
令 ，解 ，
所以当 时 取得最大值，
依题意可得 ．
所以的取值范围为

【解析】本题考查三角函数模型的运用，匀速圆周运动的数学模型，考查计算能力，属于中档题．
设号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、中，即可得到函数解析式；
由中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；
依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解．
22.【答案】解：因为为奇函数，
定义域为，所以，
所以，又当时，，
此时，为奇函数，故为所求．
此时在上单调递增，
又，
故函数的值域为．
．
，
当时，，故不存在，使
当，即时，若存在，使，则在上的取值集合与
在的取值集合的交集非空，
由在上单调递增，知在上单调递增，由此可得，，
则，
所以实数的取值范围是．

【解析】本题主要考查了函数的奇偶性、单调性及函数的值域，属于中档题．
由函数为奇函数，可得，则，从而判断出在上单调递增，由此可求出此时函数的值域；
，当时，恒大于等于，故不成立；当即时，在上为增函数，由此可求出的取值范围．
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